ENEAGON: गुण, कैसे एक ENEGON बनाने के लिए, उदाहरण - गणित

एक एगॉन नौ भुजाओं और नौ सिरों वाला बहुभुज है, जो नियमित हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। Eneágono नाम ग्रीक से आता है और यह ग्रीक शब्दों ennea (नौ) और गॉनन (कोण) से बना है।

नौ-पक्षीय बहुभुज का एक वैकल्पिक नाम नॉनगन है, जो लैटिन शब्द नॉनस (नौ) और गॉनन (वर्टेक्स) से आता है। दूसरी ओर, यदि ईगोन के किनारे या कोण एक-दूसरे के लिए असमान हैं, तो आपके पास एक अनियमित एनगॉन है। यदि, दूसरी ओर, सभी नौ पक्ष और एनजेन के नौ कोण बराबर हैं, तो यह एक नियमित एनगॉन है।

चित्रा 1. नियमित एनेगॉन और अनियमित एनगॉन। (खुद का विस्तार)

एनैगॉन के गुण

बहुभुज के लिए n पक्षों के साथ इसके आंतरिक कोण का योग है:

(n - 2) * 180º

एगॉन में यह n = 9 होगा, इसलिए इसके आंतरिक कोणों का योग है:

सा = (९ - २) * १º०º = º * १ 12० 12 = १२६० 2

किसी भी बहुभुज में, विकर्णों की संख्या है:

डी = एन (एन - 3) / 2 और एगॉन के मामले में, एन = 9 के बाद से, हमारे पास फिर डी = 27 है।

नियमित रूप से एगॉन

नियमित एनैगॉन या नॉनगन में समान माप के नौ (9) आंतरिक कोण होते हैं, इसलिए प्रत्येक कोण आंतरिक कोणों के कुल योग का एक-नौवां उपाय करता है।

एक एनगॉन के आंतरिक कोण का माप 1260º / 9 = 140 the है।

चित्रा 2. एपोटेम, त्रिज्या, पक्ष, कोण और एक नियमित एनगॉन के कोने। (खुद का विस्तार)

साइड डी के साथ एक नियमित एगॉन के क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए, कुछ सहायक निर्माण करना सुविधाजनक है, जैसे कि आंकड़े 2 में दिखाए गए हैं।

केंद्र O दो आसन्न पक्षों के द्विभाजक का पता लगाकर पाया जाता है। केंद्र O, समकोण से समान दूरी पर है।

लंबाई r का एक दायरा केंद्र O से एगॉन के शीर्ष तक का खंड है। चित्रा 2 त्रिज्या आयुध डिपो और लंबाई आर के OE से पता चलता है।

एपोटेम वह खंड है जो केंद्र से ईगोन के एक तरफ के मध्य बिंदु तक जाता है। उदाहरण के लिए ओजे एक एपोटेम है जिसकी लंबाई एक है।

एक एगॉन के क्षेत्र को पक्ष और एपोटेम के रूप में जाना जाता है

हम आकृति में त्रिभुज ODE पर विचार करते हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल इसके आधार DE का उत्पाद है और ऊँचाई OJ 2 से विभाजित है:

ODE क्षेत्र = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

चूंकि एनगॉन में समान क्षेत्र के 9 त्रिभुज हैं, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि उसी का क्षेत्रफल है:

एगॉन क्षेत्र = (9/2) (डी * ए)

एक ज्ञात क्षेत्र का किनारा

यदि केवल एगॉन के पक्षों की लंबाई d ज्ञात है, तो पिछले भाग में सूत्र को लागू करने के लिए एपोटेम की लंबाई का पता लगाना आवश्यक है।

हम J में सही त्रिभुज OJE मानते हैं (चित्र 2 देखें)। यदि स्पर्शरेखा त्रिकोणमितीय अनुपात लागू होता है, तो हम प्राप्त करते हैं:

tan (E OEJ) = OJ / EJ।

कोण =OEJ = 140º / 2 = 70 since, क्योंकि EO ईजोन के आंतरिक कोण का द्विभाजक है।

दूसरी ओर, OJ लंबाई का एपोटेम है।

फिर, चूंकि J ईडी का मध्य बिंदु है, इसलिए यह EJ = d / 2 है।

हमारे पास के संबंध में पिछले मूल्यों को प्रतिस्थापित करना:

tan (70)) = a / (d / 2)।

अब हम प्रेरितों की लंबाई स्पष्ट करते हैं:

a = (d / 2) tan (70º)।

पिछले परिणाम को प्राप्त करने के लिए क्षेत्र सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है:

क्षेत्र का क्षेत्र = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70))

अंत में, हम उस सूत्र को खोजते हैं जो नियमित एगॉन के क्षेत्र को प्राप्त करने की अनुमति देता है यदि केवल उसके पक्षों की लंबाई ज्ञात हो:

