आंशिक अंश: मामले और उदाहरण - गणित - 2025

आंशिक अंशों बहुआयामी पद है, जिसमें हर एक रेखीय या द्विघातीय बहुपद हो सकता है और इसके अलावा में, द्वारा गठित भिन्न हैं, यह कुछ सत्ता में उठाया जा सकता है। कभी-कभी जब हमारे पास तर्कसंगत कार्य होते हैं, तो इस कार्य को आंशिक अंश या साधारण अंशों के योग के रूप में फिर से लिखना बहुत उपयोगी होता है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि इस तरह से हम इन कार्यों में बेहतर तरीके से हेरफेर कर सकते हैं, विशेषकर उन मामलों में जहां उक्त आवेदन को एकीकृत करना आवश्यक है। एक तर्कसंगत कार्य केवल दो बहुपद के बीच का भागफल होता है, और वे उचित या अनुचित हो सकते हैं।

यदि अंश की बहुपद की डिग्री भाजक से कम है, तो इसे तर्कसंगत उचित कार्य कहा जाता है; अन्यथा, यह एक अनुचित तर्कसंगत कार्य के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा

जब हमारे पास एक अनुचित तर्कसंगत कार्य होता है, तो हम भाजक के बहुपद को भाजक के बहुपद से विभाजित कर सकते हैं और इस प्रकार t (x) + s (x) / / से विभाजन एल्गोरिथ्म का पालन करते हुए अंश p (x) / q (x) को फिर से लिखते हैं। q (x), जहां t (x) एक बहुपद है और s (x) / q (x) एक उचित तर्कसंगत कार्य है।

एक आंशिक अंश बहुपद का कोई उचित कार्य है, जिसका हर किसी के रूप (अक्ष + b) ⁿ या (ax ² + bx + c) ^{n है}, यदि बहुपद ax ² + bx + c की कोई वास्तविक जड़ नहीं है और n एक संख्या है। प्राकृतिक।

आंशिक अंशों में एक तर्कसंगत कार्य को फिर से लिखने के लिए, सबसे पहले रैखिक और / या द्विघात कारकों के उत्पाद के रूप में भाजक q (x) का कारक है। एक बार जब यह किया जाता है, तो आंशिक अंश निर्धारित होते हैं, जो इन कारकों की प्रकृति पर निर्भर करते हैं।

मामले

हम कई मामलों पर अलग से विचार करते हैं।

मामला एक

Q (x) के कारक सभी रैखिक हैं और कोई भी दोहराया नहीं जाता है। यानी:

q (x) = (एक ₁ x + b ₁) (एक ₂ x + b ₂)… (a _s x + b _s)

कोई रेखीय कारक दूसरे के समान नहीं होता है। जब यह मामला होगा तब हम लिखेंगे:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂)… + A _s / (a _s x + b _s)।

कहाँ एक ₁, ए ₂,…, एक _रों स्थिरांक हैं पाया जा सकता है।

उदाहरण

हम तर्कसंगत कार्यों को सरल अंशों में विघटित करना चाहते हैं:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

हम हर के कारक के लिए आगे बढ़ते हैं, जो है:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

फिर:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 1)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

कम से कम सामान्य एकाधिक लागू करना, इसे प्राप्त किया जा सकता है:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x।

हम स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों को प्राप्त करना चाहते हैं, जो उन जड़ों को प्रतिस्थापित करके पाया जा सकता है जो प्रत्येक शर्तों को रद्द करते हैं। हमारे पास x के लिए 0 को प्रतिस्थापित करना:

0 - 1 = ए (0 + 1) (0 + 2) + बी (0 + 2) 0 + सी (0 + 1) 0।

- 1 = 2 ए

ए = - 1/2।

प्रतिस्थापन - एक्स के लिए 1 हमारे पास है:

- 1 - 1 = ए (- 1 + 1) (- 1 + 2) + बी (- 1 + 2) (- 1) + सी (- 1 + 1) (- 1)।

- 2 = - बी

बी = २।

स्थानापन्न - 2 के लिए x हमारे पास है:

- 2 - 1 = ए (- 2 + 1) (- 2 + 2) + बी (- 2 + 2) (- 2) + सी (- 2 + 1) (- 2)।

–3 = 2 सी

सी = –3/2।

इस तरह A = –1/2, B = 2 और C = –3/2 मान प्राप्त होते हैं।

ए, बी और सी के मूल्यों को प्राप्त करने के लिए एक और विधि है। यदि समीकरण x के दाईं ओर - 1 = ए (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x +) 1) x हम शब्दों को मिलाते हैं, हमारे पास है:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A।

