बहुपद समीकरण (हल किए गए अभ्यासों के साथ) - गणित - 2025

बहुपदीय समीकरणों एक बयान है कि दो भाव या सदस्यों, जहां शब्दों बनाने के कम से कम एक की समानता को जन्म देती हैं अप समानता के प्रत्येक पक्ष बहुआयामी पद पी (एक्स) कर रहे हैं। इन समीकरणों को उनके चर की डिग्री के अनुसार नाम दिया गया है।

सामान्य तौर पर, एक समीकरण एक कथन है जो दो अभिव्यक्तियों की समानता स्थापित करता है, जहां कम से कम इनमें से एक में अज्ञात मात्राएं होती हैं, जिन्हें चर या अज्ञात कहा जाता है। यद्यपि कई प्रकार के समीकरण हैं, उन्हें आम तौर पर दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है: बीजगणितीय और ट्रान्सेंडेंट।

बहुपद समीकरणों में केवल बीजगणितीय भाव होते हैं, जो समीकरण में एक या अधिक अज्ञात शामिल हो सकते हैं। उनके पास जो घातांक (डिग्री) है, उनके अनुसार उन्हें वर्गीकृत किया जा सकता है: पहली डिग्री (रैखिक), दूसरी डिग्री (द्विघात), तीसरी डिग्री (क्यूबिक), चौथी डिग्री (चतुर्थांश), पांच या तर्कहीन से अधिक या बराबर डिग्री।

विशेषताएँ

बहुपद समीकरण वे अभिव्यक्तियाँ हैं जो दो बहुपद के बीच एक समानता से बनती हैं; यह है कि अज्ञात (चर) और निश्चित संख्याओं (गुणांक), जहां चर के घातांक हो सकते हैं और उनके मूल्य शून्य सहित एक सकारात्मक पूर्णांक हो सकता है, के बीच गुणा के परिमित रकम द्वारा।

घातांक समीकरण की डिग्री या प्रकार निर्धारित करते हैं। उच्चतम प्रतिपादक के साथ अभिव्यक्ति में शब्द बहुपद की पूर्ण डिग्री का प्रतिनिधित्व करेगा।

बहुपद समीकरणों को बीजगणितीय समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है, उनके गुणांक वास्तविक या जटिल संख्याएं हो सकते हैं और चर अज्ञात संख्याओं को एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे: "x"।

यदि P (x) में चर "x" के लिए एक मान को प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणाम शून्य (0) के बराबर होता है, तो उस मान को समीकरण (यह एक समाधान) को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है, और इसे आम तौर पर बहुपद की जड़ कहा जाता है।

एक बहुपद समीकरण विकसित करते समय आप सभी जड़ों या समाधानों को खोजना चाहते हैं।

प्रकार

कई प्रकार के बहुपद समीकरण हैं, जिन्हें चर की संख्या के अनुसार विभेदित किया जाता है, और उनके घटक की डिग्री के अनुसार भी।

इस प्रकार, बहुपद समीकरण-जहाँ पर इसका पहला शब्द एक बहुपद है जिसमें एक भी अज्ञात है, यह देखते हुए कि इसकी डिग्री किसी भी प्राकृतिक संख्या (n) हो सकती है और दूसरा शब्द शून्य है-, को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

कहाँ पे:

- एक _एन, एक _{एन -1} और ₀ वास्तविक गुणांक (संख्या) हैं।

- एक _n शून्य से अलग है।

- घातांक n एक धनात्मक पूर्णांक है जो समीकरण की डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है।

- x खोजा जाने वाला चर या अज्ञात है।

बहुपद समीकरण की पूर्ण या अधिक से अधिक डिग्री उन सभी के बीच उच्चतम मूल्य वाला घातांक है जो बहुपद का निर्माण करते हैं; इस प्रकार, समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया जाता है:

