विश्लेषणात्मक ज्यामिति: यह क्या अध्ययन, इतिहास, अनुप्रयोग - गणित - 2025

विश्लेषणात्मक ज्यामिति पढ़ाई लाइनों और एक समन्वय दिया प्रणाली में मूलभूत बीजगणित तकनीक और गणितीय विश्लेषण लगाने से ज्यामितीय आकार।

नतीजतन, विश्लेषणात्मक ज्यामिति गणित की एक शाखा है जो ज्यामितीय आंकड़ों के सभी डेटा, अर्थात, मात्रा, कोण, क्षेत्र, चौराहे के बिंदुओं, उनकी दूरी, दूसरों के बीच में विस्तार से विश्लेषण करती है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की मौलिक विशेषता यह है कि यह सूत्रों के माध्यम से ज्यामितीय आंकड़ों के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, परिधि को दूसरी डिग्री के बहुपद समीकरणों द्वारा दर्शाया जाता है जबकि लाइनें पहले डिग्री के बहुपद समीकरणों द्वारा व्यक्त की जाती हैं।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति सत्रहवीं शताब्दी में उन समस्याओं के उत्तर प्रदान करने की आवश्यकता के कारण उत्पन्न होती है जिनका अब तक कोई समाधान नहीं था। इसके शीर्ष प्रतिनिधि रेने डेसकार्टेस और पियरे डी फ़र्मेट थे।

आज कई लेखक इसे गणित के इतिहास में एक क्रांतिकारी रचना के रूप में इंगित करते हैं, क्योंकि यह आधुनिक गणित की शुरुआत का प्रतिनिधित्व करता है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति का इतिहास

विश्लेषणात्मक ज्यामिति शब्द का उदय फ्रांस में सत्रहवीं शताब्दी में उन समस्याओं के उत्तर प्रदान करने की आवश्यकता के कारण हुआ, जिन्हें अलगाव में बीजगणित और ज्यामिति का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता था, लेकिन समाधान दोनों के संयुक्त उपयोग में था।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मुख्य प्रतिनिधि

सत्रहवीं शताब्दी के दौरान जीवन में संयोग से दो फ्रेंच ने शोध किया कि एक तरह से या दूसरे विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माण में समाप्त हो गए। ये लोग पियरे डी फ़र्मेट और रेने डेकार्टेस थे।

वर्तमान में यह माना जाता है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माता रेने डेसकार्टेस थे। यह इस तथ्य के कारण है कि उन्होंने अपनी पुस्तक Fermat के पहले प्रकाशित की और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विषय पर डेसकार्टेस के साथ गहराई से भी।

हालाँकि, Fermat और डेसकार्टेस दोनों ने पाया कि लाइनों और ज्यामितीय आंकड़े समीकरणों द्वारा व्यक्त किए जा सकते हैं और समीकरणों को लाइनों या ज्यामितीय आंकड़ों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

दोनों द्वारा की गई खोजों के अनुसार, यह कहा जा सकता है कि दोनों विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माता हैं।

पियरे डे फ़र्मेट

पियरे डी फ़र्मेट एक फ्रांसीसी गणितज्ञ थे, जिनका जन्म 1601 में हुआ था और 1665 में उनकी मृत्यु हो गई थी। अपने जीवन के दौरान उन्होंने यूक्लिड, अपोलोनियस और पैपस की ज्यामिति का अध्ययन किया, ताकि उस समय मौजूद माप की समस्याओं को हल किया जा सके।

बाद में इन अध्ययनों ने ज्यामिति के निर्माण को गति दी। उन्होंने अपनी पुस्तक "फ्लैट और ठोस स्थानों का परिचय" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge) में व्यक्त की, जो 1679 में उनकी मृत्यु के 14 साल बाद प्रकाशित हुई थी।

1623 में ज्यामितीय स्थानों पर एपोलोनियस के प्रमेय के लिए पियरे डी फ़र्मेट ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति लागू की। वह तीन-आयामी अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति को लागू करने वाले पहले व्यक्ति भी थे।

रेने डेस्कर्टेस

कार्टिसियस के रूप में भी जाना जाता है, वह एक गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और दार्शनिक थे जिनका जन्म फ्रांस में 31 मार्च, 1596 को हुआ था और 1650 में उनकी मृत्यु हो गई।

