बहुपद का योग, यह कैसे करना है, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

बहुआयामी पद का योग आपरेशन कि दो या अधिक बहुआयामी पद जोड़ने, एक और बहुपद में जिसके परिणामस्वरूप के होते है। इसे बाहर ले जाने के लिए, प्रत्येक बहुपद के समान क्रम की शर्तों को जोड़ना और परिणामी राशि को इंगित करना आवश्यक है।

आइए पहले संक्षेप में "समान आदेश की शर्तों" के अर्थ की समीक्षा करें। कोई भी बहुपद शब्दों के जोड़ और / या घटाव से बनता है।

चित्रा 1. दो बहुपद जोड़ने के लिए उन्हें आदेश देना आवश्यक है और फिर समान शर्तों को कम करना। स्रोत: पिक्साबे + विकिमीडिया कॉमन्स

शब्द, वास्तविक संख्याओं और एक या अधिक चरों के उत्पाद हो सकते हैं, जो अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं, उदाहरण के लिए: 3x ² और -√5.a ² bc ³ शब्द हैं।

खैर, समान आदेश की शर्तें वे हैं जिनके पास समान घातांक या शक्ति है, हालांकि उनके पास एक अलग गुणांक हो सकता है।

समान क्रम के अंक हैं: 5x ³, 32 x ³ और -1 / 2x ³

-विभिन्न आदेशों की संख्या: -2x ^-2, 2xy ^-1 और 26x ² और

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि केवल एक ही आदेश की शर्तों को जोड़ा या घटाया जा सकता है, एक ऑपरेशन जिसे कमी के रूप में जाना जाता है। अन्यथा योग केवल संकेत दिया गया है।

एक ही आदेश की शर्तों की अवधारणा स्पष्ट हो जाने के बाद, इन चरणों के बाद बहुपदों को जोड़ा जाता है:

- पहले पॉलीओनियम्स को जोड़ने का आदेश दें, सभी एक ही तरीके से, या तो बढ़ते हुए या घटते हुए तरीके से, अर्थात सबसे कम या सबसे अधिक क्षमता वाले गुणों के साथ।

- पूरा, मामले में किसी भी शक्ति अनुक्रम में गायब है।

- शर्तों की तरह कम करें ।

- परिणामी राशि का संकेत दें ।

बहुपद के अलावा के उदाहरण

हम x नामक एक चर के साथ दो बहुपद जोड़कर शुरू करेंगे, उदाहरण के लिए बहुपद p (x) और Q (x) इसके द्वारा दिए गए हैं:

P (x) = 2x ² - 5x ⁴ + 2x –x ⁵ - 3x ³ +12

Q (x) = x ⁵ - 25 x + x ²

वर्णित चरणों का पालन करते हुए, आप उन्हें अवरोही क्रम में क्रमबद्ध करके शुरू करते हैं, जो सबसे सामान्य तरीका है:

P (x) = –x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 2x ² + 2x +12

Q (x) = x ⁵ + x ² - 25x

बहुपद Q (x) पूर्ण नहीं है, यह देखा गया है कि 4, 3 और 0. के साथ लापता शक्तियां हैं। बाद वाला बस स्वतंत्र शब्द है, एक पत्र के बिना।

Q (x) = x ⁵ + 0x ⁴ + 0x ³ + x ² - 25x + 0

एक बार जब यह कदम हो जाता है, तो वे जोड़ने के लिए तैयार होते हैं। आप जैसे शब्द जोड़ सकते हैं और फिर योग को इंगित कर सकते हैं, या आदेश किए गए बहुपदों को एक के नीचे एक कर सकते हैं और स्तंभों द्वारा कम कर सकते हैं, जैसे:

- x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 2x ² + 2x +12

+ x ⁵ + 0x ⁴ + 0x ³ + x ² - 25x + 0 +

--------------------

0x ⁵ -5 x ⁴ - 3x ³ + 3x ² - 23x + 12 = P (x) + Q (x)

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि जब इसे जोड़ा जाता है, तो यह बीजीय रूप से संकेतों के नियम का सम्मान करते हुए किया जाता है, इस तरह से 2x + (-25 x) = -23x। यही है, अगर गुणांक में एक अलग संकेत है, तो उन्हें घटाया जाता है और परिणाम अधिक से अधिक का संकेत देता है।

एक से अधिक चर वाले दो या अधिक बहुपद जोड़िए

जब एक से अधिक चर वाले बहुपद की बात आती है, तो उनमें से एक को इसे ऑर्डर करने के लिए चुना जाता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि आप जोड़ने के लिए कहते हैं:

आर (एक्स, वाई) = 5x ² - 4y ² + 8xy - 6y ³

तथा:

टी (एक्स, वाई) = ² x ² - 6y ² - 11xy + x ³ और

चर में से एक को चुना जाता है, उदाहरण के लिए x ऑर्डर करने के लिए:

आर (एक्स, वाई) = 5x ² + 8xy - 6y ³ - 4y ²

T (x, y) = + x ³ y + - x ² - 11xy - 6y ²

इसके तुरंत बाद छूटे हुए पद पूरे हो जाते हैं, जिसके अनुसार प्रत्येक बहुपद में:

आर (x, y) = 0x ³ y + 5x ² + 8xy - 6y ³ - 4y ²

T (x, y) = + x ³ y + - x ² - 11xy + 0y ³ - 6y ²

और आप दोनों शर्तों को कम करने के लिए तैयार हैं:

