असाधारण आधार: गुण, उदाहरण और अभ्यास - शारीरिक - 2025

एक अलंकारिक आधार एक दूसरे के लिए लंबवत वैक्टर के साथ बनता है और जिसका मापांक 1 (यूनिट वैक्टर) भी होता है। हमें याद रखें कि वेक्टर स्पेस V में एक बेस B को उक्त स्थान बनाने में सक्षम रैखिक स्वतंत्र वैक्टर के एक सेट के रूप में परिभाषित किया गया है।

बदले में, एक सदिश स्थान एक अमूर्त गणितीय इकाई है, जिसके तत्व वैक्टर होते हैं, जो आमतौर पर भौतिक मात्राओं जैसे गति, बल और विस्थापन से जुड़े होते हैं या मैट्रिसेस, बहुपद और कार्यों के साथ भी होते हैं।

चित्र 1. विमान में हड्डी का आधार। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स Quartl।

क्षेत्रों में तीन विशिष्ट तत्व होते हैं: परिमाण या मापांक, दिशा और भाव। एक अलंकारिक आधार विशेष रूप से उनके साथ प्रतिनिधित्व करने और संचालित करने के लिए उपयोगी है, क्योंकि किसी भी वेक्टर जो एक निश्चित वेक्टर अंतरिक्ष V से संबंधित है, उन्हें वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है जो रूढ़िवादी आधार बनाते हैं।

इस प्रकार, वैक्टर, जैसे कि जोड़, घटाव और उक्त स्थान में परिभाषित विभिन्न प्रकार के उत्पादों के बीच संचालन को विश्लेषणात्मक रूप से निष्पादित किया जाता है।

भौतिकी में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले आधारों में यूनिट वैक्टर i, j, और k द्वारा गठित आधार है जो तीन आयामी अंतरिक्ष की तीन विशिष्ट दिशाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं: ऊंचाई, चौड़ाई और गहराई। इन वैक्टर को यूनिट कैनोनिकल वैक्टर के रूप में भी जाना जाता है।

यदि, इसके बजाय, वैक्टर एक विमान में काम किया जाता है, तो इन तीन घटकों में से दो पर्याप्त होंगे, जबकि एक आयामी वैक्टर के लिए केवल एक की आवश्यकता होती है।

आधारों के गुण

1- एक बेस B वैक्टर का सबसे छोटा संभव सेट है जो वेक्टर स्पेस V उत्पन्न करता है।

2- B के तत्व रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

3- एक वेक्टर स्पेस V का कोई बेस B, V के सभी वैक्टर को उसके रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है और यह फॉर्म प्रत्येक वेक्टर के लिए अद्वितीय है। इस कारण से, बी को जनरेटिंग सिस्टम के रूप में भी जाना जाता है।

4- एक ही वेक्टर स्पेस V के अलग-अलग आधार हो सकते हैं।

आधारों के उदाहरण

यहाँ सामान्य रूप से अस्थि-पंजर और ठिकानों के कई उदाहरण हैं:

Ical में विहित आधार

Also ⁿ का प्राकृतिक आधार या मानक आधार भी कहा जाता है, जहां ⁿ n n- आयामी स्थान है, उदाहरण के लिए तीन-आयामी स्थान standard ^{3 है} । N के मान को वेक्टर स्पेस का आयाम कहा जाता है और इसे dim (V) के रूप में दर्शाया जाता है।

ℜ ⁿ से संबंधित सभी वैक्टर आदेशित n- विज्ञापनों द्वारा दर्शाए जाते हैं। अंतरिक्ष के लिए the ⁿ, विहित आधार है:

ई ₁ = <1,0। । ।, 0>; ई ₂ = <0.1,। । ।, 0>; …….. ई _n = <0.0,। । ।, 1>

इस उदाहरण में हम कोष्ठक या "कोष्ठक" और इकाई वैक्टर के लिए बोल्ड के साथ अंकन का इस्तेमाल किया है ई ₁, ई ₂, ई ₃…

Ical में विहित आधार

परिचित वैक्टर i, j और k इसी प्रतिनिधित्व को स्वीकार करते हैं और ये तीनों in ³ में वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त हैं:

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

इसका मतलब है कि आधार को इस तरह व्यक्त किया जा सकता है:

बी = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

यह सत्यापित करने के लिए कि वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, उनके साथ गठित निर्धारक शून्य नहीं है और 1 के बराबर है।

A ³ से संबंधित किसी भी वेक्टर को उनके रेखीय संयोजन के रूप में लिखना भी संभव होना चाहिए । उदाहरण के लिए, एक बल जिसका आयताकार घटक F _x = 4 N, F _y = -7 N और F _z = 0 N है, इस तरह वेक्टर रूप में लिखा जाएगा:

एफ = <4, -7,0> एन = 4 आई -7 जे + 0 के एन।

इसलिए i, j और k । ³ का जनरेटर सिस्टम बनाते हैं ।

अन्य ऑर्थोनॉमिक बेस bas में

पिछले अनुभाग में वर्णित मानक आधार केवल on ³ में एकमात्र असामान्य आधार नहीं है । यहाँ हमारे पास आधार हैं उदाहरण के लिए:

बी ₁ = {; <- पाप θ, कॉस θ, 0>; <0,0,1>}

बी ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

यह दिखाया जा सकता है कि ये आधार असामान्य हैं, इसके लिए हमें उन परिस्थितियों को याद रखना चाहिए जो पूरी होनी चाहिए:

-वैक्टर जो आधार बनाते हैं, वे एक-दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल होने चाहिए।

-उनमें से कोई एक होना चाहिए।

हम इसे यह जानकर सत्यापित कर सकते हैं कि उनके द्वारा गठित निर्धारक शून्य और 1 के बराबर होना चाहिए।

आधार B ₁ ठीक वैसा ही है जैसा कि बेलनाकार निर्देशांक ρ, z और z, अंतरिक्ष में वैक्टर को व्यक्त करने का एक और तरीका है।

चित्रा 2. बेलनाकार निर्देशांक। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स मैथ बफ।

हल किया हुआ व्यायाम

- अभ्यास 1

यह दिखाएं कि आधार B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} असाधारण है।

उपाय

यह दिखाने के लिए कि वैक्टर एक-दूसरे के लिए लंबवत हैं, हम स्केलर उत्पाद का उपयोग करेंगे, जिसे दो वैक्टर के आंतरिक या डॉट उत्पाद भी कहा जाता है।

किसी भी दो वैक्टर को यू और वी दें, उनके डॉट उत्पाद द्वारा परिभाषित किया गया है:

u • v = uv cosθ

उनके मॉड्यूल के वैक्टर को अलग करने के लिए हम पहले और दूसरे के लिए सामान्य अक्षरों के लिए बोल्ड का उपयोग करेंगे। and यू और वी के बीच का कोण है , इसलिए यदि वे लंबवत हैं, तो इसका मतलब है कि º = 90º और स्केलर उत्पाद शून्य है।

वैकल्पिक रूप से, यदि वैक्टर को उनके घटकों के संदर्भ में दिया जाता है: यू =x, u _y, u _z > y v =x, v _y, v _z >, दोनों का अदिश उत्पाद, जो सराहनीय है, की गणना इस प्रकार की जाती है:

u • v = u _x.v _x + u _y.v _y + u _z.v _z

इस प्रकार, वैक्टर के प्रत्येक जोड़े के बीच स्केलर उत्पाद क्रमशः हैं:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5)। (- 4/5) + (4/5)। (3) 5) + 0.0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

दूसरी स्थिति के लिए, प्रत्येक वेक्टर के मॉड्यूल की गणना की जाती है, जिसे निम्न द्वारा प्राप्त किया जाता है:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ²)

इस प्रकार, प्रत्येक वेक्टर के मॉड्यूल हैं:

│ <3/5, 4 / 5,0> 5 = √ = √ = 3 = (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> 5 = √ = √ = -4 = (25/25) = 1

0.1 <0, 0.1> 0.1 = │ = 1

इसलिए तीनों यूनिट वैक्टर हैं। अंत में, उनके द्वारा निर्धारित किया गया निर्धारक शून्य और 1 के बराबर होता है:

- व्यायाम २

ऊपर के आधार के संदर्भ में वेक्टर w = <2, 3,1> के निर्देशांक लिखें ।

उपाय

ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग किया जाता है:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

इसका मतलब है कि हम गुणांक < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n > का उपयोग करके बेस बी में वेक्टर लिख सकते हैं, जिसके लिए हमें संकेतित स्केलर उत्पादों की गणना करनी चाहिए:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2)। (3/5) (3)। (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12) / ५) = १ 5/५

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2)। (- 4/5) + (3)। (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

स्केलर उत्पादों को प्राप्त करने के साथ, एक मैट्रिक्स का निर्माण किया जाता है, जिसे डब्ल्यू समन्वय मैट्रिक्स कहा जाता है।

इसलिए बेस B में वेक्टर w के निर्देशांक निम्न द्वारा व्यक्त किए जाते हैं:

_बी =

निर्देशांक मैट्रिक्स वेक्टर नहीं है, क्योंकि एक वेक्टर अपने निर्देशांक के समान नहीं है। ये केवल संख्याओं का एक समूह हैं जो किसी दिए गए आधार में वेक्टर को व्यक्त करने के लिए कार्य करते हैं, न कि वेक्टर को ऐसे। वे चयनित आधार पर भी निर्भर करते हैं।

अंत में, प्रमेय के बाद, वेक्टर w को निम्नानुसार व्यक्त किया जाएगा:

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

के साथ: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, अर्थात बेस B के वैक्टर।

संदर्भ

1. लार्सन, आर। फाउंडेशन ऑफ लीनियर अलजेब्रा। 6। संस्करण। सेनगेज लर्निंग।
2. लार्सन, आर। 2006. पथरी। 7। संस्करण। मात्रा 2. मैकग्रा हिल।
3. सालास, जे। रेखीय बीजगणित। यूनिट 10. ऑर्थोनॉमिक बेस। से बरामद: ocw.uc3m.es
4. सेविला विश्वविद्यालय। बेलनाकार निर्देशांक। वेक्टर आधार। से पुनर्प्राप्त: laplace.us.es।
5. विकिपीडिया। असाधारण रूप से आधार। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org।