टेलीस्कोपिक योग: यह कैसे हल किया जाता है और अभ्यास से हल होता है - गणित - 2025

योग दूरबीन एक शाखा संचालन संख्यात्मक श्रृंखला है। यह तत्वों के शुरुआती मूल्य से लेकर उन अभिव्यक्तियों के "n" तक से संबंधित है, जिनके तर्क निम्न में से किसी भी पैटर्न का पालन करते हैं:

(F _x - F _{x + 1}); (F _{x + 1} - F _x)

रूप भी:

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वे उन तत्वों के एक योग का प्रतिनिधित्व करते हैं जो विकसित होने पर, विपरीत शर्तों के रद्द होने के अधीन होते हैं। दूरबीन योगों के लिए निम्नलिखित समानता को परिभाषित करना संभव है:

इसका नाम एक क्लासिक टेलीस्कोप की उपस्थिति के साथ संबंध से आता है, जिसे मोड़ दिया जा सकता है और प्रकट किया जा सकता है, विशेष रूप से इसके आयाम को बदल सकता है। उसी तरह, दूरदर्शी योग, जो प्रकृति में अनंत हैं, को सरलीकृत अभिव्यक्ति में संक्षेपित किया जा सकता है:

एफ ₁ - एफ _{एन + 1}

प्रदर्शन

जब शब्दों के योग को विकसित करते हैं, तो कारकों का उन्मूलन काफी स्पष्ट होता है। जहां प्रत्येक मामले के लिए, अगले पुनरावृत्ति में विपरीत तत्व दिखाई देंगे।

पहला मामला, (F _x - F _{x + 1}) को एक उदाहरण के रूप में लिया जाएगा, क्योंकि यह प्रक्रिया (F _{x + 1} –F _x) के लिए समरूप तरीके से काम करती है ।

पहले 3 मान {1, 2, 3} को विकसित करते हुए सरलीकरण की प्रवृत्ति देखी गई है

एक्स ₁ (एफ ₁ - एफ _{1 + 1}) = एफ ₁ - एफ ₂

एक्स ₂ (एफ ₂ - एफ _{2 + 1}) = एफ ₂ - एफ ₃

एक्स ₃ (एफ ₃ - एफ _{3 + 1}) = एफ ₃ - एफ ₄

वर्णित तत्वों के योग को व्यक्त करते समय:

एक्स ₁ + एक्स ₂ + एक्स ₃ = एफ ₁ - एफ ₂ + एफ ₂ - एफ ₃ + एफ ₃ - एफ ₄

यह देखा गया है कि एफ ₂ और एफ ₃ की शर्तों को उनके विपरीत के साथ एक साथ वर्णित किया गया है, जो उनके सरलीकरण को अपरिहार्य बनाता है। उसी तरह, यह देखा गया है कि F ₁ और F ₄ शब्द बनाए हुए हैं।

यदि योग x = 1 से x = 3 से बना था, तो इसका मतलब है कि तत्व F ₄ सामान्य शब्द F _{n + 1 से} मेल खाता है _।

इस प्रकार समानता प्रदर्शित करना:

यह कैसे हल किया जाता है?

टेलीस्कोपिक योगों का उद्देश्य कार्य को सुविधाजनक बनाना है, ताकि अनंत संख्या में शब्दों को विकसित करना, या बहुत अधिक लंबे समय तक जोड़ के कुछ श्रृंखला को सरल करना आवश्यक न हो।

इसके रिज़ॉल्यूशन के लिए केवल F ₁ और F _{n + 1} शब्दों का मूल्यांकन करना आवश्यक होगा । ये सरल प्रतिस्थापन योगों के अंतिम परिणाम को बनाते हैं।

शर्तों की समग्रता व्यक्त नहीं की जाएगी, केवल परिणाम के प्रदर्शन के लिए आवश्यक हो जाएगी, लेकिन सामान्य गणना प्रक्रिया के लिए नहीं।

महत्वपूर्ण बात यह है कि संख्या श्रृंखला के अभिसरण को नोटिस करें। कभी-कभी योग तर्क को दूरबीन से व्यक्त नहीं किया जाएगा। इन मामलों में, वैकल्पिक फैक्टरिंग विधियों का कार्यान्वयन बहुत आम है।

टेलीस्कोपिक परिवर्धन में विशेषता कारक विधि सरल अंशों की है। यह तब होता है जब एक मूल अंश कई अंशों के योग में विघटित हो जाता है, जहां दूरबीन पैटर्न (F _x - F _{x + 1}) या (F _{x + 1} - F _x) देखे जा सकते हैं ।

सरल अंशों में अपघटन

संख्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण को सत्यापित करने के लिए, तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल अंश विधि के साथ बदलना बहुत आम है। लक्ष्य एक टेलीस्कोपिक योग के आकार में भूखंड को मॉडल करना है।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समानता सरल अंशों में एक अपघटन का प्रतिनिधित्व करती है:

संख्या श्रृंखला विकसित करने और संबंधित गुणों को लागू करते समय, अभिव्यक्ति निम्नलिखित रूप लेती है:

जहां टेलिस्कोपिक आकार की सराहना की जाती है (एफ _एक्स - एफ _{एक्स + 1})।

यह प्रक्रिया काफी सहज है और इसमें अंश के मानों को ढूंढना शामिल है, जो समानता को तोड़े बिना, हमें हर में पाए जाने वाले उत्पादों को अलग करने की अनुमति देता है। इन मूल्यों के निर्धारण में उत्पन्न होने वाले समीकरणों को समानता के दोनों पक्षों के बीच तुलना के अनुसार उठाया जाता है।

