नमूनाकरण त्रुटि: सूत्र और समीकरण, गणना, उदाहरण - दुदास - 2025

नमूना त्रुटि या नमूने के आँकड़ों में त्रुटि एक नमूने की औसत मान और कुल आबादी का मतलब मूल्य के बीच का अंतर है। विचार को स्पष्ट करने के लिए, आइए कल्पना करें कि एक शहर की कुल आबादी एक मिलियन लोगों की है, जिनमें से आप इसका औसत जूता आकार चाहते हैं, जिसके लिए एक हजार लोगों का यादृच्छिक नमूना लिया जाता है।

नमूना से निकलने वाला औसत आकार जरूरी नहीं कि कुल आबादी के साथ मेल खाता हो, हालांकि यदि नमूना पक्षपाती नहीं है, तो मूल्य पास होना चाहिए। नमूना के कुल मूल्य और कुल जनसंख्या के बीच यह अंतर नमूना त्रुटि है।

चित्रा 1. चूंकि नमूना कुल आबादी का सबसेट है, इसलिए नमूना का मतलब त्रुटि का एक मार्जिन है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

कुल आबादी का औसत मूल्य आम तौर पर अज्ञात है, लेकिन नमूना त्रुटि मार्जिन का अनुमान लगाने के लिए इस त्रुटि को कम करने के लिए तकनीकें हैं और इस आलेख में चर्चा की जाएगी।

सूत्र और समीकरण

मान लीजिए कि हम आकार N की जनसंख्या में एक निश्चित औसत दर्जे की विशेषता x का माध्य मान जानना चाहते हैं, लेकिन चूंकि N एक बड़ी संख्या है, इसलिए कुल जनसंख्या पर अध्ययन करना संभव नहीं है, तो हम एक यादृच्छिक नमूना लेने के लिए आगे बढ़ते हैं। आकार n <

नमूने के माध्य मान को निरूपित किया जाता है और कुल जनसंख्या का औसत मूल्य ग्रीक अक्षर μ (एमयू या मिउ) पढ़ा जाता है।

मान लीजिए कि मी नमूने कुल जनसंख्या एन से लिए गए हैं, जो सभी समान आकार n के मान के साथ हैं 1>, 2>, 3>…।मीटर>।

ये माध्य मान एक दूसरे के समान नहीं होंगे और ये सभी जनसंख्या माध्य μ के आसपास होंगे। नमूना त्रुटि मार्जिन ई माध्य मानों की अपेक्षित पृथक्करण को इंगित करता है जनसंख्या के सापेक्ष मूल्य μ एक निर्दिष्ट प्रतिशत के भीतर विश्वास स्तर the (गामा) कहा जाता है।

आकार n के नमूने का मानक त्रुटि मार्जिन ε है:

σ = σ / σn

जहां σ मानक विचलन (विचरण का वर्गमूल) है, जिसकी गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

√ = √

मानक त्रुटि मार्जिन का अर्थ इस प्रकार है:

औसत मूल्य आकार n के नमूने द्वारा प्राप्त अंतराल में शामिल है ( - ε, + +) 68.3% के आत्मविश्वास स्तर के साथ।

नमूनाकरण त्रुटि की गणना कैसे करें

पिछले अनुभाग में, आकार n के नमूने के मानक त्रुटि मार्जिन को खोजने का सूत्र दिया गया था, जहां शब्द मानक इंगित करता है कि यह 68% आत्मविश्वास के साथ त्रुटि का एक मार्जिन है।

यह इंगित करता है कि यदि समान आकार के एन के कई नमूने लिए गए थे, तो उनमें से 68% माध्य मान देंगे सीमा में ।

एक सरल नियम है, जिसे 68-95-99.7 नियम कहा जाता है, जो हमें 68%, 95% और 99.7% के आत्मविश्वास के स्तर के लिए नमूना त्रुटि मार्जिन ई को खोजने की अनुमति देता है, क्योंकि यह मार्जिन 1⋅,, 2 है क्रमशः ⋅ ⋅ और 3⋅ ⋅।

आत्मविश्वास के स्तर के लिए

यदि विश्वास स्तर the उपरोक्त में से एक नहीं है, तो नमूना त्रुटि मानक विचलन है जो कारक Z by से गुणा किया जाता है, जो निम्न प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जाता है:

1.- सबसे पहले, महत्व स्तर α निर्धारित किया जाता है, जिसकी गणना निम्न स्तर के माध्यम से विश्वास स्तर से की जाती है: α = 1 / signific

2.- फिर हमें मूल्य की गणना करना चाहिए 1 - α / 2 = (1 + /) / 2, जो सामान्य और गाऊसी वितरण के बीच संचित सामान्य आवृत्ति से मेल खाता है, जिसका परिभाषा एफ (z) है, जिसकी परिभाषा चित्र 2 में देखा जा सकता है।

3.- समीकरण F (Zγ) = 1 - α / 2 को सामान्य (संचयी) वितरण F के तालिकाओं के माध्यम से हल किया जाता है, या उलटा मानकीकृत गाऊसी फ़ंक्शन F ^{-1 वाले} कंप्यूटर अनुप्रयोग के माध्यम से किया जाता है ।

बाद के मामले में हमारे पास:

