द्विघात समीकरण के कितने समाधान हैं? - गणित - 2025

एक द्विघात समीकरण या द्विघात समीकरण में शून्य, एक या दो वास्तविक समाधान हो सकते हैं, जो कि गुणांक के आधार पर कहा जाता है।

यदि आप जटिल संख्याओं पर काम करते हैं तो आप कह सकते हैं कि प्रत्येक द्विघात समीकरण के दो हल हैं।

के साथ शुरू करने के लिए, एक द्विघात समीकरण रूप ax² + bx + c = 0 का एक समीकरण है, जहां a, b और c वास्तविक संख्या हैं और x एक चर है।

यह कहा जाता है कि X1 पिछले द्विघात समीकरण का एक समाधान है यदि x द्वारा x की जगह समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात, यदि (X1) b + b (X1) + c = 0।

यदि, उदाहरण के लिए, हमारे पास समीकरण x²-4x + 4 = 0 है, तो X1 = 2 एक समाधान है (2) 2-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0।

इसके विपरीत, यदि हम x2 = 0 को प्रतिस्थापित करते हैं तो हम प्राप्त करते हैं (0) if-4 (0) + 4 = 4 और चूंकि 4 since 0 है तो x2 = 0 द्विघात समीकरण का हल नहीं है।

एक द्विघात समीकरण के समाधान

द्विघात समीकरण के समाधानों की संख्या को दो मामलों में अलग किया जा सकता है:

एक।-

वास्तविक संख्याओं के साथ काम करते समय, द्विघात समीकरण हो सकते हैं:

-जेरो सॉल्यूशंस: यानी, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो द्विघात समीकरण को संतुष्ट करती है। उदाहरण के लिए, समीकरण को समीकरण x² + 1 = 0 दिया गया है, ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो समीकरण को संतुष्ट करती है, क्योंकि दोनों x² शून्य से अधिक या बराबर है और 1 शून्य से सख्ती से अधिक है, इसलिए उनकी राशि अधिक होगी। शून्य से सख्त।

-एक दोहराया समाधान: एक एकल वास्तविक मूल्य है जो द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, समीकरण x²-4x + 4 = 0 का एकमात्र समाधान X1 = 2 है।

दो अलग समाधान: दो मान हैं जो द्विघात समीकरण को संतुष्ट करते हैं। उदाहरण के लिए, x different + x-2 = 0 के दो अलग-अलग समाधान हैं जो X1 = 1 और x2 = -2 हैं।

2.- जटिल संख्या में

जटिल संख्याओं के साथ काम करते समय, द्विघात समीकरणों में हमेशा दो समाधान होते हैं जो z1 और z2 होते हैं जहां z2 z1 का संयुग्म होता है। इन्हें भी वर्गीकृत किया जा सकता है:

-Complexes: समाधान फॉर्म z = p, qi के हैं, जहां p और q वास्तविक संख्या हैं। यह मामला पिछली सूची के पहले मामले से मेल खाता है।

-पुरे कॉम्प्लेक्स: यह तब होता है जब समाधान का वास्तविक हिस्सा शून्य के बराबर होता है, यह कहना है कि समाधान में z = form qi है, जहां q एक वास्तविक संख्या है। यह मामला पिछली सूची के पहले मामले से मेल खाता है।

-एक काल्पनिक भाग के साथ रिक्त स्थान शून्य के बराबर: यह तब होता है जब समाधान का जटिल भाग शून्य के बराबर होता है, अर्थात, समाधान एक वास्तविक संख्या है। यह मामला पिछली सूची के अंतिम दो मामलों से मेल खाता है।

द्विघात समीकरण के समाधान कैसे पाए जाते हैं?

एक द्विघात समीकरण के समाधान की गणना करने के लिए, "रिज़ॉल्वेंट" के रूप में जाना जाने वाला एक सूत्र का उपयोग किया जाता है, जो कहता है कि समीकरण ax of + bx + c = 0 के समाधान निम्न छवि में अभिव्यक्ति द्वारा दिए गए हैं:

वर्गमूल के भीतर दिखाई देने वाली मात्रा को द्विघात समीकरण के विभेदक कहा जाता है और इसे अक्षर "d" द्वारा निरूपित किया जाता है।

द्विघात समीकरण में होगा:

-दो असली समाधान अगर, और केवल अगर, d> 0।

एक वास्तविक समाधान दोहराया अगर, और केवल अगर, डी = 0।

-जेरो असली समाधान (या दो जटिल समाधान) यदि, और केवल अगर, डी <0।

उदाहरण:

-इस समीकरण के समाधान x² + x-2 = 0 द्वारा दिए गए हैं:

-इस समीकरण x a-4x + 4 = 0 का एक दोहराया समाधान है जो निम्न द्वारा दिया गया है:

-इस समीकरण के समाधान x² + 1 = 0 द्वारा दिए गए हैं:

जैसा कि इस अंतिम उदाहरण में देखा जा सकता है, एक्स 2 एक्स 1 का संयुग्म है।

संदर्भ

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