हाइपरक्यूब: परिभाषा, आयाम, निर्देशांक, खुलासा - गणित - 2025

एक hypercube आयाम n के एक घन है। चार आयामी हाइपरक्यूब के विशेष मामले को टेसरैक्ट कहा जाता है। हाइपरक्यूब या एन-क्यूब में सीधे खंड होते हैं, सभी समान लंबाई के होते हैं जो उनके कोने पर ऑर्थोगोनल होते हैं।

मानव तीन आयामी स्थान का अनुभव करता है: चौड़ाई, ऊंचाई और गहराई, लेकिन हमारे लिए यह संभव नहीं है कि 3 से अधिक आयाम वाले हाइपरक्यूब की कल्पना की जाए।

चित्र 1. ए-क्यूब एक बिंदु है, यदि वह बिंदु एक दिशा में फैलता है तो दूरी 1-क्यूब बनाती है, यदि वह 1-क्यूब एक दूरी तक फैली हुई है, तो ऑर्थोगोनल दिशा में हमारे पास 2-क्यूब है (से एक्स से ए), अगर 2-क्यूब ऑर्थोगोनल दिशा में दूरी तय करता है तो हमारे पास 3-क्यूब है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

कम से कम हम इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए त्रि-आयामी अंतरिक्ष में इसका अनुमान लगा सकते हैं, इसी तरह से हम इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए एक विमान पर एक क्यूब को कैसे प्रोजेक्ट करते हैं।

आयाम 0 में एकमात्र आंकड़ा बिंदु है, इसलिए 0-घन एक बिंदु है। 1-क्यूब एक सीधा खंड है, जो एक बिंदु से एक दिशा में एक दूरी पर चलते हुए बनता है।

इसके भाग के लिए, 2-घन एक वर्ग है। इसका निर्माण y दिशा में 1-क्यूब (लंबाई के खंड) को स्थानांतरित करके किया गया है, जो कि x दिशा में ऑर्थोगोनल है, दूरी a।

3-घन सामान्य घन है। इसे तीसरी दिशा (z) में घुमाते हुए वर्ग से बनाया गया है, जो कि x और y दिशाओं के लिए ऑर्थोगोनल है, दूरी a।

चित्रा 2. एक 4-क्यूब (टेसरेक्ट) तीन पारंपरिक स्थानिक दिशाओं के लिए ऑर्थोगोनल दिशा में 3-क्यूब का विस्तार है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

4-क्यूब tesseract है, जिसे 3-क्यूब से बनाकर इसे orthogonally, एक दूरी, चौथे आयाम (या चौथे दिशा) की ओर बनाया जाता है, जिसे हम अनुभव नहीं कर सकते हैं।

एक tesseract में इसके सभी समकोण हैं, इसमें 16 कोने हैं, और इसके सभी किनारों (सभी में 18) की लंबाई समान है a।

यदि आयाम n के n- घन या हाइपरक्यूब के किनारों की लंबाई 1 है, तो यह एक इकाई हाइपरक्यूब है, जिसमें सबसे लंबा विकर्ण उपाय.n है।

चित्रा 3. एक एन-क्यूब एक (एन -1) से प्राप्त होता है-क्यूब इसे अगले आयाम में orthogonally बढ़ाता है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

आयाम क्या हैं?

आयाम स्वतंत्रता की डिग्री या संभावित दिशाएं हैं जिसमें एक वस्तु आगे बढ़ सकती है।

आयाम 0 में अनुवाद करने की कोई संभावना नहीं है और एकमात्र संभव ज्यामितीय वस्तु बिंदु है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक आयाम को एक उन्मुख रेखा या अक्ष द्वारा दर्शाया जाता है जो उस आयाम को परिभाषित करता है, जिसे एक्स अक्ष कहा जाता है। दो बिंदुओं ए और बी के बीच का अलगाव यूक्लिडियन दूरी है:

d = √

दो आयामों में, अंतरिक्ष को दो रेखाओं द्वारा एक दूसरे से उन्मुख ऑर्थोगोनल द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे एक्स अक्ष और वाई अक्ष कहा जाता है।

इस द्वि-आयामी अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु की स्थिति कार्टेशियन निर्देशांक (x, y) की अपनी जोड़ी द्वारा दी गई है और किसी भी दो बिंदुओं A और B के बीच की दूरी होगी:

d = √

क्योंकि यह एक ऐसा स्थान है जहां यूक्लिड की ज्यामिति पूरी होती है।

तीन आयामी स्थान

त्रि-आयामी अंतरिक्ष वह स्थान है जिसमें हम चलते हैं। इसकी तीन दिशाएँ हैं: चौड़ाई, ऊँचाई और गहराई।

एक खाली कमरे में लंबवत कोने इन तीन दिशाओं को देते हैं और प्रत्येक को हम एक अक्ष को जोड़ सकते हैं: एक्स, वाई, जेड।