रेने डेसकार्टेस ने 1637 में प्रकाशित अपनी पुस्तक "प्रवचन कारण का सही ढंग से संचालन करने और विज्ञान में सत्य की खोज करने के लिए" "विधि" के रूप में बेहतर जाना जाता है और वहां से विश्लेषणात्मक ज्यामिति शब्द को दुनिया के लिए पेश किया गया था। इसका एक परिशिष्ट "ज्योमेट्री" था।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मौलिक तत्व

विश्लेषणात्मक ज्यामिति निम्नलिखित तत्वों से बनी है:

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली

इस प्रणाली का नाम रेने डेसकार्टेस के नाम पर रखा गया है।

यह वह नहीं था जिसने इसे नाम दिया, न ही जिसने कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को पूरा किया, लेकिन वह वह था जिसने सकारात्मक संख्याओं के साथ समन्वय की बात की थी ताकि भविष्य के विद्वानों को इसे पूरा करने की अनुमति मिल सके।

यह प्रणाली आयताकार समन्वय प्रणाली और ध्रुवीय समन्वय प्रणाली से बना है।

आयताकार समन्वय प्रणाली

आयताकार समन्वय प्रणालियों को एक दूसरे से लंबवत दो नंबर लाइनों की रूपरेखा द्वारा गठित विमान कहा जाता है, जहां कट-ऑफ पॉइंट आम शून्य के साथ मेल खाता है।

तब यह प्रणाली एक क्षैतिज रेखा और एक ऊर्ध्वाधर एक से बनी होगी।

क्षैतिज रेखा एक्स अक्ष या एब्सिस्सा अक्ष है। वर्टिकल लाइन Y अक्ष या ऑर्डिनेट अक्ष होगी।

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली

यह प्रणाली एक निश्चित रेखा के संबंध में और रेखा पर एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष एक स्थिति की पुष्टि करने के प्रभारी है।

लाइन का कार्टेशियन समीकरण

यह समीकरण एक पंक्ति से प्राप्त होता है जब दो बिंदु ज्ञात होते हैं जिसके माध्यम से यह गुजरता है।

सीधी रेखा

यह वह है जो विचलन नहीं करता है और इसलिए न तो घटता है और न ही कोण।

conics

वे रेखाओं द्वारा परिभाषित वक्र हैं जो एक निश्चित बिंदु से और एक वक्र के बिंदु से गुजरते हैं।

दीर्घवृत्त, परिधि, परबोला और हाइपरबोला शंकु वक्र हैं। उनमें से प्रत्येक नीचे वर्णित है।

परिधि

परिधि को बंद प्लेन वक्र कहा जाता है जो समतल बिंदु के केंद्र से समतल, समतल बिंदु के सभी बिंदुओं द्वारा निर्मित होता है।

दृष्टांत

यह विमान के उन बिंदुओं का स्थान है जो एक निश्चित बिंदु (फोकस) और एक निश्चित रेखा (डायरेक्ट्रिक्स) से समान दूरी पर हैं। तो निर्देशन और फ़ोकस वही होते हैं जो परवल को परिभाषित करते हैं।

पेराबोला एक जेनरेट्रिक्स के समानांतर एक विमान के माध्यम से क्रांति की एक शंक्वाकार सतह के एक खंड के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

अंडाकार

एक विमान में चलते समय एक बिंदु का वर्णन करने वाले बंद वक्र को इस तरह से दीर्घवृत्त कहा जाता है कि इसकी दूरी दो (2) निश्चित बिंदुओं (जिसे foci कहा जाता है) का योग स्थिर है।

अतिशयोक्ति

हाइपरबोला को विमान में बिंदुओं के नियंत्रण रेखा के रूप में परिभाषित वक्र कहा जाता है, जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं (foci) की दूरी के बीच अंतर स्थिर है।

हाइपरबोला में समरूपता का एक अक्ष होता है जो फोकल अक्ष को foci से गुजरता है। इसके पास एक और भी है, जो उस खंड का द्विभाजक है जिसके छोर पर निश्चित बिंदु हैं।

अनुप्रयोग

दैनिक जीवन के विभिन्न क्षेत्रों में विश्लेषणात्मक ज्यामिति के कई अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, हम परवलय, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मूलभूत तत्वों में से एक, जो आज रोजाना उपयोग किए जाने वाले कई उपकरणों में से एक है, पा सकते हैं। इनमें से कुछ उपकरण इस प्रकार हैं:

