द्विघात अनुक्रम: उदाहरण, नियम और हल किए गए अभ्यास - गणित - 2025

द्विघात successions, गणितीय संदर्भ में, संख्या है कि एक निश्चित नियम अंकगणित का पालन के दृश्यों से मिलकर बनता है। किसी अनुक्रम की शर्तों को निर्धारित करने के लिए इस नियम को जानना दिलचस्प है।

ऐसा करने का एक तरीका दो क्रमिक शब्दों के बीच के अंतर को निर्धारित करना और यह देखना है कि प्राप्त मूल्य हमेशा दोहराया जाता है या नहीं। जब यह होता है, तो इसे नियमित अनुक्रम कहा जाता है।

संख्या क्रम संख्याओं के क्रम को व्यवस्थित करने का एक तरीका है। स्रोत: pixabay.com

लेकिन अगर यह खुद को दोहराता नहीं है, तो आप अंतरों के बीच अंतर की जांच करने की कोशिश कर सकते हैं और देख सकते हैं कि क्या यह मूल्य स्थिर है। यदि ऐसा है, तो यह एक द्विघात अनुक्रम है ।

नियमित अनुक्रमों और द्विघात अनुक्रमों के उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण स्पष्ट करते हैं कि अब तक क्या समझाया गया है:

नियमित उत्तराधिकार का उदाहरण

अनुक्रम S = {4, 7, 10, 13, 16, ……} करें

एस द्वारा निरूपित यह क्रम, एक पूर्णांक संख्या है, जो पूर्णांक के इस मामले में है।

यह देखा जा सकता है कि यह एक नियमित अनुक्रम है, क्योंकि प्रत्येक शब्द पिछले शब्द या तत्व में 3 जोड़कर प्राप्त किया जाता है:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

१३+ ३ = १६

दूसरे शब्दों में: यह अनुक्रम नियमित है क्योंकि अगले शब्द और पिछले एक के बीच का अंतर एक निश्चित मूल्य देता है। दिए गए उदाहरण में यह मान 3 है।

पिछले अनुक्रम में एक निश्चित मात्रा जोड़कर प्राप्त किए गए नियमित अनुक्रमों को अंकगणितीय प्रगति भी कहा जाता है। और अंतर-अंतर - क्रमिक शब्दों के बीच के अनुपात को कहा जाता है और इसे आर के रूप में दर्शाया जाता है।

गैर-नियमित और द्विघात अनुक्रम का उदाहरण

अब निम्न क्रम देखें:

एस = {२, ६, १२, २०, ३०,…।}

जब क्रमिक अंतरों की गणना की जाती है, तो निम्न मूल्य प्राप्त होते हैं:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

उनके मतभेद स्थिर नहीं हैं, इसलिए यह कहा जा सकता है कि यह एक नियमित अनुक्रम नहीं है।

हालांकि, यदि हम अंतर के सेट पर विचार करते हैं, तो हमारे पास एक और अनुक्रम है, जिसे एस _{अंतर के} रूप में दर्शाया जाएगा:

S _अंतर = {४, ६ _,,, १०,…।}

यह नया अनुक्रम वास्तव में एक नियमित अनुक्रम है, क्योंकि प्रत्येक पद को पिछले एक में निश्चित मूल्य R = 2 को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यही कारण है कि हम पुष्टि कर सकते हैं कि एस एक द्विघात अनुक्रम है।

द्विघात अनुक्रम के निर्माण के लिए सामान्य नियम

द्विघात अनुक्रम के निर्माण के लिए एक सामान्य सूत्र है:

टी _एन = ए ² एन ² + बी C एन + सी

इस सूत्र में, T _n अनुक्रम की स्थिति n पर पद है। A, B और C निश्चित मान हैं, जबकि n एक-एक करके भिन्न होता है, अर्थात 1, 2, 3, 4,…

पिछले उदाहरण A के क्रम में S = 1, B = 1 और C = 0 है। वहाँ से यह निम्नानुसार है कि सभी शर्तों को उत्पन्न करने वाला सूत्र है: T _n = n ² + n

यानी:

टी ₁ = 1 ² + 1 = 2

टी ₂ = 2 ² + 2 = 6

टी ₃ = 3 ² + 3 = 12

टी ₅ = 5 ² + 5 = 30

टी _एन = एन ² + एन

द्विघात अनुक्रम के दो लगातार शब्दों के बीच अंतर

टी _{एन + 1} - टी _एन = -

उल्लेखनीय उत्पाद के माध्यम से अभिव्यक्ति का विकास रहता है:

T _{n + 1} - T _n = A + n ² + A ∙ 2 A n + A + B C n + B + C - A ∙ n ² - B - n - C

इसे सरल करके, आपको यह मिलता है:

टी _{एन + 1} - टी _एन = 2 + ए + एन + ए + बी

यह फार्मूला है कि मतभेद एस के अनुक्रम देता है _dif है कि इस तरह लिखा जा सकता है:

डिस्क्रिमेंट _एन = ए _n (2 एन + 1) + बी

जहां स्पष्ट रूप से अगला शब्द 2 is कभी-कभी पिछला होता है। है यही कारण है, मतभेद एस के अनुक्रम के अनुपात _diff है: आर = 2 ∙ ए

द्विघात अनुक्रमों की हल समस्याओं

अभ्यास 1

अनुक्रम S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} करें। निर्धारित करें यदि:

i) यह नियमित है या नहीं

ii) क्या यह द्विघात है या नहीं

iii) यह द्विघात था, अंतरों का क्रम और उनका अनुपात

जवाब

i) निम्नलिखित और पिछले शब्दों के बीच अंतर की गणना करते हैं:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