एनगोन का क्षेत्र = (9/4) डी ² टैन (70 =) = 6.1818 डी ²

नियमित एगॉन की परिधि इसके पक्ष को जानती है

बहुभुज की परिधि इसके पक्षों का योग है। एगॉन के मामले में, जैसा कि हर एक पक्ष एक लंबाई घ मापता है, इसकी परिधि नौ गुना घ का योग होगा, अर्थात:

परिधि = 9 डी

परिधि के परिधि को इसकी त्रिज्या ज्ञात थी

J में सही त्रिभुज OJE को देखते हुए (चित्र 2 देखें), त्रिकोणमितीय कोसाइन अनुपात लागू किया जाता है:

cos (O OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

यह कहाँ से प्राप्त किया गया है:

d = 2r cos (70º)

इस परिणाम को प्रतिस्थापित करते हुए, हम परिधि के सूत्र को एनगोन के त्रिज्या के कार्य के रूप में प्राप्त करते हैं:

परिधि = 9 डी = 18 आर कॉस (70 =) = 6.1564 आर

कैसे एक नियमित रूप से enegon बनाने के लिए

1- शासक और कम्पास के साथ एक नियमित एनैगॉन का निर्माण करने के लिए, उस परिधि c से शुरू करें जो एनगॉन को परिचालित करता है। (चित्र 3 देखें)

2- परिधि के केंद्र O के माध्यम से दो लंबवत रेखाएं खींची जाती हैं। फिर एक पंक्ति के चौराहों ए और बी को परिधि के साथ चिह्नित किया गया है।

3- कम्पास के साथ, इंटरसेप्ट B पर केंद्रित है और त्रिज्या BO के बराबर खुलता है, एक चाप खींचा जाता है जो एक बिंदु C पर मूल परिधि को स्वीकार करता है।

चित्रा 3. एक नियमित एनगॉन बनाने के लिए चरण। (खुद का विस्तार)

4- पिछला चरण दोहराया जाता है लेकिन A और त्रिज्या AO पर एक केंद्र बनाते हुए, एक चाप खींचा जाता है जो कि E पर परिधि c को स्वीकार करता है।

5- A में AC और सेंटर खोलने के साथ, परिधि का एक चाप खींचा जाता है। इसी तरह बीई और सेंटर बी खोलने के साथ एक और आर्क तैयार किया गया है। इन दो चापों के प्रतिच्छेदन को बिंदु G के रूप में चिह्नित किया गया है।

6- G पर केंद्रित और GA खोलने पर, एक चाप खींचा जाता है जो बिंदु H पर द्वितीयक अक्ष (इस मामले में क्षैतिज) को स्वीकार करता है। मूल परिधि c के साथ द्वितीयक अक्ष का अंतर I के रूप में चिह्नित है।

7- सेगमेंट IH की लंबाई एगॉन के किनारे की लंबाई d के बराबर है।

8- कम्पास खोलने के साथ IH = d, केंद्र A त्रिज्या AJ, केंद्र J त्रिज्या AK, केंद्र K त्रिज्या KL और केंद्र L त्रिज्या LP का चाप क्रमिक रूप से खींचा जाता है।

9 - इसी तरह, A से शुरू करके और दाईं ओर से, त्रिज्या IH = d के चापों को खींचा जाता है जो मूल परिधि c पर M, N, C और Q का अंक है।

10- अंत में सेगमेंट एजे, जेके, केएल, एलपी, एएम, एमएन, एनसी, सीक्यू और आखिरकार पीबी तैयार हो गए हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि निर्माण विधि पूरी तरह से सटीक नहीं है, क्योंकि यह सत्यापित किया जा सकता है कि पिछले पक्ष पीबी अन्य पक्षों की तुलना में 0.7% अधिक लंबा है। आज तक, शासक और कम्पास के साथ निर्माण की कोई ज्ञात विधि नहीं है जो 100% सटीक है।

उदाहरण

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

उदाहरण 1

हम एक नियमित एनगॉन का निर्माण करना चाहते हैं, जिसके किनारे 2 सेमी मापते हैं। उस परिधि में क्या परिधि होनी चाहिए जो इसे परिचालित करती है, ताकि पहले से वर्णित निर्माण को लागू करके वांछित परिणाम प्राप्त किया जा सके?

पिछले अनुभाग में, एक रेगुलर एनगॉन के साइड d के साथ गोलाकार सर्कल के त्रिज्या r से संबंधित सूत्र काटा गया था:

d = 2r cos (70º)

हमारे पास पिछले अभिव्यक्ति से r के लिए हल है:

r = d / (2 cos (70º)) = 1.4619 * d

पिछले सूत्र में मान d = 2 सेमी को प्रतिस्थापित करने से 2.92 सेमी का त्रिज्या आर प्राप्त होता है।

उदाहरण 2

एक साइड 2 सेमी के साथ एक नियमित एगॉन का क्षेत्र क्या है?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें उस सूत्र का उल्लेख करना चाहिए, जो पहले दिखाया गया है, जो हमें इसके किनारे की लंबाई d द्वारा ज्ञात ऊर्जा क्षेत्र का पता लगाने की अनुमति देता है: