MOIVRE का प्रमेय: सबूत और हल किए गए अभ्यास - गणित - 2025

Moivre की प्रमेय ने बीजगणित की मूलभूत प्रक्रियाओं को लागू किया, जैसे कि शक्तियां और जटिल संख्या में जड़ें निकालना। प्रमेय प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ अब्राहम डी मोइवर (1730) द्वारा कहा गया था, जो त्रिकोणमिति के साथ जटिल संख्याओं से जुड़े थे।

अब्राहम मोइवरे ने साइन और कोसाइन के भावों के माध्यम से यह जुड़ाव बनाया। इस गणितज्ञ ने एक प्रकार का सूत्र उत्पन्न किया जिसके द्वारा एक जटिल संख्या z को पावर n में उठाना संभव है, जो कि 1 से अधिक या उसके बराबर एक सकारात्मक पूर्णांक है।

Moivre का प्रमेय क्या है?

मोइवरे का प्रमेय निम्नलिखित बताता है:

यदि हमारे पास ध्रुवीय रूप z = r _where में एक जटिल संख्या है, जहाँ r, जटिल संख्या z का मॉड्यूल है, और कोण ≤ को उनके n गणना करने के लिए 0 ≤ ≤ 2 of के साथ किसी भी जटिल संख्या के आयाम या तर्क कहा जाता है। th शक्ति इसे n-गुना से गुणा करना आवश्यक नहीं होगा; अर्थात्, निम्नलिखित उत्पाद बनाना आवश्यक नहीं है:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*। । । *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{। *। । । *} आर _Ɵ एन-बार।

इसके विपरीत, प्रमेय कहता है कि जब हम अपने त्रिकोणमितीय रूप में z लिखते हैं, तो nth पावर की गणना करने के लिए हम निम्नानुसार हैं:

अगर z = r (cos Ɵ + i _* sin cos) तो z ⁿ = r ⁿ (cos n * cos + i _* sin n * sin)।

उदाहरण के लिए, यदि n = 2, तो z ² = r ² । यदि n = 3, तो z ³ = z ² _* z। इसके अलावा:

z ³ = r ² _* r = r ³ ।

इस तरह, साइन और कोसाइन के त्रिकोणमितीय अनुपात एक कोण के गुणकों के लिए प्राप्त किए जा सकते हैं, जब तक कि कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात होते हैं।

उसी तरह से इसका उपयोग किसी जटिल संख्या z के n-वें रूट के लिए अधिक सटीक और कम भ्रामक अभिव्यक्ति खोजने के लिए किया जा सकता है, ताकि z ⁿ = 1 हो।

Moivre के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है: यदि पूर्णांक "a" के पास "P" गुण है, और यदि किसी पूर्णांक "n" के लिए "a" से अधिक है, जिसके पास "P" है यह पूरा करता है कि n + 1 में भी संपत्ति "P" है, तो सभी पूर्णांकों के पास "a" गुण "" से अधिक या बराबर है।

प्रदर्शन

इस प्रकार, प्रमेय का प्रमाण निम्नलिखित चरणों के साथ किया जाता है:

आगमनात्मक आधार

यह पहली बार n = 1 के लिए चेक किया गया है।

चूँकि z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin r)) ¹ = r ¹ (cos i + i _* sin r) ¹ = r ^{1 है}, प्रमेय n = 1 है।

आगमनात्मक परिकल्पना

सूत्र को कुछ धनात्मक पूर्णांक के लिए सही माना जाता है, अर्थात n = k।

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin ()) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k _*)।

सत्यापन

यह n = k + 1 के लिए सही साबित होता है।

चूँकि z ^{k + 1} = z ^k _* z, तब z ^{k + 1} = (r (cos + + i _* sin =)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ +) i _* सेण)।

तब भाव कई गुना हो जाते हैं:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos k _*) _* (cos +) + (cos kƟ) _* (i _* sin i) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i) _* सेन _*)।