हम पुष्टि कर सकते हैं कि अनुक्रम S नियमित नहीं है, क्योंकि क्रमिक शब्दों के बीच अंतर स्थिर नहीं है।

ii) अंतरों का क्रम नियमित है, क्योंकि इसकी शर्तों के बीच का अंतर निरंतर मूल्य है 2. इसलिए, मूल अनुक्रम S द्विघात है।

iii) हम पहले से ही निर्धारित कर चुके हैं कि एस द्विघात है, अंतर का क्रम है:

S _अंतर = {2, 4, 6, 8,…} और इसका अनुपात R = 2 है।

व्यायाम २

अनुक्रम S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} पिछले उदाहरण से, जहां यह सत्यापित किया गया था कि यह द्विघात है। निर्धारित करें:

i) वह सूत्र जो सामान्य शब्द T _{n को} निर्धारित करता है _।

ii) तीसरे और पांचवें शब्दों की जाँच करें।

iii) दसवें कार्यकाल का मूल्य।

जवाब

i) T _n का सामान्य सूत्र A + n ² + B C. n + C है। तब यह ए, बी और सी के मूल्यों को जानने के लिए रहता है।

मतभेदों के अनुक्रम में अनुपात 2 है। इसके अलावा, किसी भी द्विघात अनुक्रम के लिए अनुपात 2 differences ए है जैसा कि पिछले अनुभागों में दिखाया गया है।

आर = 2 = ए = 2 जो हमें उस ए = 1 को समाप्त करने की ओर ले जाता है।

के मतभेदों एस अनुक्रम के पहले कार्यकाल _dif 2 और एक को पूरा करना चाहिए ∙ (2n +1) + बी, के साथ एन = -1 और ए = 1, यह है कि:

2 = 1 + (2 + 1 + 1) + बी

B के लिए हल हम प्राप्त करते हैं: B = -1

फिर S (n = 1) का पहला शब्द 1 है, अर्थात: 1 = A ² 1 ² + B we 1 + C. जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं कि A = 1 और B = -1, हमारे पास प्रतिस्थापित है:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) C 1 + C

सी के लिए समाधान हम इसके मूल्य प्राप्त करते हैं: सी = 1।

संक्षेप में:

ए = 1, बी = -1 और सी = 1

फिर nth शब्द T _n = n ² - n + 1 होगा

ii) तीसरा शब्द T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 और यह सत्यापित है। पांचवां टी ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 जो सत्यापित भी है।

iii) दसवां कार्यकाल टी ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91 होगा।

व्यायाम ३

व्यायाम के लिए क्षेत्रों की अनुक्रम 3. स्रोत: स्वयं का विस्तार।

आंकड़ा पांच आंकड़ों का एक क्रम दिखाता है। जाली लंबाई की इकाई का प्रतिनिधित्व करती है।

i) आंकड़ों के क्षेत्र के लिए अनुक्रम निर्धारित करें।

ii) दिखाओ कि यह एक द्विघात अनुक्रम है।

iii) चित्र # 10 का क्षेत्रफल ज्ञात करें (दिखाया नहीं गया)।

जवाब

i) आंकड़ों के अनुक्रम के क्षेत्र का क्रम एस है:

एस = {0, 2, 6, 12, 20,। । । । । }

ii) एस की शर्तों के लगातार अंतर के अनुरूप अनुक्रम है:

एस _{भिन्न} = {2, 4, 6, 8,। । । । । }

चूंकि लगातार शब्दों के बीच का अंतर स्थिर नहीं है, तो S एक नियमित अनुक्रम नहीं है। यह जानने के लिए रहता है कि क्या यह द्विघात है, जिसके लिए हम फिर से अंतरों का क्रम प्राप्त करते हैं:

{२, २, २, ……।}

चूंकि अनुक्रम की सभी शर्तें दोहराई जाती हैं, यह पुष्टि की जाती है कि एस एक द्विघात अनुक्रम है।

iii) अनुक्रम S _अंतर नियमित है और इसका अनुपात R है। 2. R = 2, A के ऊपर दिखाए गए समीकरण का उपयोग करना, यह बना हुआ है:

2 = 2 = ए, जिसका अर्थ है कि ए = 1।

के मतभेदों एस अनुक्रम के दूसरे कार्यकाल _dif 4 और एस के n वें पद _dif है

A A (2n + 1) + B

दूसरे पद में n = 2 है। इसके अलावा, यह पहले से ही निर्धारित किया गया है कि ए = 1, इसलिए पिछले समीकरण और प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

4 = 1 + (2 ∙ 2 + 1) + बी

बी के लिए समाधान, हम प्राप्त करते हैं: बी = -1।

यह ज्ञात है कि S का दूसरा पद 2 के लायक है, और इसे n = 2 के साथ सामान्य शब्द के सूत्र को पूरा करना होगा:

टी _एन = ए ² एन ² + बी C एन + सी; n = 2; ए = 1; बी = -1; टी ₂ = 2

यानी

2 = 1 = 2 ² - 1 1 2 + C

यह निष्कर्ष निकाला गया है कि C = 0, यह कहना है कि सूत्र जो अनुक्रम S का सामान्य पद देता है:

टी _एन = 1 ² एन ² - 1 0 एन +0 = एन ² - एन

अब पाँचवाँ काल सत्यापित है:

टी ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) चित्रा # 10, जो यहां नहीं खींची गई है, अनुक्रम S के दसवें कार्यकाल के अनुरूप क्षेत्र होगा:

टी ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

संदर्भ

1. https://www.geogebra.org