त्रिकोण: इतिहास, तत्व, वर्गीकरण, गुण - विज्ञान - 2025

त्रिकोण सपाट हैं और ज्यामितीय आंकड़ों बंद कर दिया, तीन तरफ से मिलकर। एक त्रिभुज तीन रेखाओं से निर्धारित होता है जो दो को दो से काटते हैं, एक दूसरे के साथ तीन कोण बनाते हैं। प्रतीकात्मकता से भरा त्रिकोणीय आकार, अनगिनत वस्तुओं और निर्माण के तत्व के रूप में मौजूद है।

त्रिभुज की उत्पत्ति इतिहास में खो गई है। पुरातात्विक साक्ष्यों से यह पता चलता है कि आदिम मानवता इसे अच्छी तरह से जानती थी, क्योंकि पुरातात्विक अवशेष इस बात की पुष्टि करते हैं कि इसका उपयोग औजारों और हथियारों में किया जाता था।

चित्र 1. त्रिकोण। स्रोत: Publicdomainpictures

यह भी स्पष्ट है कि प्राचीन मिस्रियों के पास ज्यामिति और विशेष रूप से त्रिकोणीय आकार का एक ठोस ज्ञान था। वे इसकी स्मारक इमारतों के वास्तुशिल्प तत्वों में परिलक्षित होते थे।

रिहंद पेपिरस में आपको त्रिभुज और ट्रेपेज़ोइड्स के क्षेत्रों की गणना के लिए सूत्र मिलेंगे, साथ ही साथ कुछ संस्करणों और अल्पविकसित त्रिकोणमिति की अन्य अवधारणाएँ भी।

उनके हिस्से के लिए, यह ज्ञात है कि बेबीलोन त्रिकोण और अन्य ज्यामितीय आंकड़ों के क्षेत्र की गणना करने में सक्षम थे, जो वे व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए उपयोग करते थे, जैसे कि भूमि के विभाजन। वे त्रिकोण के कई गुणों के बारे में भी जानकार थे।

हालाँकि, यह प्राचीन यूनानियों था, जिन्होंने आज प्रचलित कई ज्यामितीय अवधारणाओं को व्यवस्थित किया, हालांकि इसमें से अधिकांश ज्ञान अनन्य नहीं था, क्योंकि यह निश्चित रूप से इन अन्य प्राचीन सभ्यताओं के साथ साझा किया गया था।

त्रिभुज तत्व

किसी भी त्रिकोण के तत्वों को निम्न आकृति में दर्शाया गया है। तीन हैं: कोने, पक्ष और कोण।

चित्रा 2. त्रिकोण और उनके तत्वों की सूचना। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स, एफ। जैपटा द्वारा संशोधित

-विविधताएँ: उन रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदु हैं जिनके खंड त्रिकोण को निर्धारित करते हैं। ऊपर दिए गए चित्र में, उदाहरण के लिए, लाइन L _AC जिसमें सेगमेंट AC होता है, L L _AB की रेखा को काटता है जिसमें A पर एक खंड होता है।

- पक्ष: प्रत्येक जोड़ी के बीच एक रेखा खंड खींचा जाता है जो त्रिकोण के एक तरफ बनता है। इस सेगमेंट को अंतिम अक्षरों या इसे कॉल करने के लिए एक विशिष्ट पत्र का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। आकृति 2 के उदाहरण में, साइड AB को "c" भी कहा जाता है।

- कोण: प्रत्येक पक्ष के बीच एक सामान्य शीर्ष के साथ एक कोण उत्पन्न होता है, जिसका शीर्ष त्रिकोण के साथ मेल खाता है। आमतौर पर कोण को एक ग्रीक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसा कि शुरुआत में कहा गया था।

दिए गए आकार और आकार के साथ एक विशेष त्रिभुज बनाने के लिए, बस निम्नलिखित डेटा सेट में से एक है:

-एक त्रिभुज के मामले में तीन पक्ष, काफी स्पष्ट।

-दो तरफ और उनके बीच का कोण, और तुरंत शेष पक्ष खींचा जाता है।

-ट्वो (आंतरिक) कोण और उनके बीच का किनारा। विस्तार से दो लापता पक्ष खींचे गए हैं और त्रिकोण तैयार है।

नोटेशन

आम तौर पर, त्रिकोण संकेतन में निम्नलिखित सम्मेलनों का उपयोग किया जाता है: कोने को अपरकेस लैटिन अक्षरों, पक्षों को लैटिन अक्षरों द्वारा और ग्रीक अक्षरों द्वारा कोणों का संकेत दिया जाता है (चित्र 2 देखें)।

इस तरह त्रिभुज का नाम उसके कोने के अनुसार रखा गया है। उदाहरण के लिए, आकृति 2 में बाईं ओर का त्रिकोण त्रिभुज ABC है, और दाईं ओर वाला त्रिकोण A'B'C है।

अन्य नोटेशन का उपयोग करना भी संभव है; उदाहरण के लिए, चित्र 2 में कोण α को BAC के रूप में दर्शाया गया है। ध्यान दें कि शीर्ष के अक्षर बीच में जाते हैं और पत्र एक विरोधी घड़ी की दिशा में लिखे जाते हैं।

अन्य समय पर कोण को दर्शाने के लिए एक कैरेट का उपयोग किया जाता है:

α = ∠A

त्रिकोण के प्रकार

त्रिकोणों को वर्गीकृत करने के लिए कई मानदंड हैं। सबसे सामान्य बात यह है कि उन्हें अपने पक्षों के माप के अनुसार या उनके कोणों के माप के अनुसार वर्गीकृत करना है। उनके पक्षों के माप के आधार पर, त्रिकोण हो सकते हैं: स्केलनीज़, समद्विबाहु या समबाहु:

-सैलेंनो: इसके तीन पहलू अलग-अलग हैं।

-Isóceles: इसके दो बराबर पक्ष और एक अलग पक्ष है।

-ईक्लेवेरटो: तीन पक्ष बराबर हैं।

चित्रा 3. उनके पक्षों द्वारा त्रिकोणों का वर्गीकरण। स्रोत: एफ। ज़पाटा

उनके कोणों के माप के अनुसार, त्रिभुजों को इस तरह नाम दिया गया है:

- बाधा, यदि आंतरिक कोणों में से एक 90 one से अधिक है।

- तीव्र कोण, जब त्रिभुज के तीन आंतरिक कोण तीव्र होते हैं, यानी 90º से कम

- आयत, इसके आंतरिक कोणों में से एक का मूल्य 90 in है। 90 sides वाले पक्षों को पैर कहा जाता है और दाहिने कोण के विपरीत पक्ष कर्ण है।

चित्रा 4. उनके आंतरिक कोणों द्वारा त्रिकोणों का वर्गीकरण। स्रोत: एफ। ज़पाटा

त्रिकोण की बधाई

जब दो त्रिभुजों का आकार समान होता है और वे एक ही आकार के होते हैं, तो उन्हें सर्वांगसम कहा जाता है। बेशक समानता समानता से संबंधित है, इसलिए ज्यामिति "दो समान त्रिकोण" के बजाय "दो सर्वांगसम त्रिकोण" की बात क्यों करती है?

