वेक्टर: विशेषताओं और गुण, तत्व, प्रकार, उदाहरण - विज्ञान - 2025

वैक्टर गणितीय संस्थाओं है कि है एक आम तौर पर अच्छी तरह से एक माप की इकाई -positiva- परिमाण और दिशा के साथ कर रहे हैं। ऐसी विशेषताएँ भौतिक मात्राओं जैसे गति, बल, त्वरण और कई और अधिक का वर्णन करने के लिए बहुत उपयुक्त हैं।

वैक्टर के साथ इसके अलावा, घटाव और उत्पादों जैसे ऑपरेशन करना संभव है। वैक्टर के लिए डिवीजन को परिभाषित नहीं किया गया है और उत्पाद के लिए, तीन वर्ग हैं जो हम बाद में वर्णन करेंगे: डॉट उत्पाद या बिंदु, वेक्टर उत्पाद या वेक्टर द्वारा एक स्केलर के क्रॉस और उत्पाद।

चित्रा 1. एक वेक्टर के तत्व। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

एक वेक्टर का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए, इसकी सभी विशेषताओं को इंगित किया जाना चाहिए। परिमाण या मॉड्यूल एक इकाई के साथ एक संख्यात्मक मान है, जबकि निर्देश और भावना एक समन्वय प्रणाली की मदद से स्थापित किए जाते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें: मान लीजिए कि एक हवाई जहाज एक नी से दिशा में 850 किमी / घंटा की दर से एक शहर से दूसरे शहर में उड़ता है। यहां हमारे पास पूरी तरह से निर्दिष्ट वेक्टर है, क्योंकि परिमाण उपलब्ध है: 850 किमी / घंटा, जबकि दिशा और भावना एनई है।

वैक्टर आमतौर पर रेखीय रूप से उन्मुख रेखाखंडों द्वारा दर्शाए जाते हैं, जिनकी लंबाई परिमाण के अनुपात में होती है।

दिशा और भावना को निर्दिष्ट करने के लिए, एक संदर्भ रेखा की आवश्यकता होती है, जो आमतौर पर क्षैतिज अक्ष होती है, हालांकि उत्तर को संदर्भ के रूप में भी लिया जा सकता है, ऐसा विमान की गति का मामला है:

चित्रा 2. एक वेग वेक्टर। स्रोत: एफ। ज़पाटा

आकृति हवाई जहाज की गति वेक्टर को बोल्ड प्रकार में v के रूप में दर्शाती है, इसे एक स्केलर मात्रा से अलग करने के लिए, जिसे केवल एक संख्यात्मक मान और कुछ इकाई को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है।

एक वेक्टर के तत्व

जैसा कि हमने कहा है, वेक्टर के तत्व हैं:

-Magnitude या मॉड्यूल, कभी-कभी वेक्टर का निरपेक्ष मान या आदर्श भी कहा जाता है।

-Address

-समझ

चित्र 2 में उदाहरण में, v का मापांक 850 किमी / घंटा है। मापांक को बिना बोल्ड या v - v के रूप में निरूपित किया जाता है, जहां बार निरपेक्ष मान का प्रतिनिधित्व करते हैं।

V की दिशा उत्तर के सापेक्ष निर्दिष्ट है। इस मामले में यह 45º उत्तर पूर्व (45) NE) है। अंत में तीर की नोक v की भावना के बारे में सूचित करती है ।

इस उदाहरण में, वेक्टर की उत्पत्ति समन्वय प्रणाली के मूल ओ के साथ मेल खाते हुए खींची गई है, इसे एक लिंक किए गए वेक्टर के रूप में जाना जाता है। दूसरी ओर, यदि वेक्टर की उत्पत्ति संदर्भ प्रणाली के साथ मेल नहीं खाती है, तो इसे एक मुक्त वेक्टर कहा जाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वेक्टर को पूरी तरह से निर्दिष्ट करने के लिए, इन तीन तत्वों पर ध्यान दिया जाना चाहिए, अन्यथा वेक्टर का वर्णन अधूरा होगा।

एक वेक्टर के आयताकार घटक

चित्रा 3. विमान में एक वेक्टर के आयताकार घटक। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स uranther

छवि में हमारे पास हमारे उदाहरण वेक्टर v, जो कि xy विमान में है, वापस आ गया है।

यह देखना आसान है कि एक्स और वाई समन्वय कुल्हाड़ियों पर v के अनुमान एक सही त्रिकोण निर्धारित करते हैं। इन अनुमानों वी कर रहे हैं _{y और} वी _एक्स और के आयताकार घटकों कहा जाता है v ।

