स्वतंत्रता की डिग्री: उनकी गणना कैसे करें, प्रकार, उदाहरण - दुदास - 2025

आंकड़ों में स्वतंत्रता की डिग्री एक यादृच्छिक वेक्टर के स्वतंत्र घटकों की संख्या है। यदि वेक्टर में एन घटक हैं और इसके घटकों से संबंधित पी रैखिक समीकरण हैं, तो स्वतंत्रता की डिग्री एनपी है।

स्वतंत्रता की डिग्री की अवधारणा सैद्धांतिक यांत्रिकी में भी दिखाई देती है, जहां वे लगभग अंतरिक्ष के आयाम के बराबर होते हैं जहां कण चलता है, बंधन की संख्या को घटाता है।

चित्र 1. एक पेंडुलम दो आयामों में चलता है, लेकिन इसमें केवल एक डिग्री की स्वतंत्रता है क्योंकि यह त्रिज्या L के स्रोत के चाप में स्थानांतरित करने के लिए मजबूर है। स्रोत: F. Zapata

यह लेख आंकड़ों पर लागू स्वतंत्रता की डिग्री की अवधारणा पर चर्चा करेगा, लेकिन एक यांत्रिक उदाहरण ज्यामितीय रूप में कल्पना करना आसान है।

स्वतंत्रता की डिग्री के प्रकार

जिस संदर्भ में इसे लागू किया जाता है, उसके आधार पर, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या की गणना करने का तरीका भिन्न हो सकता है, लेकिन अंतर्निहित विचार हमेशा समान होता है: कुल आयाम प्रतिबंधों की संख्या कम।

एक यांत्रिक मामले में

आइए एक स्ट्रिंग (एक पेंडुलम) से बंधे एक दोलनशील कण पर विचार करें जो ऊर्ध्वाधर एक्स प्लेन (2 आयाम) में गति करता है। हालांकि, कण को ​​जीवा की लंबाई के बराबर त्रिज्या की परिधि पर स्थानांतरित करने के लिए मजबूर किया जाता है।

चूंकि कण केवल उस वक्र पर आगे बढ़ सकता है, इसलिए स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या 1 है। यह आंकड़ा 1 में देखा जा सकता है।

स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या की गणना करने का तरीका आयामों की संख्या के अंतर को कम करके बाधाओं की संख्या है:

स्वतंत्रता की डिग्री: = 2 (आयाम) - 1 (संयुक्ताक्षर) = 1

एक और स्पष्टीकरण जो हमें परिणाम पर पहुंचने की अनुमति देता है, वह निम्नलिखित है:

-हम जानते हैं कि दो आयामों में स्थिति को निर्देशांक (x, y) के एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

-लेकिन बिंदु के बाद से परिधि के समीकरण का पालन करना चाहिए (x ² + y ² = L ²) चर x के दिए गए मान के लिए, चर y को समीकरण या प्रतिबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है।

इस तरह, चर में से केवल एक स्वतंत्र है और सिस्टम में स्वतंत्रता की एक (1) डिग्री है।

यादृच्छिक मूल्यों के एक सेट में

यह समझने के लिए कि अवधारणा का क्या मतलब है, मान लीजिए कि वेक्टर

x = (x ₁, x ₂,…, x _n)

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक मूल्यों के नमूने का प्रतिनिधित्व करना। इस मामले में यादृच्छिक वेक्टर x में n स्वतंत्र घटक होते हैं और इसलिए x को स्वतंत्रता की n डिग्री कहा जाता है।

आइए अब हम अवशिष्ट के वेक्टर r का निर्माण करते हैं

आर = (एक्स ₁ -, x ₂ -,…, X _n -)

कहाँ पे नमूना माध्य का प्रतिनिधित्व करता है, जिसकी गणना निम्न प्रकार से की जाती है:

= (x ₁ + x ₂ +…। + x _n) / n

तो योग है

(x ₁ -) + (x ₂ -) +…। + (X _n -) = (x ₁ + x ₂ +…। + x _n) - n= 0

यह एक समीकरण है जो अवशेषों के वेक्टर आर के तत्वों में एक प्रतिबंध (या बंधन) का प्रतिनिधित्व करता है, क्योंकि अगर वेक्टर आर के एन -1 घटकों को जाना जाता है, तो प्रतिबंध समीकरण अज्ञात घटक को निर्धारित करता है।

