यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा या अपेक्षित मूल्य, E (X) के रूप में दर्शाया जाता है और इसे यादृच्छिक घटना घटने और उक्त घटना के मूल्य के बीच उत्पाद के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप में इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:
चित्रा 1. गणितीय अपेक्षा का व्यापक रूप से शेयर बाजार और बीमा में उपयोग किया जाता है। स्रोत: पिक्साबे
जहां x i घटना का मान है और P (x i) उसके घटित होने की संभावना है। यह सम्मिश्रण उन सभी मानों से अधिक है जो X स्वीकार करता है। और यदि ये परिमित हैं, तो संकेत राशि मान E (X) में परिवर्तित हो जाती है, लेकिन यदि योग अभिसरित नहीं होता है, तो चर का कोई अपेक्षित मूल्य नहीं है।
जब यह एक सतत चर x होता है, तो चर में अनंत मान हो सकते हैं और अभिन्न समासों को प्रतिस्थापित करते हैं:
यहाँ f (x) प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है।
सामान्य तौर पर, गणितीय अपेक्षा (जो एक भारित औसत है) अंकगणित माध्य या औसत के बराबर नहीं है, जब तक कि हम असतत वितरण से निपट नहीं रहे हैं जिसमें प्रत्येक घटना समान रूप से संभावित है। तब, और केवल तब:
जहां n संभव मानों की संख्या है।
यह अवधारणा वित्तीय बाजारों और बीमा कंपनियों में बहुत उपयोगी है, जहां निश्चितता की कमी है, लेकिन संभावनाएं मौजूद हैं।
गणितीय अपेक्षा के गुण
गणितीय अपेक्षा के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से, निम्नलिखित बाहर खड़े हैं:
- साइन: यदि एक्स पॉजिटिव है, तो ई (एक्स) भी पॉजिटिव होगा।
- एक स्थिर का अपेक्षित मूल्य: एक वास्तविक निरंतर k का अपेक्षित मूल्य स्थिर है।
- राशि में रैखिकता: एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा जो दो चर X और Y का योग है, उम्मीदों का योग है।
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- एक स्थिरांक से गुणा: यदि यादृच्छिक चर kX है, जहां k एक स्थिरांक (वास्तविक संख्या) है, तो यह अपेक्षित मान से बाहर आता है।
- उत्पाद का अपेक्षित मूल्य और चर के बीच स्वतंत्रता: यदि कोई यादृच्छिक चर X और Y के यादृच्छिक चर का उत्पाद है, जो स्वतंत्र हैं, तो उत्पाद का अपेक्षित मूल्य अपेक्षित मूल्यों का उत्पाद है।
सामान्य तौर पर, यदि Y = g (X):
- अपेक्षित मूल्य में आदेश: यदि X, Y है, तो:
चूंकि उनमें से प्रत्येक के अपेक्षित मूल्य हैं।
सट्टेबाजी में गणितीय उम्मीद
जब प्रसिद्ध खगोलशास्त्री क्रिश्चियन ह्यूजेंस (1629-1695) आसमान का निरीक्षण नहीं कर रहे थे, तो उन्होंने खुद को अन्य विषयों के अलावा अध्ययन के लिए समर्पित कर दिया। यह वह था जिसने अपने 1656 के काम में गणितीय आशा की अवधारणा को शीर्षक दिया: मौका के खेल के बारे में तर्क।
चित्रा 2. क्रिस्टियान Huyens (1629-1625) एक शानदार और बहुमुखी वैज्ञानिक थे, जिनके लिए हम अपेक्षित मूल्य की अवधारणा को मानते हैं।
ह्यूजेंस ने पाया कि अपेक्षित मूल्य के आधार पर दांव को तीन तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है:
-गेम लाभ के साथ: ई (एक्स)> 0
- उचित दांव: ई (एक्स) = 0
एक नुकसान में आया: ई (एक्स) <0
समस्या यह है कि संयोग के खेल में गणितीय अपेक्षा हमेशा गणना करना आसान नहीं होता है। और जब आप कर सकते हैं, तो परिणाम कभी-कभी उन लोगों के लिए निराशाजनक होता है जो आश्चर्य करते हैं कि शर्त लगाई जाए या नहीं।
आइए एक साधारण शर्त की कोशिश करें: सिर या पूंछ और हारने वाला एक $ 1 कॉफी का भुगतान करता है। इस शर्त का अपेक्षित मूल्य क्या है?