उपग्रह डिश

पैराबोलिक एंटेना में एक परावोल के परिणामस्वरूप उत्पन्न एक परावर्तक होता है जो उक्त एंटीना की धुरी पर घूमता है। इस क्रिया के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली सतह को एक परवलय कहा जाता है।

Paraboloid की इस क्षमता को Parabola की ऑप्टिकल प्रॉपर्टी या परावर्तन गुण कहा जाता है, और इसके लिए धन्यवाद कि यह Paraboloid के लिए संभव है कि यह खिला तंत्र से प्राप्त होने वाली विद्युत चुम्बकीय तरंगों को प्रतिबिंबित करे जो एंटीना बनाती है।

लटकते पुल

जब एक रस्सी एक वजन का समर्थन करती है जो सजातीय है, लेकिन एक ही समय में, रस्सी के वजन से काफी अधिक है, तो परिणाम एक परवलय होगा।

यह सिद्धांत निलंबन पुलों के निर्माण के लिए मौलिक है, जो आमतौर पर व्यापक इस्पात केबल संरचनाओं द्वारा समर्थित हैं।

निलंबन पुलों में दृष्टान्त के सिद्धांत का उपयोग संयुक्त राज्य अमेरिका में सैन फ्रांसिस्को शहर में स्थित गोल्डन गेट ब्रिज या अकाशी जलडमरूमध्य के ग्रेट ब्रिज जैसे संरचनाओं में किया गया है, जो जापान में स्थित है और द्वीप को जोड़ता है उस देश के मुख्य द्वीप होंशो के साथ अवाजी।

खगोलीय विश्लेषण

विश्लेषणात्मक ज्यामिति का खगोल विज्ञान के क्षेत्र में बहुत विशिष्ट और निर्णायक उपयोग हुआ है। इस मामले में, विश्लेषणात्मक ज्यामिति का तत्व जो केंद्र चरण लेता है, वह दीर्घवृत्त है; जोहान्स केप्लर के ग्रहों की गति का नियम यह दर्शाता है।

केप्लर, एक जर्मन गणितज्ञ और खगोलशास्त्री, ने निर्धारित किया कि दीर्घवृत्त वह वक्र था जो मंगल की गति के लिए सबसे उपयुक्त है; उन्होंने पहले कोपर्निकस द्वारा प्रस्तावित परिपत्र मॉडल का परीक्षण किया था, लेकिन अपने प्रयोगों के बीच, उन्होंने यह निष्कर्ष निकाला कि दीर्घवृत्त एक परिक्रमा करने के लिए परोसा गया था जो उस ग्रह के समान था जो वह अध्ययन कर रहा था।

दीर्घवृत्त के लिए धन्यवाद, केपलर यह पुष्टि करने में सक्षम था कि ग्रह अण्डाकार कक्षाओं में चले गए; यह विचार केप्लर के तथाकथित दूसरे कानून का कथन था।

इस खोज से, बाद में अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ आइजैक न्यूटन द्वारा समृद्ध किया गया, ग्रहों की कक्षा संबंधी गतिविधियों का अध्ययन करना और उस ज्ञान को बढ़ाना संभव था, जो उस ब्रह्मांड के बारे में था जिसका हम हिस्सा हैं।

कैसग्रेन टेलिस्कोप

कैसग्रेन टेलिस्कोप का नाम इसके आविष्कारक के नाम पर रखा गया है, जो फ्रांस में जन्मे भौतिक विज्ञानी लॉरेंट कैसग्रेन हैं। इस टेलीस्कोप में विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सिद्धांतों का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह मुख्य रूप से दो दर्पणों से बना होता है: पहला अवतल और परवलयिक होता है, और दूसरा उत्तल और अतिशयोक्तिपूर्ण होने के कारण होता है।

इन दर्पणों के स्थान और प्रकृति को स्थान न लेने के लिए गोलाकार विपथन के रूप में जाना जाने वाला दोष अनुमति देता है; यह दोष प्रकाश किरणों को किसी दिए गए लेंस के फोकस में परावर्तित होने से रोकता है।

Cassegrain दूरबीन ग्रहों के अवलोकन के लिए बहुत उपयोगी है, साथ ही साथ काफी बहुमुखी और उपयोग करने में आसान है।

संदर्भ

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