आंशिक व्युत्पत्ति: अंकन, उदाहरण और हल किए गए अभ्यास - गणित - 2025

आंशिक डेरिवेटिव, जबकि अन्य चर अपरिवर्तित ही रहेंगे कई चर के एक समारोह का, उन है कि समारोह जब चर के एक छोटे से भिन्नता है के परिवर्तन की दर का निर्धारण कर रहे हैं।

विचार को अधिक ठोस बनाने के लिए, मान लें कि दो चरों के कार्य का मामला है: z = f (x, y)। चर x के संबंध में फ़ंक्शन f के आंशिक व्युत्पन्न की गणना x के संबंध में साधारण व्युत्पन्न के रूप में की जाती है, लेकिन चर y को मानो यह स्थिर था।

चित्रा 1. फंक्शन एफ (एक्स, वाई) और उसके आंशिक डेरिवेटिव y _एक्स एफ वाई _वाई at _वाई एफ पर बिंदु पी। (जियोजेब्रा के साथ आर। पेरेज द्वारा विस्तृत)

आंशिक व्युत्पत्ति संकेतन

चर x पर फ़ंक्शन f (x, y) का आंशिक व्युत्पन्न संचालन निम्न में से किसी भी तरीके से दर्शाया गया है:

आंशिक व्युत्पत्ति में प्रतीक ∂ (एक प्रकार का गोल अक्षर d जिसे जैकोबी डी भी कहा जाता है) का उपयोग किया जाता है, क्योंकि एकल-चर कार्यों के लिए साधारण व्युत्पन्न का विरोध किया जाता है जहां अक्षर d का उपयोग व्युत्पन्न के लिए किया जाता है।

सामान्य शब्दों में, एक बहुभिन्नरूपी फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न, इसके एक चर के संबंध में, मूल फ़ंक्शन के समान चर में एक नए फ़ंक्शन का परिणाम होता है:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y)।

गणना और आंशिक व्युत्पन्न का अर्थ

एक्स अक्ष के समानांतर दिशा में एक विशिष्ट बिंदु (x = a, y = b) के लिए फ़ंक्शन की परिवर्तन या ढलान की दर निर्धारित करने के लिए:

1- फ़ंक्शन The _x f (x, y) = g (x, y) की गणना की जाती है, जो चर x में साधारण व्युत्पन्न लेता है और चर y को स्थिर या स्थिर छोड़ता है।

2- फिर बिंदु x = a और y = b का मान प्रतिस्थापित किया जाता है जिसमें हम x दिशा में फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर जानना चाहते हैं:

{बिंदु (ए, बी)} पर x दिशा में ढलान = f _x f (a, b)।

3- समन्वय बिंदु (ए, बी) में y दिशा में परिवर्तन की दर की गणना करने के लिए, पहले ∂ _और f (x, y) = h (x, y) की गणना करें ।

4- तब प्राप्त करने के लिए पिछले परिणाम में बिंदु (x = a, y = b) प्रतिस्थापित किया जाता है:

{बिंदु पर y दिशा में ढलान (a, b)} = (_y f (a, b)

आंशिक व्युत्पत्ति के उदाहरण

आंशिक व्युत्पन्न के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

उदाहरण 1

समारोह को देखते हुए:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

वेरिएबल x और वेरिएबल y के संबंध में फ़ंक्शन f का आंशिक व्युत्पत्ति ज्ञात करें।

उपाय:

∂ xf = -2x

-2 yf = -2y

ध्यान दें कि चर x के संबंध में फ़ंक्शन च के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, x के संबंध में साधारण व्युत्पन्न किया गया था, लेकिन चर y मान लिया गया था जैसे कि यह स्थिर था। इसी तरह, y के संबंध में f के आंशिक व्युत्पन्न की गणना में, चर x लिया गया है जैसे कि यह एक स्थिर था।

फ़ंक्शन f (x, y) एक सतह है जिसे गेरू के रंग में आकृति 1 में दिखाया गया है।

उदाहरण 2

उदाहरण 1 से, x (अक्ष = x = 1, y = 2) के लिए x- अक्ष और Y- अक्ष की दिशा में, फ़ंक्शन f (x, y) के परिवर्तन (या ढलान) की दर ज्ञात करें।

समाधान: दिए गए बिंदु पर x और y दिशाओं में ढलान को खोजने के लिए, बिंदु के मानों को फ़ंक्शन, _x f (x, y) और फ़ंक्शन ∂ _y f (x, y) में प्रतिस्थापित करें:

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

1, _और f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

चित्र 1 विमान y = 2 के साथ फ़ंक्शन f (x, y) के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित वक्र को स्पर्श रेखा (लाल रंग में) दिखाता है, इस रेखा का ढलान -2 है। चित्र 1 में वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा (हरे रंग में) भी दिखाई देती है जो प्लेन x = 1 के साथ फ़ंक्शन f के प्रतिच्छेदन को परिभाषित करती है; इस लाइन में ढलान -4 है।

अभ्यास

अभ्यास 1

एक निश्चित समय में एक शंक्वाकार ग्लास में पानी होता है ताकि पानी की सतह पर त्रिज्या r और गहराई h हो। लेकिन ग्लास के तल में एक छोटा सा छेद होता है जिसके माध्यम से पानी प्रति घन सेंटीमीटर की दर से खो जाता है। सेंटीमीटर प्रति सेकंड पानी की सतह से वंश की दर निर्धारित करें।

उपाय:

सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि दिए गए इंस्टेंट पर पानी की मात्रा है:

वॉल्यूम दो चर, त्रिज्या आर और गहराई एच: वी (आर, एच) का एक फ़ंक्शन है।

जब एक अनंत राशि dV द्वारा आयतन में परिवर्तन होता है, तो पानी की सतह का त्रिज्या r और पानी की गहराई h भी निम्न संबंध के अनुसार बदल जाती है:

dV = V _r V dr + = _h V dh

हम क्रमशः आर और एच के संबंध में वी के आंशिक डेरिवेटिव की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं:

∂ _आर वी = (_आर (⅓ 2 आर ^ 2 एच) = π V आरएच

∂ _h V = ∂ _h (⅓ 2 r ^ 2 h) = π V r ^ 2

इसके अलावा, त्रिज्या आर और गहराई एच निम्नलिखित रिश्ते को पूरा करती है:

विभिन्‍न समय के अंतर के आधार पर दोनों सदस्यों को विभाजित करना:

dV / dt = ^ r ^ 2 (dh / dt)

लेकिन dV / dt समय की प्रति यूनिट खोई गई पानी की मात्रा है जिसे C सेंटीमीटर प्रति सेकंड के लिए जाना जाता है, जबकि dh / dt पानी की मुक्त सतह के वंश की दर है, जिसे v कहा जाएगा। अर्थात्, दिए गए पानी की सतह पर दिए गए गति v (सेमी / एस) में उतरती है:

v = C / (^ r ^ 2)।

एक संख्यात्मक अनुप्रयोग के रूप में, मान लीजिए कि r = 3 सेमी, h = 4 सेमी, और रिसाव दर C 3 सेमी ^ 3 / s है। फिर उस तात्कालिक सतह के अवतरण की गति है:

v = 3 / (^ 3 ^ 2) = 0.11 सेमी / एस = 1.1 मिमी / एस।

व्यायाम २

क्लैरट - श्वार्ज़ प्रमेय में कहा गया है कि यदि कोई फ़ंक्शन अपने स्वतंत्र चर में निरंतर होता है और स्वतंत्र चर के संबंध में इसके आंशिक डेरिवेटिव भी निरंतर होते हैं, तो दूसरे क्रम के मिश्रित डेरिवेटिव को परस्पर बदला जा सकता है। फ़ंक्शन के लिए इस प्रमेय की जांच करें

f (x, y) = x ^ 2 y, यानी यह सही होना चाहिए कि f _xy f = ∂ _yx f।

उपाय:

∂ _xy f = = _x () _y f) जबकि f _yx f = = _y (f _x f)

∂ _x च = 2 xy; ∂ _y च = एक्स ^ 2

∂ _xy f = = _x () _y f) = 2x

∂ _yx f = = _y (∂ _x f) = 2x

Schwarz की प्रमेय को धारण करने के लिए सिद्ध किया गया है, क्योंकि फ़ंक्शन च और इसके आंशिक डेरिवेटिव सभी वास्तविक संख्याओं के लिए निरंतर हैं।

संदर्भ

1. फ्रैंक आयरेस, जे।, और मेंडेल्सन, ई। (2000)। गणना 5ed। मैक ग्रे हिल।
2. लीथोल्ड, एल। (1992)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ गणना। हरला, SA
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4. साएंज़, जे। (2005)। अवक्षेपक कलन। कर्ण।
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