ठीक है, यह सच से चिपके रहने के लिए शब्द "सर्वांगसम" का उपयोग करने के लिए पसंद किया जाता है, क्योंकि दो त्रिकोण एक ही आकार और आकार हो सकते हैं, लेकिन विमान में अलग-अलग उन्मुख होते हैं (आकृति 3 देखें)। ज्यामिति के दृष्टिकोण से, वे अब कड़ाई से समान नहीं होंगे।

चित्र 5. समवेत त्रिभुज, लेकिन जरूरी नहीं कि समान हो, क्योंकि विमान में उनका उन्मुखीकरण अलग है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

बधाई मानदंड

निम्नलिखित में से कोई भी होने पर दो त्रिकोण सर्वांगसम होते हैं:

-तीनों पक्ष एक ही मापते हैं (फिर से यह सबसे स्पष्ट है)।

-उनके दो समान पक्ष हैं और उनके बीच समान कोण है।

-कभी दो समान आंतरिक कोण होते हैं और इन कोणों के बीच का पक्ष समान होता है।

जैसा कि देखा जा सकता है, यह दो त्रिकोणों के बारे में आवश्यक शर्तों को पूरा करने के बारे में है ताकि जब वे निर्मित हों, तो उनका आकार और आकार बिल्कुल समान हो।

अनुरूपता मानदंड बहुत उपयोगी हैं, क्योंकि अभ्यास में, असंख्य टुकड़ों और यांत्रिक भागों को श्रृंखला में निर्मित किया जाना चाहिए, इस तरह से कि उनके माप और आकार बिल्कुल समान हैं।

त्रिकोण की समानता

एक त्रिकोण दूसरे के समान है यदि उनका आकार समान है, भले ही वे विभिन्न आकारों के हों। यह सुनिश्चित करने के लिए कि आकार समान है, यह आवश्यक है कि आंतरिक कोणों का मूल्य समान हो और किनारे समानुपातिक हों।

चित्र 6. दो समान त्रिभुज: उनके आकार भिन्न होते हैं लेकिन उनके अनुपात समान होते हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

आकृति 2 में त्रिकोण भी समान हैं, जैसा कि आंकड़े 6 में हैं। इस तरह से:

पक्षों के लिए के रूप में, निम्न समानता अनुपात पकड़:

गुण

त्रिकोण के मूल गुण इस प्रकार हैं:

-किसी भी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 internal होता है।

-किसी भी त्रिकोण के लिए, उसके बाहरी कोण का योग 360 ° के बराबर होता है।

- त्रिभुज का एक बाहरी कोण दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर है जो उक्त कोण से सटे हुए नहीं है।

प्रमेयों

थेल्स का पहला प्रमेय

वे ग्रीक दार्शनिक और गणितज्ञ थेल के मिलिटस के लिए जिम्मेदार हैं, जिन्होंने ज्यामिति से संबंधित कई प्रमेयों को विकसित किया। उनमें से पहला निम्नलिखित बताता है:

चित्रा 7. थेल्स की प्रमेय। स्रोत: एफ। ज़पाटा

दूसरे शब्दों में:

a / a a = b / b´ = c / c b

थेल्स का पहला प्रमेय एक त्रिभुज पर लागू होता है, उदाहरण के लिए हमारे पास बाईं ओर नीला त्रिभुज ABC है, जो दाईं ओर लाल समानताओं द्वारा काटा गया है:

चित्रा 8. थेल्स की प्रमेय और इसी तरह के त्रिकोण।

वायलेट त्रिकोण AB'C 'नीले त्रिभुज ABC के समान है, इसलिए, थेल्स प्रमेय के अनुसार, निम्नलिखित निम्नलिखित हो सकते हैं:

AB / AC´ = AB / AC

और यह त्रिभुजों की समानता के खंड में पहले बताए गए अनुसार है। वैसे, समानांतर रेखाएं भी कर्ण के समानांतर या समानांतर हो सकती हैं और समान त्रिकोण समान तरीके से प्राप्त होते हैं।

थेल्स का दूसरा प्रमेय

यह प्रमेय एक त्रिभुज और केंद्र O के साथ एक वृत्त को भी संदर्भित करता है, जैसे कि नीचे दिखाए गए। इस आंकड़े में, AC परिधि का एक व्यास है और B उस पर एक बिंदु है, B A और B से अलग है।

थेल्स की दूसरी प्रमेय में कहा गया है कि:

चित्रा 9. थेल्स का दूसरा प्रमेय। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स Inductiveload।

