Riemann राशि एक निश्चित अभिन्न की अनुमानित गणना, मामले की एक सीमित संख्या के साथ एक असतत योग के माध्यम से के लिए नाम है। एक सामान्य अनुप्रयोग एक ग्राफ पर कार्यों के क्षेत्र का अनुमान है।

यह जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज फ्रेडरिक बर्नहार्ड रीमैन (1826-1866) थे जिन्होंने पहली बार किसी दिए गए अंतराल में एक समारोह के अभिन्न परिभाषा की कठोर पेशकश की। उन्होंने 1854 में प्रकाशित एक लेख में इसकी जानकारी दी।

चित्र 1. रिमैन योग एक फ़ंक्शन f और अंतराल में एक विभाजन पर परिभाषित किया गया है। स्रोत: फैनी जैपाटा

रीमैन योग को एक फ़ंक्शन y = f (x) पर परिभाषित किया गया है, जिसमें x अंतराल से संबंधित है। इस अंतराल पर, n तत्वों का एक विभाजन P बनता है:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

इसका मतलब है कि अंतराल को इस प्रकार विभाजित किया गया है:

x _{k-1 k} t _{k 1} x _k

चित्रा 1 रेखीय रूप से ग्रे उप आयतों के चार उप-विभाजनों के विभाजन पर अंतराल में फ़ंक्शन च के रीमैन योग को दर्शाता है।

योग आयतों के कुल क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है और इस राशि का परिणाम अंकुश x = x _{0 और} x = x _{4 के} बीच वक्र f के तहत क्षेत्र को अनुमानित रूप से अनुमानित करता है ।

बेशक, वक्र के नीचे के क्षेत्र में सन्निकटन में बहुत सुधार होता है क्योंकि विभाजन की संख्या n अधिक होती है। इस तरह योग वक्र के नीचे के क्षेत्र में परिवर्तित हो जाता है, जब विभाजन की संख्या n अनंत तक पहुँच जाती है।

सूत्र और गुण

विभाजन पर फ़ंक्शन f (x) का रीमैन योग:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

अंतराल पर परिभाषित, यह इसके द्वारा दिया गया है:

S (P, f) = ∑ _{k = 1} ⁿ f (t _k) (x _k - x _k-1)

जहाँ t _k अंतराल में एक मान है। रीमैन योग में, चौड़ाई का नियमित अंतराल (x = (बी - ए) / एन आमतौर पर उपयोग किया जाता है, जहां ए और बी एब्सिस्सा का न्यूनतम और अधिकतम मूल्य हैं, जबकि एन उप-विभाजनों की संख्या है।

उस मामले में रीमैन की सही राशि है:

एसडी (एफ, एन) = * nx

चित्र 2. रीमन राइट राशि। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स 09glasgow09।

जबकि रीमैन बाईं राशि के रूप में व्यक्त किया गया है:

यदि (f, n) = *)x

चित्र 3. वाम रीमन योग। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स 09glasgow09

अंत में केंद्रीय रीमैन योग है:

एससी (एफ, एन) = *.x

चित्रा 4. इंटरमीडिएट रिमैन योग। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स 09glasgow09

इस बात पर निर्भर करता है कि बिंदु t _k कहाँ अंतराल में स्थित है, Riemann योग फ़ंक्शन y = f (x) के वक्र के तहत क्षेत्र के सटीक मान को कम या अधिक कर सकता है। दूसरे शब्दों में, आयताकार या तो वक्र से फैल सकता है या इसके थोड़ा नीचे हो सकता है।

वक्र के नीचे का क्षेत्र

रीमैन योग की मुख्य संपत्ति और जहां से इसका महत्व प्राप्त होता है, यह है कि यदि उप-विभाजनों की संख्या अनंत तक जाती है, तो राशि का परिणाम फ़ंक्शन के निश्चित अभिन्न में परिवर्तित हो जाता है:

हल किया अभ्यास

- अभ्यास 1

फ़ंक्शन के b = +2 के माध्यम से = -2 के बीच निश्चित अभिन्न के मूल्य की गणना करें:

f (x) = x ²

एक Riemann राशि का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए, पहले अंतराल के n नियमित विभाजन के लिए योग निकालें और फिर इस मामले के लिए गणितीय सीमा लें कि विभाजन की संख्या अनंत तक जाती है।

