दीर्घवृत्त: विशेषताएँ और उदाहरण - आर्टे - 2025

दीर्घवृत्ताभ अंतरिक्ष में एक सतह कि द्विघात सतहों और जिसका सामान्य समीकरण रूप से है के समूह के अंतर्गत आता है:

यह एक दीर्घवृत्त के तीन आयामी समतुल्य है, जिसमें कुछ विशेष मामलों में अण्डाकार और गोलाकार निशान होते हैं। निशान एक विमान के साथ दीर्घवृत्त को प्रतिच्छेद करके प्राप्त वक्र हैं।

चित्र 1. तीन अलग-अलग दीर्घवृत्त: शीर्ष पर एक गोला जिसमें तीन अर्ध-कुल्हाड़ियां बराबर होती हैं, नीचे बाईं ओर एक गोलाकार, दो बराबर अर्ध-कुल्हाड़ियों के साथ और एक अलग, और अंत में नीचे दाईं ओर, तीन अलग-अलग अक्षों के साथ एक त्रिअक्षीय गोलाकार। लंबाई। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

दीर्घवृत्त के अलावा, पाँच और चतुष्कोण होते हैं: एक-पत्रक और दो-पत्रक अतिपरवलय, दो प्रकार के उपापचयी (हाइपरबोलिक और अण्डाकार), और अण्डाकार शंकु। इसके निशान भी शंक्वाकार हैं।

कार्टिपियन निर्देशांक में मानक समीकरण द्वारा दीर्घवृत्त भी व्यक्त किया जा सकता है। एक दीर्घवृत्त मूल (0,0,0) पर केंद्रित है और इस तरह से व्यक्त किया गया है, दीर्घवृत्त जैसा दिखता है, लेकिन एक अतिरिक्त शब्द के साथ:

ए, बी, और सी के मूल्य 0 से अधिक वास्तविक संख्या हैं और दीर्घवृत्त के तीन अर्ध-अक्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

दीर्घवृत्ताभ लक्षण

- मानक समीकरण

कार्टेशियन में मानक समीकरण बिंदु (h, k, m) पर केंद्रित दीर्घवृत्त के लिए निर्देशांक है:

- दीर्घवृत्त के समांतर समीकरण

गोलाकार निर्देशांक में, दीर्घवृत्त को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

x = एक पाप θ। cos φ

y = b sin θ। सेन φ

z = c cos θ

दीर्घवृत्त का अर्ध-अक्ष a, b और c रहता है, जबकि पैरामीटर निम्न आकृति के कोण of और of हैं:

चित्रा 2. गोलाकार समन्वय प्रणाली। दीर्घवृत्ताभ को पैरामीटर के रूप में प्रदर्शित कोणों थीटा और phi का उपयोग करके परिमाणित किया जा सकता है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स Andeggs / सार्वजनिक डोमेन।

- दीर्घवृत्त के निशान

अंतरिक्ष में किसी सतह का सामान्य समीकरण F (x, y, z) = 0 है और सतह के निशान वक्र हैं:

- एक्स = सी; एफ (सी, वाई, जेड) = 0

- वाई = सी; एफ (एक्स, सी, जेड) = 0

- z = c; एफ (एक्स, वाई, सी) = 0

एक दीर्घवृत्त के मामले में, इस तरह के घटता दीर्घवृत्त और कभी-कभी हलकों होते हैं।

- आयतन

दीर्घवृत्त का आयतन V इसके तीन अर्ध-अक्षों के गुणनफल (4/3) द्वारा दिया जाता है:

वी = (4/3) 3। एबीसी

दीर्घवृत्त के विशेष मामले

-एक दीर्घवृत्ताकार एक गोला बन जाता है जब सभी अर्ध-कुल्हाड़ियों का आकार समान होता है: a = b = c, 0. यह समझ में आता है, क्योंकि दीर्घवृत्त एक गोले की तरह होता है जिसे प्रत्येक के साथ अलग-अलग खींचा गया होता है एक्सिस।

-गोलाकार एक दीर्घवृत्ताभ है जिसमें दो अर्ध-कुल्हाड़ियां समान हैं और तीसरा अलग है, उदाहरण के लिए यह एक = b। C हो सकता है।

स्फेरॉइड को क्रांति का एक दीर्घवृत्त भी कहा जाता है, क्योंकि यह एक अक्ष के चारों ओर दीर्घवृत्त को घुमाकर उत्पन्न किया जा सकता है।

यदि रोटेशन की धुरी प्रमुख अक्ष के साथ मेल खाती है, तो गोलाकार लम्बा होता है, लेकिन अगर यह नाबालिग अक्ष के साथ मेल खाता है, तो यह तिरछा है:

चित्रा 3. बाईं ओर गोलाकार और दाईं ओर गोलाकार फैलाएं। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

गोलाकार (दीर्घवृत्ताकार) के चपटेपन की माप दो अर्ध-कुल्हाड़ियों के बीच की लंबाई के अंतर से दी जाती है, जिसे भिन्नात्मक रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात यह इकाई चपटा होता है, जिसके द्वारा दिया जाता है:

एफ = (ए - बी) / ए

इस समीकरण में, अर्ध-प्रमुख अक्ष का प्रतिनिधित्व करता है और सेमी-माइनर अक्ष बी, यह याद रखें कि तीसरा अक्ष गोलाकार के लिए इनमें से एक के बराबर है। F का मान 0 से 1 के बीच है और एक गोलाकार के लिए इसे 0 से अधिक होना चाहिए (यदि यह 0 के बराबर होता तो हमारे पास बस एक गोला होता)।

