बोलजानो प्रमेय कहा गया है कि एक समारोह एक बंद अंतराल के हर बिंदु पर निरंतर है और संतुष्ट हो जाता है, तो इस बात का "एक" और "बी" (समारोह के तहत) विपरीत संकेत छवि है, तो कम से कम एक बिंदु हो जाएगा " c "ओपन इंटरवल (a, b) में, इस तरह से कि" c "में मूल्यांकन किया गया फ़ंक्शन 0 के बराबर होगा।
यह प्रमेय 1850 में दार्शनिक, धर्मशास्त्री और गणितज्ञ बर्नार्ड बोलजानो द्वारा अभिनीत किया गया था। वर्तमान चेक गणराज्य में पैदा हुआ यह वैज्ञानिक, इतिहास में पहले गणितज्ञों में से एक था, जो निरंतर कार्यों के गुणों का औपचारिक प्रमाण बनाता था।
व्याख्या
बोलजानो के प्रमेय को मध्यवर्ती मूल्यों के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, जो एक वास्तविक चर के कुछ वास्तविक कार्यों के विशिष्ट मूल्यों, विशेष रूप से शून्य, को निर्धारित करने में मदद करता है।
किसी दिए गए फ़ंक्शन में f (x) जारी रहता है, यह है कि, f (a) और f (b) एक वक्र से जुड़े हुए हैं-, जहां x (अक्ष) के नीचे f (a) नकारात्मक है, और f (b) द्वारा एक्स अक्ष के ऊपर (यह सकारात्मक है), या इसके विपरीत, रेखीय रूप से एक्स अक्ष पर एक कटऑफ बिंदु होगा जो एक मध्यवर्ती मूल्य «सी» का प्रतिनिधित्व करेगा, जो «ए» और «बी» के बीच होगा, और एफ (सी) का मूल्य होगा 0 के बराबर होगा।
जब बोलजानो की प्रमेय का रेखांकन विश्लेषण करते हैं, तो यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक निरंतर फ़ंक्शन के लिए एक अंतराल पर परिभाषित किया गया है, जहां f (a) * f (b) 0 से कम है, उस फ़ंक्शन के भीतर कम से कम एक रूट «c» होगा अंतराल की (ए, बी)।
यह प्रमेय उस खुले अंतराल में अंकों की संख्या स्थापित नहीं करता है, यह केवल बताता है कि कम से कम 1 बिंदु है।
प्रदर्शन
बोल्ज़ानो के प्रमेय को साबित करने के लिए, यह सामान्यता की हानि के बिना माना जाता है कि एफ (ए) <0 और एफ (बी)> 0; इस प्रकार, "ए" और "बी" के बीच कई मूल्य हो सकते हैं जिनके लिए एफ (एक्स) = 0 है, लेकिन केवल एक को दिखाने की आवश्यकता है।
हम मिडपॉइंट (ए + बी) / 2 पर एफ का मूल्यांकन करके शुरू करते हैं। यदि f ((a + b) / 2) = 0 तो प्रमाण यहाँ समाप्त होता है; अन्यथा, फिर f ((a + b) / 2) सकारात्मक या नकारात्मक है।
अंतराल के हिस्सों में से एक को चुना जाता है, जैसे कि चरम पर मूल्यांकन किए गए फ़ंक्शन के संकेत अलग-अलग होते हैं। यह नया अंतराल होगा।
अब, यदि f के मध्य बिंदु पर f का मूल्यांकन शून्य नहीं है, तो पहले जैसा ही ऑपरेशन किया जाता है; अर्थात्, इस अंतराल का एक आधा हिस्सा चुना जाता है जो संकेतों की स्थिति को पूरा करता है। इसे नया अंतराल मानें।
यदि आप इस प्रक्रिया को जारी रखते हैं, तो आपके पास दो अनुक्रम {a} और {bn} होंगे, जैसे:
{a} बढ़ रहा है और {bn} कम हो रहा है:
a a a1 ≤ a2 ≤… ≤ a ≤…। ≤…। ≤ bn ≤…। ≤ बी 2 1 बी 1। बी।
यदि आप प्रत्येक अंतराल की लंबाई की गणना करते हैं, तो आपको निम्न करना होगा:
b1-a1 = (ba) / 2।
b2-a2 = (ba) / 2-।
…।
bn-a = (ba) / 2 ^ n।
इसलिए, n के रूप में सीमा (bn-a) की अनंतता के बराबर है।
{}} का उपयोग करना और सीमाबद्ध हो रहा है और {bn} कम हो रहा है और सीमाबद्ध है, हमारे पास है कि वहाँ एक मान मौजूद है «c» ऐसे:
a a a1 2 a2 ≤… ≤ a ≤….≤ c।…। ≤ bn ≤…। ≤ बी 2 1 बी 1। बी।
A की सीमा "c" है और {bn} की सीमा भी "c" है। इसलिए, किसी भी,> 0 को देखते हुए, हमेशा एक "n" ऐसा होता है कि अंतराल अंतराल (c-δ, c + δ) के भीतर समाहित होता है।
अब, यह दिखाया जाना चाहिए कि f (c) = 0।
यदि f (c)> 0 है, तो च के बाद से निरंतर है, एक that> 0 मौजूद है जैसे कि f पूरे अंतराल पर सकारात्मक है (c - ε, c + ε)। हालांकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक मूल्य "एन" है जैसे कि एफ परिवर्तन साइन इन करता है (और, इसके अलावा, भीतर निहित है (सी - ε, सी + ε), जो एक विरोधाभास है।
यदि f (c) <0, तो च के बाद से निरंतर है, वहाँ एक 0> 0 मौजूद है जैसे कि f पूरे अंतराल में नकारात्मक है (c - (, c + ε); लेकिन वहाँ एक मान "n" मौजूद है जैसे कि f परिवर्तन साइन इन करता है। यह पता चला है कि यह (c - c, c + is) के भीतर निहित है, जो एक विरोधाभास भी है।
इसलिए, एफ (सी) = 0 और यही हम साबित करना चाहते थे।
ये किसके लिये है?
इसकी चित्रमय व्याख्या से, बोल्ज़ानो की प्रमेय का उपयोग जड़ों या शून्य को एक निरंतर कार्य में खोजने के लिए किया जाता है, द्विच्छेदन (सन्निकटन) के माध्यम से, जो एक वृद्धिशील खोज विधि है जो हमेशा अंतराल को 2 से विभाजित करती है।
फिर एक अंतराल लिया जाता है या जहां साइन परिवर्तन होता है, और जब तक अंतराल छोटा और छोटा नहीं हो जाता है, तब तक प्रक्रिया को दोहराया जाता है, ताकि वांछित मूल्य पर पहुंचने में सक्षम हो; यह मान उस फ़ंक्शन को 0 करता है।
सारांश में, बोलजानो के प्रमेय को लागू करने और इस प्रकार जड़ों को खोजने के लिए, एक फ़ंक्शन के शून्य को सीमित करें या एक समीकरण को हल दें, निम्नलिखित कदम उठाए गए हैं:
- अगर अंतराल पर एक सतत कार्य है तो यह सत्यापित किया जाता है।
- यदि अंतराल नहीं दिया गया है, तो एक को ढूंढना चाहिए जहां फ़ंक्शन निरंतर है।
- अगर एफ में मूल्यांकन किया जाता है तो अंतराल के चरम विपरीत संकेत देते हैं।
- यदि विपरीत संकेत प्राप्त नहीं होते हैं, तो अंतराल को मध्य बिंदु का उपयोग करके दो उप-भागों में विभाजित किया जाना चाहिए।
- मध्य बिंदु पर फ़ंक्शन का मूल्यांकन करें और सत्यापित करें कि बोलजानो परिकल्पना संतुष्ट है, जहां च (ए) * एफ (बी) <0।
- पाए गए मूल्य के संकेत (सकारात्मक या नकारात्मक) के आधार पर, प्रक्रिया को एक नए उपप्रकार के साथ दोहराया जाता है जब तक कि उपरोक्त परिकल्पना पूरी नहीं होती है।
हल किया अभ्यास
अभ्यास 1
निर्धारित करें कि फ़ंक्शन f (x) = x 2 - 2, अंतराल में कम से कम एक वास्तविक समाधान है।
उपाय