एक पल के लिए कारक r ^{k + 1} को नजरअंदाज कर दिया जाता है, और मुझे लिया जाने वाला सामान्य कारक:

(cos k () _* (cosƟ) + i (cos k _*) _* (sin +) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ)।

चूंकि मैं ² = -1 है, हम इसे अभिव्यक्ति में स्थानापन्न करते हैं और हमें मिलता है:

(cos k () _* (cosƟ) + i (cos k _*) _* (sin +) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ)।

अब वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग का आदेश दिया गया है:

(cos k sin) _* (cosƟ) - (sin k _*) _* (sin +) + i।

अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, कोसाइन और साइन के कोणों की त्रिकोणमितीय पहचान को लागू किया जाता है, जो हैं:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B

इस मामले में, चर कोण Ɵ और k vari हैं। त्रिकोणमितीय पहचानों को लागू करना, हमारे पास है:

cos k cos _* cosƟ - sin kƟ _* sin cos = cos (kƟ + Ɵ)

sin k sin _* cosƟ + cos kƟ _* sin sin = sin (kƟ + Ɵ)

इस तरह, अभिव्यक्ति है:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + +) + i _* पाप (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin)।

इस प्रकार यह दिखाया जा सकता है कि परिणाम n = k + 1 के लिए सही है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि परिणाम सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए सही है; वह है, एन ≥ 1।

नकारात्मक पूर्णांक

Moivre का प्रमेय तब लागू होता है जब n us 0. हम एक नकारात्मक पूर्णांक «n» पर विचार करते हैं; फिर "n" को "-m" के रूप में लिखा जा सकता है, जो n = -m है, जहाँ "m" एक सकारात्मक पूर्णांक है। इस प्रकार:

(cos = + i _* sin i) ⁿ = (cos i + i _* sin-) ^-m

प्रतिपादक «एम» को सकारात्मक तरीके से प्राप्त करने के लिए, अभिव्यक्ति को विपरीत रूप से लिखा जाता है:

(cos = + i _* sin i) ⁿ = 1 cos (cos i + i _* sin i) ^m

(cos = + i _* sin i) ⁿ = 1 cos (cos m i + i _* sin mƟ)

अब, यह प्रयोग किया जाता है कि यदि z = a + b * i एक जटिल संख्या है, तो 1 = z = ab * i। इस प्रकार:

(cos = + i _* sin i) ⁿ = cos (m -) - i _* sin (mƟ)।

उस cos (x) = cos (-x) और उस -sen (x) = sin (-x) का उपयोग करके, हमारे पास:

(cos = + i _* sin i) ⁿ =

(cos = + i _* sin i) ⁿ = cos (- m +) + i _* sin (-mƟ)

(cos = + i _* sin i) ⁿ = cos (ⁿ -) - i _* sin (nƟ)।

इस प्रकार, यह कहा जा सकता है कि प्रमेय "एन" के सभी पूर्णांक मानों पर लागू होता है।

हल किया अभ्यास

सकारात्मक शक्तियों की गणना

उनके ध्रुवीय रूप में जटिल संख्याओं के साथ संचालन में से एक इन दो से गुणा है; उस स्थिति में मॉड्यूल गुणा किया जाता है और तर्क जोड़ दिए जाते हैं।

यदि आपके पास दो जटिल संख्या z _{1 और} z _{2 हैं} और आप गणना करना चाहते हैं (z ₁ * z ₂) ², तो आप निम्नानुसार आगे बढ़ें:

z ₁ z ₂ = *

वितरण संपत्ति लागू होती है:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos cos _{1 *} cos i ₂ + i _* cos _{* 1 *} i _* sin _{* 2} + i _* sin _{* 1 *} cos + ₂ + i ² _* sin _{* 1 *} sin Ɵ ₂)।