पाइथागोरस प्रमेय

यह इतिहास में सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक है। यह समोस के ग्रीक गणितज्ञ पाइथागोरस (569 - 475 ईसा पूर्व) के कारण है और एक सही त्रिकोण पर लागू होता है। ऐसा कहते हैं:

यदि हम एक उदाहरण के रूप में आंकड़ा 8 में नीले त्रिकोण, या बैंगनी त्रिकोण को लेते हैं, चूंकि दोनों आयताकार हैं, तो यह कहा जा सकता है:

एसी ² = एबी ² + बीसी ² (नीला त्रिकोण)

AC ² = AB´ ² + BC´ ² (बैंगनी त्रिकोण)

एक त्रिभुज का क्षेत्र

त्रिभुज का क्षेत्रफल इसके आधार a और उसकी ऊँचाई h के गुणनफल से दिया गया है, जिसे 2. द्वारा विभाजित किया गया है और त्रिकोणमिति द्वारा, इस ऊँचाई को h = b sinθ लिखा जा सकता है।

चित्र 10. त्रिभुज का क्षेत्रफल। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

त्रिकोण के उदाहरण

उदाहरण 1

ऐसा कहा जाता है कि अपनी पहली प्रमेय के माध्यम से, थेल्स मिस्र में ग्रेट पिरामिड की ऊंचाई को मापने में कामयाब रहे, प्राचीन दुनिया के 7 आश्चर्यों में से एक, यह जमीन पर प्रक्षेपित छाया और जमीन में संचालित हिस्सेदारी द्वारा डाली गई छाया को मापने के द्वारा।

यह किस्से के बाद की प्रक्रिया की रूपरेखा है:

चित्रा 11. त्रिकोणों की समानता द्वारा महान पिरामिड की ऊंचाई को मापने की योजना। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स dake

थेल्स ने सही तरीके से माना कि सूर्य की किरणें समानांतर में प्रहार करती हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, उन्होंने दाईं ओर बड़े सही त्रिकोण की कल्पना की।

D, पिरामिड की ऊँचाई है और C, रेगिस्तान तल पर पिरामिड द्वारा छाया से केंद्र से मापी गई ज़मीन के ऊपर की दूरी है। सी को मापने के लिए श्रमसाध्य हो सकता है, लेकिन पिरामिड की ऊंचाई को मापना निश्चित रूप से आसान है।

बाईं ओर एक छोटा त्रिकोण है, जिसमें पैर ए और बी हैं, जहां ए जमीन में लंबवत संचालित दांव की ऊंचाई है और बी वह छाया है जो इसे डाली जाती है। दोनों लंबाई औसत दर्जे का है, जैसे कि C (C छाया की लंबाई के बराबर है + पिरामिड की आधी लंबाई)।

तो, त्रिकोणों की समानता से:

ए / बी = डी / सी

और महान पिरामिड की ऊँचाई निकलती है: D = C. (A / B)

उदाहरण 2

सिविल निर्माण में ट्रस लकड़ी या धातु की पतली सीधी सलाखों से बनी संरचनाएं होती हैं, जिन्हें कई इमारतों में समर्थन के रूप में इस्तेमाल किया जाता है। उन्हें ट्रस, ट्रस या ट्रस के रूप में भी जाना जाता है।

उनमें त्रिभुज हमेशा मौजूद होते हैं, चूंकि बार को नोड्स नामक बिंदुओं पर आपस में जोड़ा जाता है, जिसे तय या व्यक्त किया जा सकता है।

चित्रा 12. इस पुल के फ्रेम में त्रिकोण मौजूद है। स्रोत: PxHere

उदाहरण 3

त्रिकोणासन के रूप में जाना जाने वाला तरीका दुर्गम बिंदुओं के स्थान को प्राप्त करने की अनुमति देता है, जो अन्य दूरियों को मापना आसान है, बशर्ते कि एक त्रिभुज का निर्माण होता है जिसमें इसके कोने के बीच वांछित स्थान शामिल होता है।