हमारे पास फंक्शन (x) = x 2 - 2. है क्योंकि यह बहुपद है, इसका मतलब है कि यह किसी भी अंतराल में निरंतर है।
यह निर्धारित करने के लिए कहा जाता है कि क्या अंतराल में इसका वास्तविक समाधान है, इसलिए अब केवल इनका संकेत जानने के लिए और यह जानने के लिए कि क्या वे अलग होने की शर्त को पूरा करते हैं, फ़ंक्शन में अंतराल के चरम को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (ऋणात्मक)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (धनात्मक)
इसलिए, एफ (1) का चिह्न sign साइन एफ (2)।
यह सुनिश्चित करता है कि कम से कम एक बिंदु "सी" है जो अंतराल से संबंधित है, जिसमें एफ (सी) = 0।
इस स्थिति में, "c" के मूल्य की गणना आसानी से की जा सकती है:
x 2 - 2 = 0
x = √ √2।
इस प्रकार, val2 ≈ 1,4 अंतराल के अंतर्गत आता है और उस f (√2) = 0 को पूरा करता है।
व्यायाम २
दिखाएँ कि समीकरण x 5 + x + 1 = 0 में कम से कम एक वास्तविक समाधान है।
उपाय
आइए पहले ध्यान दें कि f (x) = x 5 + x + 1 एक बहुपद फलन है, जिसका अर्थ है कि यह वास्तविक संख्याओं पर निरंतर है।
इस मामले में, कोई अंतराल नहीं दिया जाता है, इसलिए मानों को सहज रूप से चुना जाना चाहिए, अधिमानतः 0 के करीब, फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने और संकेत परिवर्तनों को खोजने के लिए:
यदि आप अंतराल का उपयोग करते हैं:
f (x) = x 5 + x + 1।
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0।
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0।
जैसा कि कोई संकेत परिवर्तन नहीं है, प्रक्रिया एक और अंतराल के साथ दोहराई जाती है।
यदि आप अंतराल का उपयोग करते हैं:
f (x) = x 5 + x + 1।
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0।
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0।
इस अंतराल में एक संकेत परिवर्तन होता है: f (-1) of का संकेत f (0) का संकेत, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन f (x) = x 5 + x + 1 में कम से कम एक वास्तविक जड़ है «c» अंतराल में, जैसे कि f (c) = 0. दूसरे शब्दों में, यह सच है कि x 5 + x + 1 = 0 का अंतराल में वास्तविक समाधान है।
संदर्भ
- ब्रोंटेस्टिन I, एसके (1988)। इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित का मैनुअल। । संपादकीय MIR।
- जॉर्ज, ए। (1994)। गणित और मन। ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस।
- इलिन वी, पीई (1991)। गणितीय विश्लेषण। तीन खंडों में। ।
- जेसुएस गोमेज़, एफजी (2003)। माध्यमिक शिक्षा के शिक्षक। आयतन II पागल।
- माटोस, एमएल (2013)। आर। एडिटोर्स में विश्लेषण के मूल गुण, 20 दिसंबर।
- पिस्कुनोव, एन। (1980)। विभेदक और अभिन्न कलन। ।
- Sydsaeter K, HP (2005)। आर्थिक विश्लेषण के लिए गणित। फेलिक्स वरेला।
- विलियम एच। बार्कर, आरएच (एनडी)। सतत समरूपता: यूक्लिड से क्लेन तक। अमेरिकी गणितीय सोसाइटी।