इसलिए प्रतिबंध के साथ आयाम n के वेक्टर r:

_I (x _i -) = 0

इसमें (n - 1) स्वतंत्रता की डिग्री है।

फिर से यह लागू किया जाता है कि स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या की गणना है:

स्वतंत्रता की डिग्री: = एन (आयाम) - 1 (बाधाएं) = एन -1

उदाहरण

विविधता और स्वतंत्रता की डिग्री

N डेटा के नमूने के विचलन (या अवशिष्ट) के वर्ग के माध्य के रूप में विचरण s ² को परिभाषित किया गया है:

एस ² = (आर • आर) / (एन -1)

जहाँ r अवशिष्टों का वेक्टर है r = (X1 -, x2 - ,…, Xn - ) और मोटा डॉट (•) डॉट उत्पाद ऑपरेटर है। वैकल्पिक रूप से, विचरण सूत्र निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

s ² = ∑ (x _i -) ² / (एन -1)

किसी भी मामले में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अवशिष्टों के वर्ग के माध्य की गणना करते समय, यह (n-1) से विभाजित होता है और n से नहीं, चूंकि पिछले अनुभाग में चर्चा की गई है, वेक्टर r की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या (है) n-1)।

यदि विचरण की गणना के लिए n (n-1) के बजाय n द्वारा विभाजित किया गया था, तो परिणाम में एक पूर्वाग्रह होगा जो 50 से कम n के मानों के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।

साहित्य में, विचरण सूत्र भी (n-1) के बजाय विभाजक n के साथ प्रकट होता है, जब यह किसी जनसंख्या के विचरण की ओर आता है।

लेकिन सदिश आर द्वारा दर्शाए गए अवशिष्ट के यादृच्छिक चर का सेट, हालांकि इसमें आयाम n है, केवल (n-1) स्वतंत्रता की डिग्री है। हालाँकि, यदि डेटा की संख्या पर्याप्त है (n> 500), तो दोनों सूत्र एक ही परिणाम में परिवर्तित होते हैं।

कैलकुलेटर और स्प्रेडशीट दोनों विचरण और मानक विचलन (जो कि विचरण का वर्गमूल है) के दोनों संस्करण प्रदान करते हैं।

हमारी सिफारिश, यहां प्रस्तुत विश्लेषण के मद्देनजर, हमेशा पक्षपाती परिणामों से बचने के लिए, हर बार संस्करण (मानक -1) के साथ संस्करण का चयन करना आवश्यक होता है।

ची स्क्वायर वितरण में

निरंतर यादृच्छिक चर में कुछ प्रायिकता वितरण स्वतंत्रता की डिग्री नामक एक पैरामीटर पर निर्भर करता है, यह ची स्क्वायर वितरण (। ²) का मामला है ।

इस पैरामीटर का नाम अंतर्निहित यादृच्छिक वेक्टर की स्वतंत्रता की डिग्री से आता है जिस पर यह वितरण लागू होता है।

मान लीजिए कि हमारे पास जी आबादी है, जिसमें से आकार n के नमूने लिए गए हैं:

X ₁ = (X1 ₁, X1 ₂,…..x1 _n)

X2 = (x2 ₁, x2 ₂,…..x2 _n)

…।

X _j = (xj ₁, xj ₂,…..xj _n)

…।

Xg = (xg ₁, xg ₂,…..xg _n)

एक जनसंख्या j जिसका अर्थ है और मानक विचलन Sj, सामान्य वितरण N का अनुसरण करता है (, एसजे)।

मानकीकृत या सामान्यीकृत चर zj _मैं इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

ZJ _मैं = (XJ _मैं -) / एस.जे.