उदाहरण के लिए, निम्न आकृति में हम जानना चाहते हैं कि जहाज समुद्र में कहां है, जिसे B के रूप में दर्शाया गया है।

चित्रा 13. जहाज का पता लगाने के लिए त्रिकोण योजना। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स कोलेट

सबसे पहले, तट पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी को मापा जाता है, जो आकृति में ए और सी हैं। अगला, कोण α और, निर्धारित किया जाना चाहिए, थियोडोलाइट का उपयोग करके, ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज कोणों को मापने के लिए उपयोग किया जाने वाला उपकरण।

इस सारी जानकारी के साथ, एक त्रिभुज बनाया गया है जिसके ऊपरी शीर्ष पर जहाज है। यह समुद्र में जहाज की स्थिति निर्धारित करने के लिए, त्रिकोणों के गुणों और त्रिकोणमिति का उपयोग करके दूरियों की गणना करने के लिए कोण γ की गणना करने के लिए बनी हुई है।

अभ्यास

अभ्यास 1

दिखाए गए चित्र में, सूर्य की किरणें समानांतर हैं। इस तरह, 5 मीटर लंबा पेड़ जमीन पर 6 मीटर छाया डालता है। उसी समय, इमारत की छाया 40 मीटर है। थेल्स की पहली प्रमेय के बाद, इमारत की ऊंचाई का पता लगाएं।

चित्र 14. हल किए गए व्यायाम के लिए योजना 1. स्रोत: एफ। ज़पाटा।

उपाय

लाल त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः 5 और 6 मीटर हैं, जबकि नीले रंग की ऊँचाई H - भवन की ऊँचाई - और आधार 40 मीटर है। दोनों त्रिकोण समान हैं, इसलिए:

व्यायाम २

आपको दो बिंदुओं ए और बी के बीच क्षैतिज दूरी जानने की जरूरत है, लेकिन वे बहुत असमान जमीन पर स्थित हैं।

उक्त भू-भाग के मध्य बिंदु (P _m) पर लगभग 1.75 मीटर ऊँचा स्थान है। यदि टेप माप ए से प्रमुखता तक 26 मीटर की लंबाई और बी से एक ही बिंदु पर 27 मीटर की दूरी को इंगित करता है, तो एबी की दूरी का पता लगाएं।

चित्र 15. हल किए गए व्यायाम के लिए योजना 2. स्रोत: जिमेनेज, आर। गणित II। ज्यामिति और त्रिकोणमिति।

उपाय

पायथागॉरियन प्रमेय को आकृति में दो सही त्रिकोणों में से एक पर लागू किया जाता है। बाईं ओर एक के साथ शुरू:

हाइपोटेन्यूज = सी = 26 मीटर

ऊँचाई = a = 1.75 मीटर

एपी _एम = (26 ² - 1.75 ²) ^1/2 = 25.94 मीटर

अब दाईं ओर त्रिकोण में पाइथागोरस को लागू करें, इस बार c = 27 मीटर, a = 1.75 मीटर। इन मूल्यों के साथ:

बीपी _एम = (27 ² - 1.75 ²) ^1/2 = 26.94 मीटर

इन परिणामों को जोड़कर AB की दूरी पाई जाती है:

एबी = 25.94 मीटर + 26.94 मीटर = 52.88 मीटर।

संदर्भ

1. बाल्डोर, जेए 1973. विमान और अंतरिक्ष ज्यामिति। मध्य अमेरिकी सांस्कृतिक।
2. Barredo, D. त्रिकोण की ज्यामिति। से पुनर्प्राप्त: ficus.pntic.mec.es।
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4. वेंटवर्थ, जी। प्लेन ज्यामिति। से पुनर्प्राप्त: gutenberg.org।
5. विकिपीडिया। त्रिभुज। से बरामद: तों। wikipedia.org।