उपाय

ये निम्नलिखित चरण हैं:

-पहले, विभाजन अंतराल के रूप में परिभाषित किया गया है:

Bx = (बी - ए) / एन।

-इस प्रकार समारोह f (x) के दायीं ओर के रीमैन योग को इस तरह दिखता है:

-और फिर इसे संक्षेप में प्रतिस्थापित किया गया है:

-अगले कदम को रकम अलग करना और प्रत्येक राशि के एक सामान्य कारक के रूप में स्थिर मात्रा लेना है। यह ध्यान रखना आवश्यक है कि सूचकांक मैं है, इसलिए n के साथ संख्या और शर्तों को स्थिर माना जाता है:

प्रत्येक राशि का मूल्यांकन किया जाता है, क्योंकि उनमें से प्रत्येक के लिए उपयुक्त अभिव्यक्तियाँ हैं। उदाहरण के लिए, sums के पहले n:

-आमतौर पर, अभिन्न गणना की जानी है:

पाठक जांच कर सकता है कि यह सटीक परिणाम है, जो कि अनिश्चित एकीकरण को हल करके और बैरो के नियम द्वारा एकीकरण की सीमाओं का मूल्यांकन करके प्राप्त किया जा सकता है।

- व्यायाम २

समारोह के तहत क्षेत्र का लगभग निर्धारण करें:

f (x) = (1 / √ (2π)) ई ^{(-x 2 /2)}

10 विभाजनों के साथ केंद्रीय रीमैन योग का उपयोग करके x = -1 और x = + 1 दर्ज करें। सटीक परिणाम के साथ तुलना करें और प्रतिशत अंतर का अनुमान लगाएं।

उपाय

दो क्रमिक असतत मूल्यों के बीच कदम या वृद्धि है:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0.2

इसलिए विभाजन P जिस पर आयतें परिभाषित हैं, इस तरह दिखता है:

पी = {-1.0; -0.8; -0.6; -0.4; -0.2; 0.0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0}

लेकिन चूँकि जो वांछित है वह केंद्रीय राशि है, फ़ंक्शन f (x) का मूल्यांकन उप-केंद्रों के मध्यबिंदु पर किया जाएगा, जो कि सेट में है:

टी = {-0.9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9}।

इस तरह दिखता है (केंद्रीय) रीमैन योग:

S = f (-0.9) * 0.2 + f (-0.7) * 0.2 + f (-0.5) * 0.2 +… + f (0.7) * 0.2 + एफ (0.9) * 0.2

चूंकि फ़ंक्शन एफ सममित है, इसलिए योग को केवल 5 शब्दों में कम करना संभव है और परिणाम दो से गुणा किया जाता है:

एस = 2 * 0.2 * {एफ (0.1) + एफ (0.3) + एफ (0.5) + एफ (0.7) + एफ (0.9)}

S = 2 * 0.2 * {0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266} = 0.683

इस उदाहरण में दिया गया कार्य कोई और नहीं बल्कि प्रसिद्ध गौसियन बेल (सामान्यीकृत, शून्य और मानक विचलन एक के बराबर) के अलावा है। इस फ़ंक्शन के लिए अंतराल में वक्र के नीचे का क्षेत्र 0.6827 जाना जाता है।

चित्रा 5. एक गाऊसी घंटी के नीचे का क्षेत्र एक रीमैन योग द्वारा अनुमानित है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

इसका मतलब यह है कि सिर्फ 10 शब्दों के साथ अनुमानित समाधान तीन दशमलव स्थानों के सटीक समाधान से मेल खाता है। अनुमानित और सटीक अभिन्न के बीच प्रतिशत त्रुटि 0.07% है।

संदर्भ

1. कैस्टलेइरो, जेएम, और गोमेज़-अल्वारेज़, आरपी (2002)। इंटीग्रल कैलकुलस (इलस्ट्रेटेड एड।)। मैड्रिड: ईएसआईसी संपादकीय।
2. Unican। अभिन्न की अवधारणा का इतिहास। से पुनर्प्राप्त: repositorio.unican.es
3. UIS। रीमैन ने गाया। से पुनर्प्राप्त: matematicas.uis.edu.co
4. विकिपीडिया। रीमन योग। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com
5. विकिपीडिया। रीमैन एकीकरण। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com