चूंकि यह बहुपदों की समानता है, इसलिए हमारे पास यह है कि बाईं ओर गुणांक दाएं तरफ के बराबर होना चाहिए। इसके परिणामस्वरूप समीकरणों की निम्न प्रणाली होती है:

अ + ब + स = ०

3 ए + 2 बी + सी = 1

2 ए = - 1

समीकरणों की इस प्रणाली को हल करते हुए, हम A = -1/2, B = 2, और C = -3/2 परिणाम प्राप्त करते हैं।

अंत में, हमारे पास प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करना:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2))।

केस 2

क्यू (एक्स) के कारक सभी रैखिक हैं और कुछ दोहराया जाता है। मान लीजिए कि (कुल्हाड़ी + बी) एक कारक है जो "s" बार दोहराता है; फिर, इस कारक के लिए आंशिक अंशों «« »का योग है।

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b)।

कहाँ एक _रों, ए _{एस 1},…, एक ₁ स्थिरांक निर्धारित किया जाना है। निम्नलिखित उदाहरण के साथ हम दिखाएंगे कि इन स्थिरांक का निर्धारण कैसे किया जाता है।

उदाहरण

आंशिक अंशों में विघटित करें:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³)

हम परिमेय समारोह को आंशिक अंशों के योग के रूप में लिखते हैं:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2)।

फिर:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

एक्स के लिए 2 को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास यह है:

7 = 4 सी, यानी सी = 7/4।

हमारे पास x के लिए 0 को प्रतिस्थापित करना:

- 1 = –8 ए या ए = 1/8।

इन मानों को पिछले समीकरण में विकसित करना और विकसित करना, हमारे पास यह है:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x) + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- - + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) एक्स - 1।

गुणांक के बराबर, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

बी + ई = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8 बी = 0।

सिस्टम को हल करना, हमारे पास है:

बी = 3/16; डी = 5/4; ई = - 3/16।

इसके लिए, हमें निम्न करना होगा:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 /) 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2)।

केस 3

क्यू (एक्स) के कारक रैखिक द्विघात हैं, बिना किसी दोहराए द्विघात कारक। इस स्थिति में, द्विघात कारक (अक्ष ² + bx + c) आंशिक अंश (Ax + B) / (ax ² + bx + c) के अनुरूप होगा, जहाँ स्थिरांक A और B निर्धारित होने वाले हैं।

निम्न उदाहरण दिखाता है कि इस मामले में आगे कैसे बढ़ना है

उदाहरण

सरल अंशों (x + 1) / (x ³ - 1) में विघटित करें ।

सबसे पहले हम हर को कारक बनाते हैं, जो हमें परिणाम के रूप में देता है:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1)।

हम यह देख सकते हैं कि (x ² + x + 1) एक इरोड्यूसबल द्विघात बहुपद है; अर्थात्, इसकी वास्तविक जड़ें नहीं हैं। आंशिक अंशों में इसका अपघटन निम्नानुसार होगा:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

इससे हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

बहुपद की समानता का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

ए + बी = 0;

ए-बी + सी = 1;

ए-सी = 1;

इस प्रणाली से हमारे पास ए = 2/3, बी = - 2/3 और सी = 1/3 है। स्थानापन्न, हमारे पास है:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1)।

केस 4

अंत में, केस 4 वह है जिसमें q (x) के कारक रैखिक और द्विघात होते हैं, जहां कुछ रैखिक द्विघात कारक दोहराए जाते हैं।

इस स्थिति में, यदि (कुल्हाड़ी ² + bx + c) एक द्विघात कारक है जो "s" बार दोहराता है, तो कारक (कुल्हाड़ी ² + bx + c) से संबंधित आंशिक अंश होगा:

(ए ₁ एक्स + बी) / (कुल्हाड़ी ² + बीएक्स + सी) +… + (ए _{एस -1} एक्स + बी _{एस -1}) / (कुल्हाड़ी ² + बीएक्स + सी) ^{एस -1} + (ए _एस एक्स + बी) _s) / (कुल्हाड़ी ² + बीएक्स + सी) ^एस

कहाँ एक _रों, ए _{एस 1},…, ए और बी _एस, बी _{एस -1},…, बी स्थिरांक निर्धारित किया जाना है।

उदाहरण

हम आंशिक परिमेय में निम्नलिखित तर्कसंगत कार्य को विघटित करना चाहते हैं:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²)

चूंकि x ² - 4x + 5 एक अकाट्य द्विघात कारक है, इसलिए हमारे पास आंशिक अंशों में इसका अपघटन निम्न है:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + ५) ^२

सरलीकरण और विकास, हमारे पास है:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A।

ऊपर से हमारे पास समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली है:

ए + बी = 0;

- 8 ए - 4 बी + सी = 0;

26 ए + 5 बी - 4 सी + डी = 0;

- 40 ए + 5 सी + ई = 1;

२५ ए = २।

सिस्टम को हल करते समय, हम साथ रह जाते हैं:

ए = - 2/25, बी = 2/25, सी = - 8/25, डी = 2/5 और ई = - 3/5।

हमारे द्वारा प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करके:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ²⁾ - 4x + 5) ²

अनुप्रयोग

समाकलन गणित

आंशिक अंशों का उपयोग मुख्य रूप से अभिन्न कलन के अध्ययन के लिए किया जाता है। आंशिक अंशों का उपयोग करके अभिन्न प्रदर्शन करने के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं।

उदाहरण 1

हम अभिन्न गणना करना चाहते हैं:

हम देख सकते हैं कि भाजक q (x) = (t + 2) ² (t + 1) रैखिक कारकों से बना है जहां इनमें से एक दोहराया जाता है; यही कारण है कि हम मामले 2 में हैं।

हमें करना ही होगा:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

हम समीकरण को फिर से लिखते हैं और हमारे पास है:

1 = ए (टी + 1) + बी (टी + 2) (टी + 1) + सी (टी + 2) ²

यदि t = - 1, हमारे पास है:

1 = ए (0) + बी (1) (0) + सी (1)

1 = सी

यदि t = - 2, यह हमें देता है:

1 = ए (- 1) + बी (0) (- 1) + सी (0)

ए = - 1

फिर, यदि t = 0:

1 = ए (1) + बी (2) (1) + सी (2)

ए और सी के मूल्यों को प्रतिस्थापित करना:

1 = - 1 + 2 बी + 4

1 = 3 + 2 बी

2 बी = - 2

ऊपर से हमारे पास वह B = - 1 है।

हम अभिन्न को फिर से लिखते हैं:

हम इसे प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं:

यह परिणाम है:

उदाहरण 2

निम्नलिखित अभिन्न हल करें:

इस स्थिति में हम aq (x) = x ² - 4 को q (x) = (x - 2) (x + 2) कह सकते हैं । हम स्पष्ट रूप से मामले 1 में हैं। इसलिए:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / / (x + 2)

इसे इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:

5x - 2 = ए (एक्स + 2) + बी (एक्स - 2)

यदि x = - 2, हमारे पास है:

- 12 = ए (0) + बी (- 4)

ब = ३

और अगर x = 2:

8 = ए (4) + बी (0)

ए = २

इस प्रकार, हम दिए गए अभिन्न को हल करने से बचे हैं, जो हल करने के बराबर है:

यह हमें एक परिणाम के रूप में देता है:

उदाहरण 3

अभिन्न हल करें:

हमारे पास q (x) = 9x ⁴ + x ^{2 है}, जिसे हम q (x) = x ² (9x ² + 1) में कारक कर सकते हैं ।

इस बार हमारे पास एक दोहराया रैखिक कारक और एक द्विघात कारक है; हम मामले 3 में हैं।

हमें करना ही होगा:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = ए (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

समान बहुपद का समूह बनाना और उसका उपयोग करना, हमारे पास है:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

ए = 1;

बी = 0;

9 ए + डी = 0;

9 बी + सी = 0

हमारे पास समीकरणों की इस प्रणाली से:

डी = - 9 और सी = 0

इस तरह, हमारे पास:

उपरोक्त हल करके, हमारे पास:

सामूहिक कार्रवाई का कानून

अभिन्न कलन पर लागू आंशिक अंशों का एक दिलचस्प अनुप्रयोग रसायन विज्ञान में पाया जाता है, बड़े पैमाने पर कार्रवाई के कानून में अधिक सटीक रूप से।

मान लीजिए कि हमारे पास दो पदार्थ हैं, ए और बी, जो एक साथ जुड़ते हैं और एक पदार्थ सी बनाते हैं, ताकि समय के संबंध में सी की मात्रा का व्युत्पन्न किसी भी समय ए और बी की मात्रा के उत्पाद के लिए आनुपातिक हो।

हम निम्नानुसार बड़े पैमाने पर कार्रवाई के कानून को व्यक्त कर सकते हैं:

इस अभिव्यक्ति में α ए की तुलना में ग्राम की प्रारंभिक संख्या है और बी के अनुरूप ग्राम की प्रारंभिक संख्या है।

इसके अलावा, आर और एस क्रमशः ए और बी के ग्राम की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं जो कि r + s ग्राम को संयोजित करते हैं। इसके भाग के लिए, x समय पर पदार्थ सी के ग्राम की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, और के। आनुपातिकता की निरंतरता। उपरोक्त समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:

निम्नलिखित परिवर्तन करना:

हमारे पास यह समीकरण है:

इस अभिव्यक्ति से हम प्राप्त कर सकते हैं:

जहां अगर if b, एकीकरण के लिए आंशिक अंशों का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण

उदाहरण के लिए एक पदार्थ C को B के साथ एक पदार्थ के संयोजन से उत्पन्न होने वाले उदाहरण के लिए लेते हैं, इस तरह से कि द्रव्यमान कानून पूरा होता है जहां a और b के मान क्रमशः 8 और 6 हैं। एक समीकरण दें जो हमें समय के एक समारोह के रूप में सी के ग्राम का मूल्य देता है।

दिए गए जन कानून में मूल्यों को प्रतिस्थापित करना, हमारे पास है:

जब हमारे पास अलग-अलग चर होते हैं:

यहाँ 1 / (8 - x) (6 - x) आंशिक अंशों के योग के रूप में लिखा जा सकता है:

इस प्रकार, 1 = ए (6 - x) + बी (8 - x)

यदि हम x के लिए 6 स्थानापन्न करते हैं, तो हमारे पास B = 1/2 है; और x के लिए 8 प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास A = - 1/2 है।

आंशिक अंशों द्वारा समेकित करना हमारे पास है:

यह हमें एक परिणाम के रूप में देता है:

विभेदक समीकरण: लॉजिस्टिक समीकरण

एक अन्य अनुप्रयोग जो आंशिक अंशों को दिया जा सकता है वह लॉजिस्टिक डिफरेंशियल समीकरण में है। सरल मॉडल में हमारे पास यह है कि किसी जनसंख्या की वृद्धि दर उसके आकार के अनुपात में होती है; यानी:

यह मामला एक आदर्श है और इसे तब तक यथार्थवादी माना जाता है जब तक कि ऐसा न हो कि सिस्टम में उपलब्ध संसाधन आबादी का समर्थन करने के लिए अपर्याप्त हैं।

इन स्थितियों में, सबसे उचित बात यह सोचना है कि एक अधिकतम क्षमता है, जिसे हम एल कहेंगे, जो कि सिस्टम को बनाए रख सकता है, और यह है कि विकास दर जनसंख्या के आकार के अनुपात में उपलब्ध आकार से गुणा है। यह तर्क निम्नलिखित अंतर समीकरण की ओर जाता है:

इस अभिव्यक्ति को लॉजिस्टिक डिफरेंशियल समीकरण कहा जाता है। यह एक विभेदक अंतर समीकरण है जिसे आंशिक अंश एकीकरण विधि से हल किया जा सकता है।

उदाहरण

एक उदाहरण उस जनसंख्या पर विचार करना होगा जो निम्नलिखित लॉजिस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन y '= 0.0004y (1000 - y) के अनुसार बढ़ती है, जिसका प्रारंभिक डेटा 400 है। हम समय टी = 2 पर जनसंख्या का आकार जानना चाहते हैं, जहां टी मापा जाता है सालों में।

यदि हम लीबनिज संकेतन के साथ y लिखते हैं जो एक फ़ंक्शन के रूप में टी पर निर्भर करता है, तो हमारे पास है:

बाईं ओर के इंटीग्रल को आंशिक अंश एकीकरण विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है:

हम इस अंतिम समानता को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

- सबस्टिट्यूटिंग y = 0 हमारे पास है कि A, 1/1000 के बराबर है।

- प्रतिस्थापन y = 1000 हमारे पास है कि B 1/1000 के बराबर है।

इन मूल्यों के साथ अभिन्न इस प्रकार है:

समाधान है:

प्रारंभिक डेटा का उपयोग करना:

जब समाशोधन और हमारे पास:

फिर हमारे पास t = 2 है:

अंत में, 2 साल बाद जनसंख्या का आकार लगभग 597.37 है।

संदर्भ

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