पावर सीरीज़: उदाहरण और अभ्यास - गणित - 2025

एक विद्युत श्रृंखला में चर x की शक्तियों के रूप में शब्दों का एक योग होता है, या अधिक सामान्यतः xc का होता है, जहाँ c एक स्थिर वास्तविक संख्या है। संक्षेपण संकेतन में शक्तियों की एक श्रृंखला इस प्रकार व्यक्त की गई है:

जहां गुणांक _o, ₁, ₂… वास्तविक संख्याएं हैं और श्रृंखला n = 0 से शुरू होती है।

चित्रा 1. एक शक्ति श्रृंखला की परिभाषा। स्रोत: एफ। ज़पाटा

यह श्रृंखला स्थिर मान c पर केंद्रित है, लेकिन आप यह चुन सकते हैं कि c 0 के बराबर है, इस स्थिति में बिजली श्रृंखला सरल हो जाती है:

श्रृंखला क्रमशः (_या xc) ⁰ और _या x ^{0 से शुरू होती} है। लेकिन हम जानते हैं कि:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

इसलिए एक _o (xc) ⁰ = a _or x ⁰ = a _o (स्वतंत्र शब्द)

पावर सीरीज़ के बारे में अच्छी बात यह है कि उनके साथ फ़ंक्शंस व्यक्त किए जा सकते हैं और इसके कई फायदे हैं, खासकर यदि आप एक जटिल फ़ंक्शन के साथ काम करना चाहते हैं।

जब यह मामला होता है, तो सीधे फ़ंक्शन का उपयोग करने के बजाय, इसकी पावर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करें, जो संख्यात्मक रूप से व्युत्पन्न, एकीकृत या काम करना आसान हो सकता है।

बेशक सब कुछ श्रृंखला के अभिसरण के लिए वातानुकूलित है। एक बड़ी संख्या में शब्दों को जोड़ने पर एक श्रृंखला परिवर्तित होती है जो एक निश्चित मान देती है। और यदि हम अभी भी अधिक शब्द जोड़ते हैं, तो हम उस मूल्य को प्राप्त करना जारी रखते हैं।

पावर सीरीज के रूप में कार्य

एक शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त फ़ंक्शन के उदाहरण के रूप में, चलो f (x) = e ^x लेते हैं ।

इस फ़ंक्शन को निम्नानुसार शक्तियों की एक श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

और ^एक्स ≈ 1 + x + (एक्स ² /2!) + (एक्स ³ /3!) + (एक्स ⁴ /4!) + (एक्स ⁵ /5!) +…

कहाँ पे! = एन। (N-1)। (N-2)। (n-3)… और इसमें 0 लगते हैं! = 1।

हम एक कैलकुलेटर की मदद से जांच करने जा रहे हैं, कि वास्तव में श्रृंखला स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन के साथ मेल खाती है। उदाहरण के लिए आइए x = 0 बनाकर शुरू करें।

हम जानते हैं कि ई ⁰ = 1. चलो देखते हैं कि श्रृंखला क्या करती है:

और ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) +… = 1

और अब x = 1 का प्रयास करते हैं। एक कैलकुलेटर रिटर्न करता है कि ई ¹ = 2.71828, और फिर चलो श्रृंखला के साथ तुलना करें:

और ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… 16 2.7167

केवल 5 शब्दों के साथ हमारा पहले से ही ई। 2.71 में एक सटीक मेल है। हमारी सीरीज़ को अभी थोड़ा और जाना है, लेकिन जैसे-जैसे और शर्तें जोड़ी जाती हैं, सीरीज़ निश्चित रूप से ई के सटीक मूल्य में परिवर्तित हो जाती है। प्रतिनिधित्व सटीक है जब n → n।

यदि पिछले विश्लेषण को n = 2 के लिए दोहराया जाता है, तो बहुत समान परिणाम प्राप्त होते हैं।

इस तरह हम सुनिश्चित करते हैं कि घातीय फ़ंक्शन f (x) = e ^x को शक्तियों की इस श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है:

चित्रा 2. इस एनीमेशन में हम देख सकते हैं कि कैसे बिजली श्रृंखला घातीय फ़ंक्शन के करीब पहुंच जाती है क्योंकि अधिक शब्द लिए जाते हैं। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

शक्तियों की ज्यामितीय श्रृंखला

फ़ंक्शन f (x) = e ^x केवल फ़ंक्शन नहीं है जो पावर श्रृंखला प्रतिनिधित्व का समर्थन करता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f (x) = 1/1 - x एक बहुत अच्छी तरह से ज्ञात अभिसरण ज्यामितीय श्रृंखला जैसा दिखता है:

इस कार्य के लिए उपयुक्त श्रृंखला प्राप्त करने के लिए a = 1 और r = x करना पर्याप्त है, जो कि c = 0 पर केंद्रित है।

हालांकि, यह ज्ञात है कि यह श्रृंखला,r 1 <1 के लिए अभिसरण है, इसलिए प्रतिनिधित्व केवल अंतराल (-1,1) में मान्य है, हालांकि फ़ंक्शन x = 1 को छोड़कर सभी x के लिए मान्य है।

जब आप इस फ़ंक्शन को किसी अन्य श्रेणी में परिभाषित करना चाहते हैं, तो आप बस एक उपयुक्त मूल्य पर ध्यान केंद्रित करते हैं और आप कर रहे हैं।

किसी फ़ंक्शन की शक्तियों का श्रृंखला विस्तार कैसे खोजें

किसी भी फंक्शन को c पर केंद्रित पावर सीरीज़ में विकसित किया जा सकता है, जब तक कि इसमें x = c पर सभी ऑर्डर का डेरिवेटिव न हो। प्रक्रिया निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करती है, जिसे टेलर की प्रमेय कहा जाता है:

आज्ञा देना x के साथ एक कार्य हो सकता है ⁽ⁿ⁾ आदेश n, जिसे f ^{(n) के} रूप में चिह्नित किया गया है, जो अंतराल I पर शक्तियों के श्रृंखला विस्तार को स्वीकार करता है। टेलर का उनका धारावाहिक विकास है:

इसलिए कि:

जहाँ R _n, जो श्रृंखला का nth शब्द है, को शेष कहा जाता है:

जब c = 0 श्रृंखला को मैक्लॉरिन श्रृंखला कहा जाता है।

यहां दी गई यह श्रृंखला शुरुआत में दी गई श्रृंखला के समान है, केवल अब हमारे पास प्रत्येक शब्द के गुणांकों को स्पष्ट रूप से खोजने का एक तरीका है, जिनके द्वारा दिया गया है:

हालांकि, हमें यह सुनिश्चित करना चाहिए कि श्रृंखला प्रतिनिधित्व करने के लिए फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाए। ऐसा होता है कि प्रत्येक टेलर श्रृंखला जरूरी नहीं कि च (x) में परिवर्तित हो जाए, जो कि _n पर गुणांक की गणना करते समय ध्यान में था ।

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि शायद x = c पर मूल्यांकन किए गए फ़ंक्शन का डेरिवेटिव, दूसरे के डेरिवेटिव के समान मूल्य के साथ मेल खाता है, वह भी x = c पर। इस मामले में गुणांक समान होंगे, लेकिन विकास अस्पष्ट होगा क्योंकि यह निश्चित नहीं है कि यह किस फ़ंक्शन से मेल खाती है।

सौभाग्य से जानने का एक तरीका है:

अभिसरण की कसौटी

अस्पष्टता से बचने के लिए, यदि I, अंतराल में सभी x के लिए R _n → 0 n n → ity के रूप में, श्रृंखला f (x) में परिवर्तित हो जाती है।

व्यायाम

- व्यायाम 1 हल

फ़ंक्शन के लिए ज्यामितीय विद्युत श्रृंखला ज्ञात करें f (x) = 1/2 - x c = 0 पर केंद्रित।

उपाय

दिए गए फ़ंक्शन को इस तरह से व्यक्त किया जाना चाहिए कि यह 1 / 1- x के साथ निकटता से मेल खाता है, जिसकी श्रृंखला ज्ञात है। तो आइए मूल अभिव्यक्ति में फेरबदल के बिना अंश और हर को फिर से लिखें।

1/2 - x = (1/2) /

चूंकि Since निरंतर है, यह समन से बाहर आता है, और यह नए चर x / 2 के संदर्भ में लिखा गया है:

ध्यान दें कि x = 2 फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित नहीं है, और ज्यामितीय विद्युत श्रृंखला अनुभाग में दिए गए अभिसरण मानदंड के अनुसार, विस्तार /x / 2│ <1 या समकक्ष -2 <x <2 के लिए मान्य है।

- व्यायाम 2 हल

फ़ंक्शन f (x) = sin x के Maclaurin श्रृंखला विस्तार के पहले 5 शब्द ज्ञात कीजिए।

उपाय

चरण 1

सबसे पहले डेरिवेटिव हैं:

-आदेश का क्रम 0: यह समान कार्य f (x) = sin x है

-पहली व्युत्पत्ति: (पाप x) x = cos x

-सेकंड व्युत्पन्न: (पाप x) cos = (cos x) sin = - पाप x

-तिर व्युत्पन्न: (पाप x)-= (-sen x) ird = - cos x

-पूर्वी व्युत्पन्न: (पाप x) - = (- cos x) th = sin x

चरण 2

फिर प्रत्येक व्युत्पन्न का मूल्यांकन एक्स = सी के रूप में किया जाता है, जैसा कि मैक्लॉरिन विस्तार, सी = 0:

पाप 0 = 0; cos 0 = 1; - पाप 0 = 0; -कोस 0 = -1; पाप ० = ०

चरण 3

गुणांक _{n का निर्माण किया जाता है};

a _o = 0/0! = 0; एक _१ = १/१! = 1; एक ₂ = 0/2! = 0; एक ₃ = -1 / 3! एक ₄ = 0/4! = 0

चरण 4

अंत में श्रृंखला के अनुसार इकट्ठा किया जाता है:

पाप x। 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0.x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…!

क्या पाठक को अधिक शब्दों की आवश्यकता है? कितने और, श्रृंखला समारोह के करीब है।

ध्यान दें कि गुणांक में एक पैटर्न है, अगला गैर-शून्य शब्द _{5 है} और एक विषम सूचकांक वाले सभी भी 0 से भिन्न हैं, संकेतों को वैकल्पिक करते हैं, ताकि:

पाप x 3 x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x x ⁷ +…।

यह जाँचने के लिए एक अभ्यास के रूप में छोड़ दिया जाता है कि यह अभिसरण करता है, श्रृंखला के अभिसरण के लिए भागफल मानदंड का उपयोग किया जा सकता है।

संदर्भ

1. सीके -12 फाउंडेशन। पावर सीरीज़: कार्यों और संचालन का प्रतिनिधित्व। से पुनर्प्राप्त: ck12.org।
2. एंगलर, ए। 2019. इंटीग्रल कैलकुलस। नेशनल यूनिवर्सिटी ऑफ लिटोरल।
3. लार्सन, आर। 2010. एक चर की गणना। 9। संस्करण। मैकग्रा हिल।
4. गणित मुक्त ग्रंथ। बिजली की श्रृंखला। से पुनर्प्राप्त: math.liibretexts.org।
5. विकिपीडिया। बिजली की श्रृंखला। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org।