तात्कालिक गति: परिभाषा, सूत्र, गणना और अभ्यास - शारीरिक - 2025

तात्कालिक वेग समय पारी की तात्कालिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है। यह एक अवधारणा है जो आंदोलन के अध्ययन में बहुत सटीकता जोड़ती है। और यह औसत गति के संबंध में एक अग्रिम है, जिसकी जानकारी बहुत सामान्य है।

तात्कालिक वेग प्राप्त करने के लिए, आइए यथासंभव छोटे समय अंतराल को देखें। विभेदक कैलकुलस गणितीय रूप से इस विचार को व्यक्त करने के लिए सही उपकरण है।

तात्कालिक गति अपनी यात्रा के प्रत्येक बिंदु पर मोबाइल की गति दिखाती है। स्रोत: पिक्साबे

प्रारंभिक बिंदु औसत गति है:

इस सीमा को व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है। अंतर कलन अंकन में हमारे पास है:

जब तक गति एक सीधी रेखा तक ही सीमित है, वेक्टर संकेतन के साथ तिरस्कृत किया जा सकता है।

तात्कालिक वेग की गणना: ज्यामितीय व्याख्या

निम्नलिखित आंकड़ा व्युत्पन्न अवधारणा की ज्यामितीय व्याख्या को दर्शाता है: यह वक्र x (t) बनाम बनाम स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है। प्रत्येक बिंदु पर टी।

P पर तात्कालिक वेग संख्यात्मक रूप से वक्र x की वक्र रेखा के बराबर है। बनाम। बिंदु P पर टी। स्रोत: स्रोत: Source に く Source Source Source Source Source।

आप सोच सकते हैं कि यदि बिंदु Q को बिंदु P से थोड़ा कम करके संपर्क किया जाए तो सीमा कैसे प्राप्त की जाए। एक क्षण आएगा जब दोनों बिंदु इतने करीब होंगे, कि आप एक को दूसरे से अलग नहीं कर पाएंगे।

उनके साथ जुड़ने वाली रेखा तब सेकेन् टेंट (दो बिंदुओं पर स्थित होने वाली रेखा) से स्पर्शरेखा (केवल एक बिंदु पर वक्र को स्पर्श करने वाली रेखा) तक जाएगी। इसलिए, एक गतिशील कण के तात्कालिक वेग को खोजने के लिए हमारे पास होना चाहिए:

• समय के एक समारोह के रूप में कण की स्थिति का ग्राफ। प्रत्येक तात्कालिक समय पर वक्र को स्पर्शरेखा रेखा की ढलान का पता लगाना, हमारे पास प्रत्येक बिंदु पर तात्कालिक वेग है जो कण में व्याप्त है।

ओ अच्छा:

• कण x (t) की स्थिति फ़ंक्शन, जो वेग फ़ंक्शन v (t) प्राप्त करने के लिए व्युत्पन्न है, फिर इस फ़ंक्शन का मूल्यांकन प्रत्येक समय टी, सुविधा में किया जाता है। स्थिति फ़ंक्शन को अलग-अलग माना जाता है।

तात्कालिक वेग की गणना में कुछ विशेष मामले

-P पर वक्र की स्पर्शरेखा रेखा का ढलान 0. है। एक सुस्त ढलान का मतलब है कि मोबाइल बंद है और इसकी गति निश्चित रूप से 0 है।

-पी पर वक्र को स्पर्शरेखा रेखा का ढलान 0. से अधिक है। वेग सकारात्मक है। ऊपर के ग्राफ में इसका मतलब है कि मोबाइल O से दूर जा रहा है।

-पी पर वक्र की स्पर्शरेखा रेखा का ढलान 0. से कम है। वेग नकारात्मक होगा। ऊपर दिए गए ग्राफ़ में, ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं, लेकिन इस मामले में कण ओ के पास पहुंच जाएगा।

-वक्र को स्पर्शरेखा रेखा का ढलान P और अन्य सभी बिंदुओं पर स्थिर होता है। इस मामले में ग्राफ एक सीधी रेखा है और मोबाइल में समान आयताकार गति MRU है (इसकी गति स्थिर है)।

सामान्य तौर पर, फ़ंक्शन v (t) भी समय का एक फ़ंक्शन है, जो बदले में एक व्युत्पन्न हो सकता है। क्या होगा यदि यह कार्य x (t) और v (t) के डेरिवेटिव को खोजना संभव नहीं था?