और वेक्टर Zj को इस तरह परिभाषित किया गया है:

Zj = (zj ₁, zj ₂,…, zj _i,…, zj _n) और मानकीकृत सामान्य वितरण N (0,1) का अनुसरण करता है।

तो चर:

Q = (z1 ₁ ^ 2 + z2 ₁ ^ 2 +…। + Zg ₁ ^ 2),…, ((Z1 _n ^ 2 + z2 _n ^ 2 +…। + Zg _n ^ 2)।

स्वतंत्रता जी की डिग्री के साथ ची-स्क्वायर वितरण नामक ^-2 (जी) वितरण निम्नानुसार है ।

परिकल्पना परीक्षण में (हल किए गए उदाहरण के साथ)

जब आप यादृच्छिक डेटा के एक निश्चित सेट के आधार पर परिकल्पना का परीक्षण करना चाहते हैं, तो आपको ची-स्क्वायर टेस्ट लागू करने के लिए स्वतंत्रता जी की डिग्री की संख्या जानने की आवश्यकता है।

चित्र 2. आइसक्रीम फ्लेवर और ग्राहक की पसंद के बीच संबंध है? स्रोत: एफ। ज़पाटा

एक उदाहरण के रूप में, एक निश्चित आइसक्रीम पार्लर में पुरुषों और महिलाओं के बीच चॉकलेट या स्ट्रॉबेरी आइसक्रीम की वरीयताओं पर एकत्र आंकड़ों का विश्लेषण किया जाएगा। जिस आवृत्ति के साथ पुरुष और महिलाएं स्ट्रॉबेरी या चॉकलेट चुनते हैं, उसे चित्रा 2 में संक्षेपित किया गया है।

सबसे पहले, अपेक्षित आवृत्तियों की तालिका की गणना की जाती है, जो कुल पंक्तियों के कुल पंक्तियों को कुल डेटा से विभाजित करके तैयार की जाती है। परिणाम निम्न आकृति में दिखाया गया है:

चित्रा 3. देखी गई आवृत्तियों (चित्रा 2 में नीले रंग में मान) के आधार पर अपेक्षित आवृत्तियों की गणना। स्रोत: एफ। ज़पाटा

तब ची वर्ग की गणना (डेटा से) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

∑ ² = χ (एफ _ओ - एफ _ई) ² / एफ _ई

जहाँ F _o देखे गए आवृत्तियों (चित्र 2) और F _e अपेक्षित आवृत्तियाँ (चित्र 3) हैं। सारांश सभी पंक्तियों और स्तंभों पर जाता है, जो हमारे उदाहरण में चार शब्द देते हैं।

आपके द्वारा किए जाने वाले ऑपरेशन करने के बाद:

χ ² = 0.2043।

अब सैद्धांतिक ची वर्ग के साथ तुलना करना आवश्यक है, जो स्वतंत्रता जी की डिग्री की संख्या पर निर्भर करता है।

हमारे मामले में, यह संख्या इस प्रकार निर्धारित की जाती है:

g = (# पंक्तियाँ - 1) (#columns - १) = (२ - १) (२ - १) = १ * १ = १।

यह पता चला है कि इस उदाहरण में स्वतंत्रता जी की डिग्री की संख्या 1 है।

यदि आप अशक्त परिकल्पना (H0: TASTE और GENDER के बीच कोई संबंध नहीं है) को 1% के महत्व के स्तर के साथ जांचना या अस्वीकार करना चाहते हैं, सैद्धांतिक ची-वर्ग मान की गणना स्वतंत्रता की सीमा = 1 के साथ की जाती है।

मान मांगा गया है जो संचित आवृत्ति (1 - 0.01) = 0.99, यानी 99% बनाता है। यह मान (जो कि तालिकाओं से प्राप्त किया जा सकता है) 6,636 है।

जैसा कि सैद्धांतिक ची गणना की गई एक से अधिक है, तो शून्य परिकल्पना सत्यापित है।

दूसरे शब्दों में, एकत्र किए गए डेटा के साथ, चर TASTE और GENDER के बीच कोई संबंध नहीं देखा जाता है।

संदर्भ

1. Minitab। स्वतंत्रता की डिग्री क्या हैं? से पुनर्प्राप्त: support.minitab.com।
2. मूर, डेविड। (2009) मूल लागू आँकड़े। एंटोनी बॉश संपादक।
3. लेह, जेनिफर। सांख्यिकीय मॉडल में स्वतंत्रता की डिग्री की गणना कैसे करें। से पुनर्प्राप्त: geniolandia.com
4. विकिपीडिया। स्वतंत्रता की डिग्री (आंकड़े)। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com
5. विकिपीडिया। स्वतंत्रता की डिग्री (शारीरिक)। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com