उन्हें अभिव्यक्तियों के एक सामान्य कारक के रूप में "i" शब्द लेते हुए समूहीकृत किया जाता है:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

चूंकि मैं ² = -1 है, इसलिए इसे अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया गया है:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

वास्तविक शब्दों को वास्तविक और काल्पनिक के साथ वास्तविक रूप से वर्गीकृत किया गया है:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

अंत में, त्रिकोणमितीय गुण लागू होते हैं:

z ₁ जेड ₂ = r ₁ आर ₂ ।

निष्कर्ष के तौर पर:

(z ₁ * z ₂) ² = (r ₁ r ₂) ²

= आर _१ ^२ आर _२ ^२ ।

अभ्यास 1

ध्रुवीय रूप में जटिल संख्या लिखें यदि z = - 2 -2i। फिर, Moivre के प्रमेय का उपयोग करके, z ^{4 की} गणना करें ।

उपाय

जटिल संख्या z = -2 -2i आयताकार रूप z = a + bi में व्यक्त की जाती है, जहाँ:

a = -2

बी = -2।

यह जानते हुए कि ध्रुवीय रूप z = r है (cos i + i _* sin form), हमें मापांक "r" का मान और तर्क "Ɵ" का मान निर्धारित करने की आवश्यकता है। चूंकि r = the (a² + b²), दिए गए मान प्रतिस्थापित हैं:

r = √ (a² + b²) = (((- 2) ² + (- 2) ²)

= + (4 + 4)

= 8 (8)

= * (4 * 2)

= 2 =2।

फिर, «Ɵ» के मान को निर्धारित करने के लिए, इस का आयताकार आकार लागू किया जाता है, जो सूत्र द्वारा दिया गया है:

tan tan = b ÷ ए

tan tan = (-2) ÷ (-2) = 1।

चूंकि तन (0) = 1 है और हमारे पास <0 है, तो हमारे पास है:

Ɵ = अर्कतन (1) + an।

= = / 4 + +

= 5 = / 4।

जैसा कि «आर» और «value» का मूल्य पहले ही प्राप्त हो चुका है, जटिल संख्या z = -2 -2i को मूल्यों को प्रतिस्थापित करके ध्रुवीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

z = 2)2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5 4/4))।

अब हम z ^{4 की} गणना करने के लिए Moivre के प्रमेय का उपयोग करते हैं:

z ⁴ = ²⁾ 2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5 4/4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5)))।

व्यायाम २

इसे ध्रुवीय रूप में व्यक्त करके जटिल संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o)

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o)।

फिर गणना करें (z1 * z2) *।

उपाय

पहले दिए गए नंबरों का उत्पाद बनता है:

z ₁ z ₂ = *

तब मॉड्यूल एक दूसरे के साथ गुणा किए जाते हैं, और तर्क जोड़े जाते हैं:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

अभिव्यक्ति सरल है:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o)।

अंत में, मोइवरे का प्रमेय लागू होता है:

(z1 * z2) (= (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o)) cos = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o))।

नकारात्मक शक्तियों की गणना

दो जटिल संख्याओं जेड _{1 और} जेड ₂ को उनके ध्रुवीय रूप में विभाजित करने के लिए, मापांक को विभाजित किया जाता है और तर्कों को घटाया जाता है। इस प्रकार, भागफल z _{1 2} z _{2 है} और इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ()

जैसा कि पिछले मामले में, यदि हम (z1 the z2)) की गणना करना चाहते हैं, तो विभाजन को पहले किया जाता है और फिर Moivre प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

व्यायाम ३

पांसे:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * पाप (3 4/4)), z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (4/4)), गणना (z1 2 z2) ÷।

उपाय

ऊपर वर्णित चरणों के बाद यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि:

(z1 z z2) ³ = (((12/4) (cos (3 4/4 - π / 4) + i * पाप (3π / 4 - π / 4)) ÷

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (2/2))) (= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3 2/2))।

संदर्भ

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