एक्स (टी) के मामले में यह हो सकता है कि ढलान - तात्कालिक वेग - अचानक परिवर्तन पर हस्ताक्षर करता है। या कि यह शून्य से तुरंत एक अलग मूल्य पर जाएगा।

यदि ऐसा है, तो ग्राफ x (t) अचानक परिवर्तन के स्थानों पर अंक या कोने प्रस्तुत करेगा। पिछली छवि में दर्शाए गए मामले से बहुत अलग, जिसमें वक्र x (t) बिना अंक, कोनों, असंतोष या अचानक परिवर्तनों के बिना एक चिकनी वक्र है।

सच्चाई यह है कि वास्तविक मोबाइलों के लिए, चिकनी वक्र वे होते हैं जो ऑब्जेक्ट के व्यवहार का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करते हैं।

सामान्य रूप से आंदोलन काफी जटिल है। मोबाइलों को थोड़ी देर के लिए रोका जा सकता है, बाकी की गति में तेजी लाने के लिए और प्रारंभिक बिंदु से दूर जाने के लिए, थोड़ी देर के लिए गति बनाए रखें, फिर ब्रेक को फिर से और इतने पर रोकें।

फिर से वे फिर से शुरू कर सकते हैं और उसी दिशा में जारी रख सकते हैं। या तो रिवर्स संचालित करें और वापस लौटें। इसे एक आयाम में विविध गति कहा जाता है।

यहाँ तात्कालिक वेग की गणना के कुछ उदाहरण दिए गए परिभाषाओं के उपयोग को स्पष्ट करेंगे:

तात्कालिक गति के हल किए गए अभ्यास

अभ्यास 1

गति के निम्न नियम के साथ एक कण एक सीधी रेखा के साथ चलता है:

सभी इकाइयाँ इंटरनेशनल सिस्टम में हैं। खोजें:

a) t = 3 सेकंड पर कण की स्थिति।

b) t = 0 s और t = 3 s के बीच के अंतराल में औसत गति।

c) t = 0 s और t = 3 s के बीच के अंतराल में औसत गति।

d) पिछले प्रश्न से कण की तात्कालिक गति, t = 1 s पर।

जवाब

a) कण की स्थिति ज्ञात करने के लिए, गति का नियम (पोजीशन फंक्शन) का मूल्यांकन t = 3 पर किया जाता है:

x (3) = (-4/3).3 ³ + 2. 3 ² ₊ 6.3 - 10 मीटर = -10 मीटर

कोई समस्या नहीं है कि स्थिति नकारात्मक है। संकेत (-) इंगित करता है कि कण मूल ओ के बाईं ओर है।

बी) औसत वेग की गणना में, कण के अंतिम और प्रारंभिक पदों को संकेतित समय पर आवश्यक है: x (3) और x (0)। T = 3 पर स्थिति x (3) है और पिछले परिणाम से ज्ञात है। T = 0 सेकंड पर स्थिति x (0) = -10 m है।

चूंकि अंतिम स्थिति प्रारंभिक स्थिति के समान है, यह तुरंत निष्कर्ष निकाला गया है कि औसत वेग 0 है।

ग) औसत गति यात्रा की गई दूरी और समय के बीच का अनुपात है। अब, दूरी विस्थापन का मॉड्यूल या परिमाण है, इसलिए:

दूरी = -x2 - X1- = - 10 - (-10) - m = 20 मीटर

ध्यान दें कि यात्रा की गई दूरी हमेशा सकारात्मक हो।

v _{m = 20 m / 3 s = 6.7 m / s}

d) यहां पर समय के संबंध में स्थिति की पहली व्युत्पत्ति का पता लगाना आवश्यक है। फिर इसका मूल्यांकन t = 1 सेकंड के लिए किया जाता है।

x '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4.1 ² + 4.1 + 6 m / s = 6 m / s

व्यायाम २

नीचे समय के एक समारोह के रूप में एक मोबाइल की स्थिति का ग्राफ है। T = 2 सेकंड पर तात्कालिक वेग ज्ञात करें।

मोबाइल के लिए स्थिति बनाम समय का ग्राफ। स्रोत: स्व बनाया

जवाब दे दो

वक्र पर स्पर्शरेखा रेखा को t = 2 सेकंड पर खींचें, फिर इसकी ढलान को ढूंढें, रेखा पर कोई भी दो बिंदु लें।

संकेतित बिंदु पर तात्कालिक वेग की गणना करने के लिए, उस बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा खींचें और उसका ढलान ढूंढें। स्रोत: स्व बनाया

इस उदाहरण में हम आसानी से देखे जाने वाले दो बिंदु लेंगे, जिनके निर्देशांक (2 s, 10 m) और ऊर्ध्वाधर अक्ष (0 s, 7 m) के साथ कट हैं:

संदर्भ

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