वास्तविक संख्याओं का वर्गीकरण - विज्ञान - 2025

वास्तविक संख्याओं के मुख्य वर्गीकरण को प्राकृतिक संख्याओं, संपूर्ण संख्याओं, परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं में विभाजित किया जाता है। वास्तविक संख्याओं को आर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।

ऐसे कई तरीके हैं जिनमें अलग-अलग वास्तविक संख्याओं का निर्माण या वर्णन किया जा सकता है, सरल रूपों से लेकर अधिक जटिल वाले, गणितीय कार्य के आधार पर।

वास्तविक संख्याओं को कैसे वर्गीकृत किया जाता है?

- प्राकृतिक संख्याएं

प्राकृतिक संख्याओं को अक्षर (n) द्वारा दर्शाया जाता है और क्या वे (0,1,2,3,4…) को गिनने के लिए उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए " बगीचे में पंद्रह गुलाब हैं ", "मेक्सिको की आबादी 126 मिलियन लोग हैं" या " दो और दो का योग चार है "। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कुछ वर्गीकरण में प्राकृतिक संख्या के रूप में 0 शामिल हैं और अन्य नहीं हैं।

दो बच्चे दो प्राकृतिक संख्याओं का योग कर रहे हैं।

प्राकृतिक संख्याओं में उन लोगों को शामिल नहीं किया गया है जिनके पास दशमलव भाग है। इसलिए, "मेक्सिको की जनसंख्या 126.2 मिलियन लोग हैं" या "तापमान 24.5 डिग्री सेल्सियस है" को प्राकृतिक संख्या नहीं माना जा सकता है।

सामान्य विचलन में, उदाहरण के लिए प्राथमिक विद्यालयों में, प्राकृतिक संख्याओं को नकारात्मक पूर्णांक और शून्य को बाहर करने के लिए गिनती संख्या कहा जा सकता है।

प्राकृतिक संख्याएँ वे आधार हैं जिनके साथ संख्याओं के कई अन्य सेटों का विस्तार करके निर्माण किया जा सकता है: संपूर्ण संख्याएँ, परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ, और जटिल संख्याएँ, अन्य।

प्राकृतिक संख्याओं के गुणों, जैसे कि प्राथमिक संख्या का विभाजन और वितरण, संख्या सिद्धांत में अध्ययन किया जाता है। गणना और आदेश से संबंधित समस्याएं, जैसे कि गणना और विभाजन, काम्बिनेटरिक्स में अध्ययन किया जाता है।

उनके कई गुण हैं, जैसे: जोड़, गुणा, घटाव, विभाजन, आदि।

साधारण और कार्डिनल संख्या

प्राकृतिक संख्याएं क्रमिक या कार्डिनल हो सकती हैं।

कार्डिनल नंबर वे होंगे जो प्राकृतिक संख्या के रूप में उपयोग किए जाते हैं, जैसा कि हमने पहले उदाहरणों में बताया था। "मेरे पास दो कुकीज़ हैं", "मैं तीन बच्चों का पिता हूं ", "बॉक्स में दो मुफ्त क्रीम शामिल हैं"।

अध्यादेश वे हैं जो आदेश को व्यक्त करते हैं या एक स्थिति का संकेत देते हैं। उदाहरण के लिए, एक दौड़ में धावकों के आगमन का क्रम विजेता के साथ शुरू होता है और अंतिम पंक्ति में पहुंचने वाले अंतिम के साथ समाप्त होता है।

इस तरह, यह कहा जाएगा कि विजेता "पहले", अगला "दूसरा", अगला "तीसरा" और इसी तरह अंतिम तक। लेखन (1, 2, 3, 4, आदि) को सरल बनाने के लिए ऊपरी दाहिने भाग में एक अक्षर द्वारा इन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

- पूर्णांक संख्या

पूरी संख्याएं उन प्राकृतिक संख्याओं और उनके विपरीतों से बनी होती हैं, यानी नकारात्मक संख्या (0, 1, -1, 2, -2, 50, -50…)। प्राकृतिक संख्याओं की तरह, इनमें वे भी शामिल नहीं हैं जिनका दशमलव भाग है।

संपूर्ण संख्याओं का एक उदाहरण "जर्मनी में औसतन 30º वर्ष पहले" होगा, "मैं महीने के अंत में 0 पर रहा", "तहखाने में नीचे जाने के लिए आपको -1 एलेवेटर बटन दबाना होगा"।

बदले में, एक भिन्नात्मक घटक के साथ पूरे नंबर नहीं लिखे जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, 8.58 या are2 जैसी संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं।

संपूर्ण संख्याओं को अक्षर (Z) द्वारा दर्शाया जाता है। Z, परिमेय संख्या Q के समूह का एक उपसमूह है, जो वास्तविक संख्या R के समूह का निर्माण करता है। प्राकृतिक संख्याओं की तरह, Z एक अनंत गणनीय समूह है।

पूरे नंबर सबसे छोटे समूह और प्राकृतिक संख्याओं के सबसे छोटे समूह बनाते हैं। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, पूर्णांक को कभी-कभी बीजगणितीय पूर्णांकों से अलग करने के लिए अपरिमेय पूर्णांक कहा जाता है।