ठीक है, एक सिर के लुढ़का होने की संभावना equal है, एक पूंछ के बराबर है। यादृच्छिक चर को $ 1 प्राप्त करना है या $ 1 खोना है, लाभ को संकेत द्वारा + और संकेत द्वारा हानि - का संकेत दिया जाता है।
हम एक तालिका में जानकारी व्यवस्थित करते हैं:
हम स्तंभों के मूल्यों को गुणा करते हैं: 1. of = of और (-1)। ½ = -½ और अंत में परिणाम जोड़े जाते हैं। योग 0 है और यह एक निष्पक्ष खेल है, जिसमें प्रतिभागियों से न तो जीतने और न ही हारने की उम्मीद की जाती है।
फ्रेंच रूले और लॉटरी हैंडीकैप गेम हैं जिसमें अधिकांश सट्टेबाज हार जाते हैं। बाद में हल किए गए अभ्यास अनुभाग में थोड़ा और अधिक जटिल दांव है।
उदाहरण
यहाँ कुछ सरल उदाहरण हैं जहाँ गणितीय अपेक्षा की अवधारणा सहज है और अवधारणा को स्पष्ट करती है:
उदाहरण 1
हम एक ईमानदार मरने की शुरुआत करेंगे। लॉन्च का अपेक्षित मूल्य क्या है? ठीक है, अगर मर ईमानदार है और 6 सिर हैं, तो संभावना है कि किसी भी मूल्य (एक्स = 1, 2, 3… 6) इस तरह 1/6 रोल होगा:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 /) 6) = 21/6 = 3.5
चित्रा 3. एक ईमानदार मरने के रोल में, अपेक्षित मूल्य संभव मूल्य नहीं है। स्रोत: पिक्साबे
इस मामले में अपेक्षित मूल्य औसत के बराबर है, क्योंकि प्रत्येक चेहरे के बाहर आने की समान संभावना है। लेकिन ई (एक्स) एक संभावित मूल्य नहीं है, क्योंकि कोई भी सिर 3.5 मूल्य का नहीं है। यह कुछ वितरणों में पूरी तरह से संभव है, हालांकि इस मामले में परिणाम bettor को बहुत मदद नहीं करता है।
आइए दो सिक्कों के टॉस के साथ एक और उदाहरण देखें।
उदाहरण 2
दो ईमानदार सिक्के हवा में उछाले जाते हैं और हम रैंडम वेरिएबल X को सिर के रोल के रूप में परिभाषित करते हैं। जो घटनाएं घटित हो सकती हैं, वे निम्नलिखित हैं:
-कोई सिर नहीं आता: 0 सिर जो 2 पूंछों के बराबर होता है।
-यह 1 सिर और 1 मुहर या पूंछ निकलती है।
-दो चेहरे सामने आते हैं।
C को एक सिर और T को सील होने दें, नमूना स्थान जो इन घटनाओं का वर्णन करता है वह निम्नलिखित है:
एस एम = {सील-सील; सील-फेस; फेस-सील; फेस-फेस} = {टीटी, टीसी, सीटी, सीसी}
हो रही घटनाओं की संभावनाएं हैं:
पी (एक्स = 0) = पी (टी)। पी (टी) =)। ¼ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T)। P (C) + (C)। P (T) = ¼ + ¼ =)
पी (एक्स = 2) = पी (सी)। पी (सी) =)। ¼ = ¼
तालिका प्राप्त मूल्यों के साथ बनाई गई है:
शुरुआत में दी गई परिभाषा के अनुसार, गणितीय अपेक्षा की गणना इस प्रकार की जाती है:
मूल्यांकन मान:
ई (एक्स) = 0. ¼ + 1. ¼ + 2. 0. = ½ +) = 1
इस परिणाम की व्याख्या इस प्रकार की जाती है: यदि किसी व्यक्ति के पास दो सिक्कों को उछालकर बड़ी संख्या में प्रयोग करने का पर्याप्त समय है, तो उसे प्रत्येक टॉस पर एक सिर मिलने की उम्मीद है।
हालांकि, हम जानते हैं कि 2 लेबल के साथ रिलीज़ पूरी तरह से संभव हैं।
व्यायाम हल किया
दो ईमानदार सिक्कों के टॉस में, निम्नलिखित शर्त लगाई जाती है: यदि 2 सिर बाहर आते हैं तो आप $ 3 जीतते हैं, यदि 1 सिर बाहर आता है तो आप $ 1 जीतते हैं, लेकिन यदि दो टिकट निकलते हैं, तो आपको $ 5 का भुगतान करना होगा। शर्त की अपेक्षित जीत की गणना करें।
चित्रा 4. शर्त के आधार पर, दो ईमानदार सिक्कों को उछालने पर गणितीय अपेक्षा बदल जाती है। स्रोत: पिक्साबे
उपाय
यादृच्छिक चर X वह मान है जो धन शर्त में लेता है और संभावनाओं की गणना पिछले उदाहरण में की गई थी, इसलिए दांव की तालिका निम्न है:
ई (एक्स) = 3। ½ + 1. ¼ + (-5)। ¼ = 0
जैसा कि अपेक्षित मूल्य 0 है, यह उचित खेल है, इसलिए यहां शर्त लगाने वाले को जीतने और न हारने की उम्मीद है। हालाँकि, बेट को हैंडीकैप गेम या हैंडीकैप गेम बनाने के लिए बेट अमाउंट में बदलाव किया जा सकता है।
संदर्भ
- ब्रेज़, सी। 2009. अंडरस्टैंडेबल स्टैटिस्टिक्स। ह्यूटन मिफ्लिन।
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