संदर्भ दीर्घवृत्त

सामान्य रूप से ग्रह और तारे, आमतौर पर पूर्ण क्षेत्र नहीं होते हैं, क्योंकि उनकी कुल्हाड़ियों के चारों ओर घूर्णी आंदोलन शरीर को ध्रुवों पर समतल करते हैं और इसे भूमध्य रेखा पर उभारते हैं।

यही कारण है कि पृथ्वी एक तिरछी गोलाकार की तरह निकलती है, हालांकि पिछले आंकड़े में एक के रूप में अतिरंजित नहीं है, और इसके भाग के लिए गैस विशाल शनि सौर मंडल में ग्रहों का सबसे समतल है।

इसलिए ग्रहों का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अधिक यथार्थवादी तरीका यह मान लेना है कि वे क्रांति के एक गोलाकार या दीर्घवृत्त की तरह हैं, जिसकी अर्ध-प्रमुख धुरी भूमध्यरेखीय त्रिज्या और अर्ध-लघु धुरी ध्रुवीय त्रिज्या है।

ग्लोब पर किए गए सावधानीपूर्वक मापों ने पृथ्वी के संदर्भ दीर्घवृत्ताभ का निर्माण करना संभव बना दिया है क्योंकि यह गणितीय रूप से काम करने का सबसे सटीक तरीका है।

तारों में घूर्णी गति भी होती है जो उन्हें कम या ज्यादा चपटा आकार देती है। दक्षिणी तारामंडल एरिडानस में रात के आकाश में आठवें सबसे चमकीले तारे वाला शीघ्र ताराचर सबसे अधिक की तुलना में उल्लेखनीय रूप से अण्डाकार है। यह हम से 144 प्रकाश वर्ष है।

दूसरे चरम पर, कुछ साल पहले वैज्ञानिकों ने सबसे गोलाकार वस्तु को पाया: स्टार केपलर 11145123, 5000 प्रकाश वर्ष दूर, हमारे सूर्य के आकार का दोगुना और सिर्फ 3 किमी के अर्ध-कुल्हाड़ियों के बीच का अंतर। जैसा कि अपेक्षित था, यह भी धीरे-धीरे घूमता है।

जैसा कि पृथ्वी के लिए है, यह एक परिपूर्ण गोलाकार नहीं है क्योंकि इसकी ऊबड़ सतह और गुरुत्वाकर्षण में स्थानीय विविधताएं हैं। इस कारण से, एक से अधिक संदर्भ स्फेयर उपलब्ध हैं और प्रत्येक साइट पर स्थानीय भूगोल के लिए सबसे उपयुक्त चुना गया है।

उपग्रहों की सहायता पृथ्वी के आकार के तेजी से सटीक मॉडल बनाने में अमूल्य है, उनके लिए धन्यवाद यह ज्ञात है, उदाहरण के लिए, कि दक्षिणी ध्रुव उत्तरी ध्रुव की तुलना में भूमध्य रेखा के करीब है।

चित्र 4. हौमिया, ट्रांस-नेप्टुनियन बौना ग्रह का एक दीर्घवृत्त आकार है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

संख्यात्मक उदाहरण

पृथ्वी के घूमने के कारण, एक केन्द्रापसारक बल उत्पन्न होता है जो इसे एक गोले के बजाय एक आयताकार दीर्घवृत्त का आकार देता है। पृथ्वी की भूमध्यरेखा त्रिज्या 3963 मील और ध्रुवीय त्रिज्या 3942 मील है।

इक्वेटोरियल ट्रेस के समीकरण, इस दीर्घवृत्त और इसके समतल के माप का पता लगाएं। नीचे दिए गए आंकड़ों के साथ, शनि की अण्डाकारता के साथ तुलना करें:

-सैटर्न इक्वेटोरियल रेडियस: 60,268 किमी

-संतान की त्रिज्या त्रिज्या: 54,364 किमी

उपाय

एक समन्वय प्रणाली की आवश्यकता है, जिसे हम मूल (पृथ्वी के केंद्र) पर केंद्रित मानेंगे। हम ऊर्ध्वाधर z अक्ष और ट्रेस मान लेंगे जो भूमध्य रेखा से मेल खाती है, x = समतल पर स्थित है, जो z = 0 समतल के बराबर है।

भूमध्यरेखीय तल में अर्ध-कुल्हाड़ियाँ a और b बराबर होती हैं, इसलिए a = b = 3963 मील, जबकि c = 3942 मील। यह एक विशेष मामला है: ऊपर बताए गए बिंदु (0,0,0) पर केंद्रित एक गोलाकार।

विषुवत रेखा त्रिज्या R = 3963 मील का एक वृत्त है, जो मूल पर केंद्रित है। इसकी गणना मानक समीकरण में z = 0 करके की जाती है:

और स्थलीय दीर्घवृत्ताभ का मानक समीकरण है:

f _अर्थ = (a - b) / a = (3963-3942) मील / 3963 मील = 0.0053

f _शनि = (60268-54363) किमी / 60268 किमी = 0.0980

ध्यान दें कि दीर्घवृत्तीयता एफ एक आयामहीन मात्रा है।

संदर्भ

1. डेस्कटॉप के लिए ArcGIS। स्फेरोइड्स और गोले। से पुनर्प्राप्त: Desktop.arcgis.com।
2. बीबीसी वर्ल्ड। ब्रह्मांड में अब तक खोजी गई सबसे गोलाकार वस्तु का रहस्य। से पुनर्प्राप्त: bbc.com।
3. लार्सन, आर। पथरी और विश्लेषणात्मक ज्यामिति। छठा संस्करण। मात्रा 2. मैकग्रा हिल।
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5. विकिपीडिया। उपगोल। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.org।