यह प्रक्रिया व्यायाम 2 के विकास में चरण दर चरण देखी जाती है।

इतिहास

यह उस ऐतिहासिक क्षण को परिभाषित करने में सक्षम होने के लिए काफी अनिश्चित है जिसमें दूरदर्शी योग प्रस्तुत किए गए थे। हालांकि, इसका कार्यान्वयन सत्रहवीं शताब्दी में देखा जाना शुरू हो जाता है, लिबनीज और ह्यूजेंस द्वारा किए गए संख्यात्मक श्रृंखला के अध्ययन में।

दोनों गणितज्ञ, त्रिकोणीय संख्याओं के योग की खोज करते हुए, क्रमिक तत्वों की कुछ श्रृंखलाओं के अभिसरण में प्रवृत्तियों को नोटिस करना शुरू करते हैं। लेकिन इससे भी अधिक दिलचस्प इन अभिव्यक्तियों के मॉडलिंग की शुरुआत है, ऐसे तत्वों में जो जरूरी नहीं कि एक दूसरे का अनुसरण करें।

वास्तव में, सरल अंशों को संदर्भित करने के लिए पहले उपयोग की गई अभिव्यक्ति:

यह ह्यूजेंस द्वारा पेश किया गया था और तुरंत लीबनीज का ध्यान आकर्षित किया। जो समय के साथ मूल्य 2 में अभिसरण का निरीक्षण कर सकता है। इसे जाने बिना, उसने दूरबीन योग का प्रारूप लागू किया।

अभ्यास

अभ्यास 1

परिभाषित करें कि निम्नलिखित योग किस अवधि में परिवर्तित होता है:

योग को मैन्युअल रूप से विकसित करते समय, निम्नलिखित पैटर्न देखा जाता है:

(२ ^३ - २ ^४) + (२ ^४ - २ ^५) + (२ ^५ - २ ^६)। । । । (२ ^१० - २ ^११)

जहां 2 ⁴ से 2 ¹⁰ तक के कारक सकारात्मक और नकारात्मक भागों को प्रस्तुत करते हैं, जिससे उनका निरसन स्पष्ट हो जाता है। तब केवल जो कारक सरल नहीं होंगे, वे पहले "2 ³ " और अंतिम "2 ¹¹ " होंगे।

इस तरह, दूरबीन योग को कसौटी पर लागू करते समय, निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

व्यायाम २

एक दूरबीन प्रकार योग में तर्क को बदलना और श्रृंखला के अभिसरण को परिभाषित करना:

जैसा कि बयान में संकेत दिया गया है, पहली बात यह है कि तर्क को शांत करने और इसे दूरबीन तरीके से व्यक्त करने के लिए, साधारण अंशों में विघटित करना है।

आपको 2 अंशों को ढूंढना होगा, जिनके भाजक क्रमशः "n" और "n + 1" हैं, जहां नीचे दी गई विधि से अंश के मान प्राप्त करने होंगे जो समानता को संतुष्ट करते हैं।

हम ए और बी के मूल्यों को परिभाषित करने के लिए आगे बढ़ते हैं। पहले, अंश जोड़ें।

फिर हर को सरल बनाया जाता है और एक रेखीय समीकरण स्थापित किया जाता है।

अगले चरण में, दाईं ओर अभिव्यक्ति संचालित होती है, जब तक कि बाईं ओर "3" के समतुल्य पैटर्न प्राप्त नहीं हो जाता।

उपयोग किए जाने वाले समीकरणों को परिभाषित करने के लिए, समानता के दोनों पक्षों के परिणामों की तुलना की जानी चाहिए। दूसरे शब्दों में, बाईं ओर चर n का कोई मान नहीं है, इस तरह A + B को शून्य के बराबर होना होगा।

ए + बी = 0; ए = बी

दूसरी ओर, स्थिर मान A को स्थिर मान 3 के बराबर होना चाहिए।

ए = ३

इस प्रकार।

ए = 3 और बी = -3

एक बार जब साधारण अंशों के लिए अंश मान पहले से ही परिभाषित हो जाता है, तो योग को बहाल किया जाता है।

जहाँ दूरबीन योग का सामान्य रूप पहले ही प्राप्त हो चुका है। दूरबीन श्रृंखला विकसित की जाती है।

जहां एक बहुत बड़ी संख्या से विभाजित होने पर परिणाम करीब और शून्य के करीब हो जाएगा, श्रृंखला के अभिसरण को मान 3 पर देखना।

इस प्रकार की श्रृंखला किसी अन्य तरीके से हल नहीं की जा सकती है, क्योंकि समस्या को परिभाषित करने वाले पुनरावृत्तियों की अनंत संख्या के कारण। हालांकि, यह विधि, कई अन्य लोगों के साथ, संख्यात्मक श्रृंखला के अध्ययन की शाखा को फ्रेम करती है, जिसका उद्देश्य अभिसरण मूल्यों को निर्धारित करना या उक्त श्रृंखला के विचलन को परिभाषित करना है।

संदर्भ

1. Infinitesimal पथरी सबक। मैनुअल फ्रेंको, मैनुअल फ्रेंको निकोलस, फ्रांसिस्को मार्टिनेज गोंजालेज, रोके मोलिना लेगाज़। EDITUM, 1994।
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