प्रथम श्रेणी

पहली डिग्री के बहुपद समीकरण, जिन्हें रेखीय समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, वे हैं जिनमें डिग्री (सबसे बड़ा घातांक) 1 के बराबर है, बहुपद का रूप P (x) = 0 है; y एक रैखिक शब्द और एक स्वतंत्र से बना है। यह इस प्रकार लिखा जाता है:

कुल्हाड़ी + बी = ०।

कहाँ पे:

- ए और बी वास्तविक संख्या और ≠ 0 हैं।

- अक्ष रेखीय शब्द है।

- b स्वतंत्र शब्द है।

उदाहरण के लिए, समीकरण 13x - 18 = 4x।

रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए, अज्ञात एक्स वाले सभी शब्दों को समानता के एक तरफ से पारित किया जाना चाहिए, और जिनके पास नहीं है वे इसे हल करने और समाधान प्राप्त करने के लिए दूसरी तरफ चले जाते हैं:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 = 9

x = 2।

इस प्रकार, दिए गए समीकरण में केवल एक समाधान या मूल है, जो x = 2 है।

दूसरी कक्षा

द्वितीय-डिग्री बहुपद समीकरण, जिसे द्विघात समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, वे हैं जिनमें डिग्री (सबसे बड़ा घातांक) 2 के बराबर है, बहुपद, पी (x) = 0 के रूप का है, और एक द्विघात शब्द से बना है।, एक रैखिक और एक स्वतंत्र। इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

ax ² + bx + c = 0।

कहाँ पे:

- ए, बी और सी वास्तविक संख्या और c 0 हैं।

- ax ² द्विघात शब्द है, और "a" द्विघात शब्द का गुणांक है।

- बीएक्स रैखिक शब्द है, और "बी" रैखिक शब्द का गुणांक है।

- c स्वतंत्र शब्द है।

विलायक

आमतौर पर, समीकरण से इस प्रकार के समीकरणों का समाधान x को समाशोधन करके दिया जाता है, और यह निम्नानुसार है, जिसे स्टोलोमीटर कहा जाता है:

वहां, (b ² - 4ac) को समीकरण का विभेदक कहा जाता है और यह अभिव्यक्ति उन समाधानों की संख्या निर्धारित करती है जो समीकरण हो सकते हैं:

- यदि (बी ² - 4ac) = 0, समीकरण में एक एकल समाधान होगा जो डबल है; अर्थात्, इसके दो समान समाधान होंगे।

- यदि (b ² - 4ac)> 0, समीकरण के दो अलग-अलग वास्तविक समाधान होंगे।

- यदि (b ² - 4ac) <0, समीकरण का कोई हल नहीं है (इसके दो अलग-अलग जटिल समाधान होंगे)।

उदाहरण के लिए, हमारे पास समीकरण 4x ² + 10x - 6 = 0 है, इसे हल करने के लिए पहले शब्दों को पहचानें a, b और c, और फिर इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

a = ४

बी = १०

सी = -6।

ऐसे मामले हैं जिनमें दूसरी डिग्री के बहुपद समीकरणों में सभी तीन शब्द नहीं होते हैं, और इसीलिए उन्हें अलग-अलग हल किया जाता है:

- इस मामले में कि द्विघात समीकरणों में रैखिक शब्द नहीं है (अर्थात, b = 0), समीकरण को ax ² + c = 0. के रूप में व्यक्त किया जाएगा, इसे हल करने के लिए, x ^{2 के} लिए हल करें और प्रत्येक सदस्य में वर्गमूल लागू करें।, यह याद करते हुए कि अज्ञात होने के दो संभावित संकेतों पर विचार किया जाना चाहिए:

कुल्हाड़ी ² + सी = 0।

x ² = - c ÷ a

उदाहरण के लिए, 5 x ² - 20 = 0।

५ x ^२ = २०

x ² = 20। 5

x = √ √4

x = ± 2

x ₁ = 2।

x ₂ = -2।

- जब द्विघात समीकरण का एक स्वतंत्र शब्द नहीं है (अर्थात, c = 0), समीकरण को ax ² + bx = 0. के रूप में व्यक्त किया जाएगा, इसे हल करने के लिए, हमें पहले सदस्य में अज्ञात x का सामान्य कारक लेना चाहिए; जैसा कि समीकरण शून्य के बराबर है, यह सच है कि कम से कम एक कारक 0 के बराबर होगा:

ax ² + bx = 0।

x (कुल्हाड़ी + बी) = 0।

इस प्रकार, आपको निम्न करना होगा:

x = 0।

x = -b ÷ a।

उदाहरण के लिए: हमारे पास समीकरण 5x ² + 30x = 0. पहला कारक है:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0।

दो कारक उत्पन्न होते हैं जो xy (5x + 30) हैं। यह माना जाता है कि इनमें से एक शून्य के बराबर होगा और दूसरा हल किया जाएगा:

x ₁ = 0।

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6।

उच्चतम वर्ग

उच्च डिग्री के बहुपद समीकरण वे हैं जो तीसरी डिग्री से आगे बढ़ते हैं, जिन्हें किसी भी डिग्री के लिए सामान्य बहुपद समीकरण के साथ व्यक्त या हल किया जा सकता है:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

इसका उपयोग किया जाता है क्योंकि दो से अधिक डिग्री के साथ एक समीकरण एक बहुपद फैक्टरिंग का परिणाम है; यही है, यह डिग्री एक या अधिक के बहुपद के गुणन के रूप में व्यक्त किया जाता है, लेकिन वास्तविक जड़ों के बिना।

इस प्रकार के समीकरणों का हल प्रत्यक्ष है, क्योंकि दो कारकों का गुणा शून्य के बराबर होगा यदि कोई कारक शून्य है (0); इसलिए, पाया गया बहुपद समीकरणों में से प्रत्येक को शून्य के बराबर उनके प्रत्येक कारक को हल करना चाहिए।

उदाहरण के लिए, हमारे पास तीसरा डिग्री समीकरण (घन) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. है, इसे हल करने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करना होगा:

- शर्तें समूहीकृत हैं:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ²) + (4x + 4) = 0।

- अज्ञात का सामान्य कारक प्राप्त करने के लिए सदस्यों को विघटित किया जाता है:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0।

- इस तरह, दो कारक प्राप्त होते हैं, जो शून्य के बराबर होना चाहिए:

(x ^२ + ४) = ०

(x + 1) = 0।

- यह देखा जा सकता है कि कारक (x ² + 4) = 0 का वास्तविक समाधान नहीं होगा, जबकि कारक (x + 1) = 0 करता है। तो समाधान है:

(x + 1) = 0

x = -1।

हल किया हुआ व्यायाम

निम्नलिखित समीकरणों को हल करें:

पहला व्यायाम

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0।

उपाय

इस मामले में समीकरण को बहुपद के गुणन के रूप में व्यक्त किया जाता है; यह तथ्यपूर्ण है। इसे हल करने के लिए, प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए:

- 2x ² + 5 = 0, इसका कोई हल नहीं है।

- x - 3 = 0

- x = 3।

- 1 + x = 0

- x = - 1।

इस प्रकार, दिए गए समीकरण के दो समाधान हैं: x = 3 और x = -1।

दूसरा व्यायाम

x ⁴ - 36 = 0।

उपाय

एक बहुपद दिया गया था, जिसे तेज समाधान पर पहुंचने के लिए वर्गों के अंतर के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस प्रकार, समीकरण है:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0।

समीकरणों का हल खोजने के लिए, दोनों कारक शून्य के बराबर हैं:

(x ² + 6) = 0, इसका कोई हल नहीं है।

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = √ √6।

इस प्रकार, प्रारंभिक समीकरण के दो हल हैं:

x = √6।

x = - √6।

संदर्भ

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