0x ³ y + 5x ² + 8xy - 6y ³ - 4y ²

+ x ³ y + ² x ² - 11xy + 0y ³ - 6y ² +

----------------------

+ x ³ y + 11 / 2x ² - 3xy - 6y ³ - 10y ² = R (x, y) + T (x, y)

बहुपद जोड़ व्यायाम

- अभ्यास 1

बहुपद के निम्नलिखित योग में, उस शब्द को इंगित करें जो बहुपद राशि प्राप्त करने के लिए रिक्त स्थान में जाना चाहिए:

-5x ⁴ + 0x ³ + 2x ² + 1

x ⁵ + 2x ⁴ - 21x ² + 8x - 3

2x ⁵ + 9x ³ -14x

----------------

-6x ⁵ + 10x ⁴ -0x ³ + 5x ² - 11x + 21

उपाय

प्राप्त करने के लिए -6x ⁵ फॉर्म एक्स का एक शब्द ^{5 आवश्यक है}, जैसे कि:

a + 1+ 2 = -6

इस प्रकार:

a = -6-1-2 = -9

और खोज शब्द है:

-९ x ^५

-हम बाकी शर्तों को खोजने के लिए इसी तरह आगे बढ़ते हैं। यहाँ घातांक 4 के लिए एक है:

-5 + 2 + a = 10 → a = 10 + 5-2 = 13

लापता शब्द है: 13x ⁴ ।

एक्स की शक्तियों -किसी ^{3 यह} तत्काल है कि इस शब्द का -9x होना चाहिए ³, इस तरह से घन अवधि के गुणांक 0 है में।

-समाप्त शक्तियों के लिए: a + 8 - 14 = -11 → a = -11 - 8 + 14 = -5 और पद -5x ^{2 है} ।

-रैखिक शब्द +8 -14 = -11 → a = -11 + 14 - 8 = -5 के माध्यम से प्राप्त होता है, लापता शब्द -5x है।

-दरअसल, स्वतंत्र शब्द है: 1 -3 + a = -21 → a = -19।

- व्यायाम २

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, एक समतल भूभाग को चित्रित किया गया है। इसके लिए एक अभिव्यक्ति खोजें:

ए) परिधि और

b) संकेतित लंबाई के संदर्भ में इसका क्षेत्र:

चित्र 2. एक समतल भूभाग को आकृतियों और आयामों के साथ चित्रित किया गया है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

का हल

परिधि को आकृति के पक्षों और आकृति के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। निचले बाएं कोने से शुरू होकर, दक्षिणावर्त, हमारे पास:

परिधि = y + x + अर्धवृत्त की लंबाई + z + विकर्ण की लंबाई + z + z + x

अर्धवृत्त का व्यास x के बराबर है। चूंकि त्रिज्या आधा व्यास है, आपको निम्न करना होगा:

त्रिज्या = x / 2।

एक पूर्ण परिधि की लंबाई का सूत्र है:

एल = 2 Rad x त्रिज्या

इसलिए:

अर्धवृत्त की लंबाई = le। 2 (x / 2) = 2x / 2

इसके भाग के लिए, विकर्ण की गणना पक्षों पर लागू पाइथागोरस प्रमेय के साथ की जाती है: (x + y) जो ऊर्ध्वाधर पक्ष और z है, जो क्षैतिज है:

विकर्ण = ^१/२

इन भावों को परिधि में प्रतिस्थापित किया जाता है, जिन्हें प्राप्त करने के लिए:

परिधि = y + x + πx / 2 + z + ^1/2 + z + x + z

जैसे शब्दों को कम किया जाता है, चूंकि इसके अतिरिक्त आवश्यकता होती है कि परिणाम जितना संभव हो उतना सरल किया जाए:

परिधि = y + z + z + z + z + ^1/2 = y + (2 + ^2/2) x + 3z

समाधान b

परिणामी क्षेत्र आयत, अर्धवृत्त और सही त्रिकोण के क्षेत्र का योग है। इन क्षेत्रों के सूत्र निम्नलिखित हैं:

- आयत: आधार x ऊँचाई

- अर्धवृत्त::: (त्रिज्या) ²

- त्रिभुज: आधार x ऊँचाई / २

आयत क्षेत्र

(x + y)। (x + z) = x ² + xz + yx + yz

अर्धवृत्त क्षेत्र

साढ़े π (एक्स / 2) ² = π एक्स ² /8

त्रिभुज क्षेत्र

½ z (x + y) = + zx +। Zy

कुल क्षेत्रफल

कुल क्षेत्र को खोजने के लिए, प्रत्येक आंशिक क्षेत्र के लिए पाए गए भावों को जोड़ा गया है:

कुल क्षेत्रफल = एक्स ² + XZ + YZ + x + (π एक्स ² /8) + zx + साढ़े साढ़े zy

और अंत में सभी शर्तें जो समान हैं, वे कम हो गई हैं:

कुल क्षेत्रफल = (1 + π / 8) x ² + 3/2 xy + 3 / 2yz + yx

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 1991. बीजगणित। संपादकीय सांस्कृतिक वेनेजुएला एसए
2. जिमेनेज, आर। 2008. बीजगणित। शागिर्द कक्ष।
3. गणित मजेदार है। बहुपत्नी को जोड़ना और घटाना। से पुनर्प्राप्त: mathsisfun.com।
4. मोंटेरे इंस्टीट्यूट। बहुपद को जोड़ना और घटाना। से पुनर्प्राप्त: montereyinstitute.org।
5. यूसी बरकेले। बहुपद का बीजगणित। से पुनर्प्राप्त: math.berkeley.edu।