- परिमेय संख्या

तर्कसंगत संख्याओं के समुच्चय को अक्षर (Q) द्वारा दर्शाया जाता है और इसमें वे सभी संख्याएँ शामिल होती हैं जिन्हें पूरी संख्याओं के एक अंश के रूप में लिखा जा सकता है।

यही है, इस सेट में प्राकृतिक संख्या (4/1), पूरे नंबर (-4/1), और सटीक दशमलव संख्या (15.50 = 1550/100) शामिल हैं।

पनीर का 1/6 एक तर्कसंगत संख्या है।

एक परिमेय संख्या का दशमलव विस्तार हमेशा अंकों की एक परिमित संख्या (उदाहरण: 15.50) के बाद समाप्त होता है या जब अंकों का एक ही परिमित क्रम बार-बार दोहराने लगता है (उदाहरण: 0.3456666666666666…)। इसलिए, तर्कसंगत संख्याओं के सेट के भीतर संख्याओं को शामिल किया गया है। शुद्ध समाचार पत्र या मिश्रित समाचार पत्र।

इसके अतिरिक्त, किसी भी दोहराव या टर्मिनल दशमलव एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। ये कथन न केवल आधार 10 के लिए, बल्कि किसी अन्य पूर्णांक आधार के लिए भी सही हैं।

एक वास्तविक संख्या जो तर्कसंगत नहीं है, उसे तर्कहीन कहा जाता है। उदाहरण के लिए अपरिमेय संख्याओं में √2, √ और e शामिल हैं। चूँकि परिमेय संख्याओं का पूरा समूह गणनीय है, और वास्तविक संख्याओं का समूह गणनीय नहीं है, इसलिए कहा जा सकता है कि लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ तर्कहीन हैं।

परिमेय संख्याओं को औपचारिक रूप से पूर्णांकों (p, q) के जोड़े के समतुल्य वर्गों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि q relation 0 या समकक्ष संबंध (p1, q1) (P2, q2) केवल p1, q2 / P2q1 से।

जोड़ और गुणा के साथ, परिमेय संख्याएँ, फ़ील्ड बनाती हैं जो पूर्णांक बनाती हैं और पूर्णांक समाहित करने वाली किसी भी शाखा द्वारा निहित होती हैं।

- अपरिमेय संख्या

तर्कहीन संख्याएं सभी वास्तविक संख्याएं हैं जो तर्कसंगत संख्याएं नहीं हैं; अपरिमेय संख्याओं को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। परिमेय संख्याएँ पूर्ण संख्याओं के अंशों से बनी संख्याएँ होती हैं।

कैंटर के परीक्षण के परिणामस्वरूप जो कहता है कि सभी वास्तविक संख्याएं बेशुमार हैं और तर्कसंगत संख्याएं गिनने योग्य हैं, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि लगभग सभी वास्तविक संख्याएं तर्कहीन हैं।

जब दो लाइन खंडों की लंबाई का त्रिज्या एक अपरिमेय संख्या होती है, तो यह कहा जा सकता है कि ये रेखा खंड असंगत हैं; इसका अर्थ है कि एक पर्याप्त लंबाई नहीं है ताकि उनमें से प्रत्येक को किसी विशेष पूर्णांक के साथ "मापा" जा सके।

अपरिमेय संख्याओं में इसके व्यास के वृत्त परिधि का त्रिज्या are है, यूलर संख्या (e), स्वर्ण संख्या (golden) और दो का वर्गमूल; इसके अलावा, प्राकृतिक संख्याओं के सभी वर्ग मूल अपरिमेय हैं। इस नियम का एकमात्र अपवाद पूर्ण वर्ग हैं।

यह देखा जा सकता है कि जब एक अंक प्रणाली में स्थितिजन्य तरीके से तर्कहीन संख्याएं व्यक्त की जाती हैं, (जैसे दशमलव संख्याओं में उदाहरण के लिए) वे समाप्त या दोहराई नहीं जाती हैं।

इसका मतलब है कि उनके पास अंकों का अनुक्रम नहीं है, पुनरावृत्ति जिसके द्वारा प्रतिनिधित्व की एक पंक्ति बनाई जाती है।

अपरिमेय संख्या पी का सरलीकरण।

उदाहरण के लिए: संख्या number का दशमलव प्रतिनिधित्व 3.14159265358979 से शुरू होता है, लेकिन अंकों की कोई परिमित संख्या नहीं है जो, बिल्कुल प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, न ही उन्हें दोहराया जा सकता है।

यह प्रमाण कि किसी परिमेय संख्या का दशमलव विस्तार समाप्त होना चाहिए या दोहराना इस प्रमाण से भिन्न है कि दशमलव विस्तार एक परिमेय संख्या होना चाहिए; हालांकि बुनियादी और कुछ हद तक, ये परीक्षण कुछ काम करते हैं।

आमतौर पर गणितज्ञ एक तर्कसंगत संख्या की अवधारणा को परिभाषित करने के लिए "समाप्त या दोहराने" की धारणा नहीं लेते हैं।

गैर-निरंतर अंशों के माध्यम से अपरिमेय संख्याओं का भी इलाज किया जा सकता है।

संदर्भ

1. Classifyng वास्तविक संख्या। Chilimath.com से पुनर्प्राप्त।
2. प्राकृतिक संख्या। Wikipedia.org से पुनर्प्राप्त।
3. संख्याओं का वर्गीकरण। Ditutor.com से पुनर्प्राप्त।
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