Z = G ^-1 (1 - α / 2)।

4.- अंत में, यह सूत्र विश्वसनीयता स्तर के साथ नमूना त्रुटि के लिए लागू किया जाता है:

E = Z√ = (σ / γn)

चित्रा 2. सामान्य वितरण की तालिका। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

उदाहरण

- उदाहरण 1

100 नवजात शिशुओं के नमूने के औसत वजन में मानक त्रुटि मार्जिन की गणना करें। औसत वजन की गणना थी= मानक विचलन के साथ 3,100 किग्रा 100 = 1,500 किग्रा।

उपाय

त्रुटि का मानक मार्जिन ε = σ / =n = (1,500 किग्रा) / =100 = 0.15 किग्रा है। इसका मतलब है कि इन आंकड़ों के साथ यह अनुमान लगाया जा सकता है कि 68% नवजात शिशुओं का वजन 2,950 किलोग्राम और 3.25 किलोग्राम के बीच है।

- उदाहरण २

नमूना त्रुटि त्रुटि ई के मार्जिन और 100% नवजात शिशुओं के वजन की सीमा को 95% आत्मविश्वास के स्तर के साथ निर्धारित करें यदि औसत वजन मानक विचलन 1, = 1,500 किलोग्राम के साथ 3,100 किलोग्राम है।

उपाय

यदि नियम 68 लागू होता है; 95; 99.7 → 1⋅ ⋅; 2 ⋅; 3 we, हमारे पास:

ई = 2 0. = 2⋅0.15 किग्रा = 0.30 किग्रा

दूसरे शब्दों में, 95% नवजात शिशुओं का वजन 2,800 किलोग्राम और 3,400 किलोग्राम के बीच होगा।

- उदाहरण 3

99.7% के आत्मविश्वास मार्जिन के साथ उदाहरण 1 में नवजात शिशुओं के वजन की सीमा निर्धारित करें।

उपाय

99.7% आत्मविश्वास के साथ नमूना त्रुटि 3 √ / 99n है, जो हमारे उदाहरण के लिए E = 3 * 0.15 kg = 0.45 kg है। यहाँ से यह निम्नानुसार है कि 99.7% नवजात शिशुओं का वजन 2,650 किलोग्राम और 3,550 किलोग्राम के बीच होगा।

- उदाहरण 4

75% के विश्वास स्तर के लिए कारक Zine निर्धारित करें। उदाहरण 1 में प्रस्तुत मामले के लिए विश्वसनीयता के इस स्तर के साथ नमूना त्रुटि के मार्जिन का निर्धारण करें।

उपाय

आत्मविश्वास का स्तर confidence = 75% = 0.75 है, जो संबंध α = (1 - α) के माध्यम से महत्व α के स्तर से संबंधित है, ताकि महत्व का स्तर α = 1 - 0.75 = 0 हो, 25।

इसका मतलब है कि-that और Z: के बीच संचयी सामान्य संभावना है:

P (Z (Zγ) = 1 - 0.125 = 0.875

जो चित्र में दिखाया गया है, जैसा कि 1.1503 के Zγ मान से मेल खाता है।

चित्रा 3. Zγ कारक का निर्धारण आत्मविश्वास स्तर 75% के अनुरूप है। स्रोत: जोगेब्रा के माध्यम से एफ।

दूसरे शब्दों में, नमूना त्रुटि E = Z⋅ σ (√ /)n) = 1.15 σ (√ / σn) है।

जब उदाहरण 1 से डेटा पर लागू किया जाता है, तो यह निम्नलिखित की त्रुटि देता है:

ई = 1.15 * 0.15 किग्रा = 0.17 किग्रा

75% आत्मविश्वास स्तर के साथ।

- व्यायाम 5

यदि Z _{α / 2} = 2.4 है तो विश्वास स्तर क्या है ?

उपाय

P (Z (Z _{α / 2}) = 1 - α / 2

P (Z (2.4) = 1 - α / 2 = 0.9918 → α / 2 = 1 - 0.9918 = 0.0082 → α = 0.0164

महत्व का स्तर है:

α = 0.0164 = 1.64%

और अंत में, विश्वास स्तर बना हुआ है:

1- α = 1 - 0.0164 = 100% - 1.64% = 98.36%

संदर्भ

1. Canavos, जी। 1988. संभाव्यता और सांख्यिकी: अनुप्रयोग और विधियाँ। मैकग्रा हिल।
2. डेवोर, जे। 2012. इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभावना और सांख्यिकी। 8। संस्करण। Cengage।
3. लेविन, आर। 1988. प्रशासकों के लिए सांख्यिकी। 2। संस्करण। शागिर्द कक्ष।
4. सुदामन, एस। 1982। प्रश्न पूछना: प्रश्नावली डिजाइन के लिए एक व्यावहारिक गाइड। सैन फ्रांसिस्को। जोसी बैस।
5. Walpole, R. 2007. इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभावना और सांख्यिकी। पियर्सन।
6. वोनकॉट, टीएच और आरजे वोनकॉट। 1990. परिचयात्मक सांख्यिकी। 5 वां एड। विली
7. विकिपीडिया। नमूनाकरण त्रुटि। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.com
8. विकिपीडिया। गलती की सम्भावना। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.com