अपने आयताकार घटकों द्वारा v को निरूपित करने का एक तरीका इस प्रकार है: v =x, v _और > इन कोष्ठकों के बजाय कोष्ठक का उपयोग इस तथ्य पर जोर देने के लिए किया जाता है कि यह एक वेक्टर है और एक अवधि नहीं है, क्योंकि इस मामले में कोष्ठक का उपयोग किया जाएगा।

यदि वेक्टर त्रि-आयामी अंतरिक्ष में है, तो एक और घटक की आवश्यकता है, ताकि:

v =x, v _y, v _z >

आयताकार घटकों वेक्टर के परिमाण गणना की जाती है, सही त्रिकोण जिसका पैर वी कर रहे हैं के कर्ण पाने के लिए बराबर जानते हुए _एक्स और वी _{और ,।} पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से यह निम्नानुसार है कि:

एक सदिश का ध्रुवीय रूप

जब वेक्टर का परिमाण - v - और कोण it जो इसे संदर्भ अक्ष के साथ बनाता है, आमतौर पर क्षैतिज अक्ष, ज्ञात होते हैं, वेक्टर भी निर्दिष्ट है। वेक्टर को तब ध्रुवीय रूप में व्यक्त किया जाता है।

इस मामले में आयताकार घटकों की गणना आसानी से की जाती है:

ऊपर के अनुसार, विमान के वेग सदिश v का आयताकार घटक होगा:

प्रकार

वैक्टर कई प्रकार के होते हैं। वेग, स्थिति, विस्थापन, बल, विद्युत क्षेत्र, संवेग, और बहुत सारे के वैक्टर हैं। जैसा कि हमने पहले ही कहा है, भौतिक विज्ञान में बड़ी संख्या में वेक्टर मात्राएं हैं।

कुछ विशेषताओं वाले वैक्टर के बारे में, हम निम्न प्रकार के वैक्टर का उल्लेख कर सकते हैं:

-Null: ये वेक्टर होते हैं जिनकी परिमाण 0 होती है और जिन्हें 0. के रूप में दर्शाया जाता है । याद रखें कि बोल्ड अक्षर एक वेक्टर की तीन मूलभूत विशेषताओं का प्रतीक है, जबकि सामान्य अक्षर केवल मॉड्यूल का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण के लिए, स्थैतिक संतुलन में एक शरीर पर, बलों का योग एक अशक्त वेक्टर होना चाहिए।

- मुक्त और जुड़ा हुआ: मुक्त वैक्टर वे हैं जिनके मूल और आगमन के बिंदु जुड़े हुए वैक्टरों के विपरीत, विमान या अंतरिक्ष में किसी भी जोड़ी के बिंदु हैं, जिनकी उत्पत्ति उनके संदर्भ प्रणाली के साथ मेल खाती है।

दंपति या दंपति द्वारा उत्पादित क्षण एक मुक्त वेक्टर का एक अच्छा उदाहरण है, क्योंकि युगल किसी विशेष बिंदु पर लागू नहीं होता है।

- लैस: वे दो मुक्त वैक्टर हैं जो समान विशेषताओं को साझा करते हैं। इसलिए उनके पास समान परिमाण, दिशा और भावना है।

- कोपलानर या कोपलानर: वैक्टर जो एक ही विमान के हैं।

- विपरीत: वैक्टर एक ही परिमाण और दिशा, लेकिन विपरीत दिशाओं के साथ। वेक्टर v के विपरीत वेक्टर वेक्टर - v है और दोनों का योग null वेक्टर है: v + (- v) = 0 ।

- समवर्ती: वैक्टर जिनकी क्रिया की रेखाएं सभी एक ही बिंदु से गुजरती हैं।

- स्लाइडर्स: वे वैक्टर हैं जिनके एप्लिकेशन बिंदु एक विशेष रेखा के साथ स्लाइड कर सकते हैं।

- कोलिनियर: वैक्टर जो एक ही लाइन पर स्थित होते हैं।

- एकात्मक: वे वैक्टर जिनके मॉड्यूल 1 हैं।

ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर

भौतिकी में वेक्टर का एक बहुत ही उपयोगी प्रकार है जिसे ऑर्थोगोनल यूनिट वेक्टर कहा जाता है। ऑर्थोगोनल यूनिट वेक्टर में 1 के बराबर एक मॉड्यूल होता है और इकाइयाँ किसी भी हो सकती हैं, उदाहरण के लिए गति, स्थिति, बल या अन्य।

विशेष वैक्टर का एक सेट है जो आसानी से अन्य वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने में मदद करता है और उनके साथ ऑपरेशन करता है: वे ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर i, j और k, यूनिट और एक-दूसरे के लंबवत हैं।

दो आयामों में, इन वैक्टरों को एक्स-अक्ष और वाई-अक्ष दोनों की सकारात्मक दिशा के साथ निर्देशित किया जाता है। और तीन आयामों में एक इकाई वेक्टर को सकारात्मक z अक्ष की दिशा में जोड़ा जाता है। उन्हें निम्नानुसार दर्शाया गया है:

i = <1, 0.0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

एक वेक्टर को यूनिट वैक्टर i, j और k द्वारा निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

v = v _x i + v _y j + v _z k

उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरणों में वेग वेक्टर v के रूप में लिखा जा सकता है:

v = 601.04 i + 601.04 j किमी / घंटा

K में घटक आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह वेक्टर विमान में है।

वेक्टर जोड़

वैक्टर का योग विभिन्न स्थितियों में बहुत बार दिखाई देता है, उदाहरण के लिए जब आप परिणामी बल को किसी ऐसी वस्तु पर खोजना चाहते हैं जो विभिन्न बलों से प्रभावित होती है। शुरू करने के लिए, मान लें कि हमारे पास विमान पर दो मुफ्त वैक्टर यू और वी हैं, जैसा कि बाईं ओर निम्नलिखित आंकड़े में दिखाया गया है:

चित्रा 4. दो वैक्टर का ग्राफिक योग। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स Lluc cabanach।

इसकी परिमाण, दिशा या भाव को संशोधित किए बिना इसे वेक्टर वी में तुरंत ध्यान से स्थानांतरित किया जाता है, ताकि इसकी उत्पत्ति यू के अंत के साथ मेल खाती हो ।

सदिश राशि को w कहा जाता है और इसे सही आकृति के अनुसार v से u अंत से शुरू किया जाता है । यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि वेक्टर w का परिमाण आवश्यक रूप से v और u के परिमाण का योग नहीं है ।

यदि आप इसके बारे में सावधानी से सोचते हैं, तो परिणामी वेक्टर का परिमाण परिमाण के परिमाण का योग है जब दोनों जोड़ एक ही दिशा में होते हैं और एक ही भाव होते हैं।

और अगर वैक्टर मुक्त नहीं हैं तो क्या होगा? इन्हें जोड़ना भी बहुत आसान है। इसे करने का तरीका घटक को घटक या विश्लेषणात्मक विधि से जोड़कर है।

एक उदाहरण के रूप में, चलो निम्नलिखित आंकड़ों में वैक्टर पर विचार करते हैं, पहली बात यह है कि कार्टेशियन तरीकों में से एक में उन्हें पहले से व्यक्त करें:

चित्रा 5. दो जुड़े वैक्टर के योग। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

v = <5.1>

u = <2,3>

सदिश w के x- घटक को प्राप्त करने के लिए, v और u के संबंधित x- घटकों को जोड़ें: w _x = 5 + 2 = 7। और w _y प्राप्त करने के लिए एक अनुरूप प्रक्रिया का पालन किया जाता है: w _y = 1 + 3। इस प्रकार:

u = <7.4>

वेक्टर जोड़ के गुण

-दो या दो से अधिक वैक्टर का योग एक और वेक्टर में होता है।

-यह सराहनीय है, व्यसनों का क्रम राशि में परिवर्तन नहीं करता है, इस तरह से:

u + v = v + u

- वैक्टर के योग का तटस्थ तत्व शून्य वेक्टर है: v + 0 = v

- दो वैक्टर के घटाव को विपरीत के योग के रूप में परिभाषित किया गया है: v - u = v + (-u)

वेक्टर के उदाहरण

जैसा कि हमने कहा है, भौतिकी में कई वेक्टर मात्राएं हैं। सबसे अच्छे लोगों में से हैं:

-स्थान

-Displacement

-उपयोग की गति और तात्कालिक गति

-Acceleration

फोर्स

-आंदोलन की गति

किसी बल का क्षण या क्षण

-Impulse

-बिजली क्षेत्र

-चुंबकीय क्षेत्र

-चुंबकीय पल

दूसरी ओर, वे वैक्टर नहीं बल्कि स्केलर हैं:

-मौसम

-द्रव्यमान

-तापमान

-Volume

घनत्व

-यांत्रिक कार्य

-ऊर्जा

-गरम

-शक्ति

-वोल्टेज

-विद्युत प्रवाह

वैक्टर के बीच अन्य ऑपरेशन

वैक्टर के अलावा और घटाव के अलावा, वैक्टर के बीच तीन अन्य बहुत महत्वपूर्ण ऑपरेशन हैं, क्योंकि वे नए बहुत भौतिक भौतिक मात्राओं को जन्म देते हैं:

एक वेक्टर द्वारा एक स्केलर का उत्पादन।

-वेक्टरों के बीच डॉट उत्पाद या डॉट उत्पाद

-और दो वैक्टर के बीच क्रॉस या वेक्टर उत्पाद।

एक स्केलर और एक वेक्टर का उत्पाद

न्यूटन के दूसरे नियम, जिसमें कहा गया है कि बल पर विचार एफ और त्वरण एक आनुपातिक हैं। आनुपातिकता का मूल वस्तु का द्रव्यमान m है, इसलिए:

एफ = एम। सेवा

मास एक अदिश राशि है; उनके भाग के लिए, बल और त्वरण वैक्टर हैं। चूंकि बल त्वरण द्वारा द्रव्यमान को गुणा करके प्राप्त किया जाता है, यह एक स्केलर और एक वेक्टर के उत्पाद का परिणाम है।

इस तरह के उत्पाद का परिणाम हमेशा वेक्टर होता है। यहां एक और उदाहरण है: आंदोलन की मात्रा। चलो P गति वेक्टर है, v वेग वेक्टर है, और हमेशा की तरह, m द्रव्यमान है:

प = म। v

वैक्टर के बीच डॉट उत्पाद या डॉट उत्पाद

हमने यांत्रिक कार्यों को उन मात्राओं की सूची में रखा है जो वैक्टर नहीं हैं। हालांकि, भौतिकी में काम वैक्टर के बीच एक ऑपरेशन का परिणाम है जिसे स्केलर उत्पाद, आंतरिक उत्पाद या डॉट उत्पाद कहा जाता है।

वैक्टर v और u को, उनके बीच डॉट या स्केलर उत्पाद को परिभाषित करें:

v ∙ यू = - वी - ∙ - यू -.cos θ

जहां Where दोनों के बीच का कोण है। दिखाए गए समीकरण से यह इस प्रकार है कि डॉट उत्पाद का परिणाम एक स्केलर है और यह भी कि यदि दोनों वैक्टर लंबवत हैं, तो उनका डॉट उत्पाद 0 है।

यांत्रिक कार्य डब्ल्यू वापस, इस बल सदिश के बीच अदिश उत्पाद है एफ और विस्थापन वेक्टर ℓ ।

जब वैक्टर अपने घटकों के संदर्भ में उपलब्ध होते हैं, तो डॉट उत्पाद की गणना करना भी बहुत आसान होता है। यदि v =x, v _y, v _z > y u =x, u _y, u _z >, दोनों के बीच का डॉट उत्पाद है:

v ∙ यू = वी _x यू _एक्स + v _y यू _y + v _जेड यू _जेड

वैक्टर के बीच डॉट उत्पाद सराहनीय है, इसलिए:

v ∙ यू = यू ∙ v

वैक्टर के बीच क्रॉस उत्पाद या वेक्टर उत्पाद

यदि v और u हमारे दो उदाहरण वैक्टर हैं, तो हम वेक्टर उत्पाद को निम्न रूप में परिभाषित करते हैं:

v x u = w

यह तुरंत इस प्रकार है कि क्रॉस उत्पाद एक वेक्टर में परिणामित होता है, जिसका मापांक निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

जहां Where वैक्टर के बीच का कोण है।

क्रॉस उत्पाद सराहनीय नहीं है, इसलिए v x u v u x v। वास्तव में v x u = - (u x v)।

यदि दो उदाहरण वैक्टर इकाई वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं, तो वेक्टर उत्पाद की गणना की सुविधा होती है:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

यूनिट वैक्टर के बीच क्रॉस उत्पाद

समान इकाई वैक्टर के बीच क्रॉस उत्पाद शून्य है, क्योंकि उनके बीच का कोण 0 unit है। लेकिन विभिन्न यूनिट वैक्टर के बीच, उनके बीच का कोण 90 sin और पाप 90 1 = 1 है।

निम्न आरेख इन उत्पादों को खोजने में मदद करता है। तीर की दिशा में यह एक सकारात्मक दिशा और विपरीत दिशा में नकारात्मक है:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

वितरण गुण को लागू करना, जो अभी भी वैक्टर और यूनिट वैक्टर के गुणों के बीच उत्पादों के लिए मान्य है, हमारे पास है:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k) x (u _x i + u _y j + u _z k) =

हल किया अभ्यास

- अभ्यास 1

वैक्टर को देखते हुए:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

क्या वेक्टर चाहिए डब्ल्यू होना राशि के लिए वी + यू + w होने के लिए 6 मैं +8 जे -10 कश्मीर ?

उपाय

इसलिए, इसे पूरा किया जाना चाहिए:

उत्तर है: w = 9 i +7 j - 18 k

- व्यायाम २

व्यायाम 1 में वैक्टर v और u के बीच का कोण क्या है ?

उपाय

हम डॉट उत्पाद का उपयोग करेंगे। हमारे पास परिभाषा से:

v ∙ यू = -10 -12 + 7 = -15

इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करना:

संदर्भ

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