यह स्थान भी यूक्लिडियन है और दो बिंदुओं A और B के बीच की दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है:

d = √

मनुष्य तीन से अधिक स्थानिक (या यूक्लिडियन) आयामों का अनुभव नहीं कर सकता है।

हालांकि, एक कड़ाई से गणितीय दृष्टिकोण से एन-आयामी यूक्लिडियन स्थान को परिभाषित करना संभव है।

इस स्थान में एक बिंदु का निर्देशांक है: (X1, x2, x3,….., xn) और दो बिंदुओं के बीच की दूरी:

d = √।

चौथा आयाम और समय

दरअसल, सापेक्षता सिद्धांत में, समय को एक अधिक आयाम माना जाता है और इसके साथ एक समन्वय जुड़ा हुआ है।

लेकिन यह स्पष्ट किया जाना चाहिए कि समय से जुड़ा यह समन्वय एक काल्पनिक संख्या है। इसलिए अंतरिक्ष-समय में दो बिंदुओं या घटनाओं का पृथक्करण यूक्लिडियन नहीं है, बल्कि लोरेंत्ज़ मीट्रिक का अनुसरण करता है।

एक चार-आयामी हाइपरक्यूब (टेसरैक्ट) अंतरिक्ष-समय में नहीं रहता है, यह एक चार-आयामी यूक्लिडियन हाइपर-स्पेस के अंतर्गत आता है।

चित्रा 4. एक विमान के चारों ओर साधारण रोटेशन में एक चार-आयामी हाइपरक्यूब का 3 डी प्रक्षेपण जो सामने से बाएं, पीछे से दाएं, और ऊपर से नीचे तक आंकड़े को विभाजित करता है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

एक हाइपरक्यूब के निर्देशांक

मूल पर केंद्रित एन-क्यूब के कोने के निर्देशांक निम्नलिखित अभिव्यक्ति के सभी संभव क्रमांकन करके प्राप्त किए जाते हैं:

(ए / 2) (, 1, / 1, (1,…।, (1)

जहां किनारे की लंबाई है।

-इस मात्रा किनारे एक की एक n घन के है: (क / 2) ^एन (2 ⁿ) = एक ^एन ।

-सबसे लंबे तिरछे विपरीत कोने के बीच की दूरी है।

- निम्नलिखित एक वर्ग में विपरीत कोने हैं: (-1, -1) और (+1, +1)।

-और एक घन में: (-1, -1, -1) और (+1, +1, +1)।

-इस सबसे लंबे विकर्ण एक n घन उपायों की:

d = √ = √ = 2√n

इस मामले में पक्ष को = 2 माना गया। किसी भी पक्ष के एन-क्यूब के लिए यह होगा:

d = a√n।

-टेसरेक्ट के चार किनारों से जुड़े 16 कोने हैं। निम्नलिखित आंकड़ा दर्शाता है कि कैसे टेस्सेरैक्ट में कोने जुड़े हुए हैं।

चित्र 5. चार-आयामी हाइपरक्यूब के 16 कोने और वे कैसे जुड़े हुए हैं, दिखाया गया है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

एक हाइपरक्यूब की अनफॉल्डिंग

एक नियमित ज्यामितीय आकृति, उदाहरण के लिए एक पॉलीहेड्रॉन, को छोटे आयामीता के कई आंकड़ों में प्रकट किया जा सकता है।

2-क्यूब (एक वर्ग) के मामले में इसे चार खंडों में बांटा जा सकता है, यानी चार 1-क्यूब।

इसी तरह एक 3-क्यूब को छह 2-क्यूब्स में प्रकट किया जा सकता है।

चित्रा 6. एन-क्यूब को कई (एन -1)-क्यूब्स में प्रकट किया जा सकता है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

एक 4-क्यूब (टेसरैक्ट) को आठ 3-क्यूब्स में प्रकट किया जा सकता है।

निम्नलिखित एनीमेशन एक tesseract की खुलासा करता है।

चित्रा 7. एक 4-आयामी हाइपरक्यूब को आठ तीन-आयामी क्यूब्स में प्रकट किया जा सकता है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

चित्रा 8. दो-ऑर्थोगोनल विमानों के चारों ओर एक दोहरा रोटेशन प्रदर्शन करने वाले चार-आयामी हाइपरक्यूब का तीन-आयामी प्रक्षेपण। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

संदर्भ

1. वैज्ञानिक संस्कृति। हाइपरक्यूब, चौथे आयाम की कल्पना। से पुनर्प्राप्त: culturacientifica.com
2. Epsilons। चार आयामी हाइपरक्यूब या टेसरैक्ट। से पुनर्प्राप्त: epsilones.com
3. पेरेज़ आर, एगुइलेरा ए। हाइपरक्यूब (4 डी) के विकास से एक टेसरैक्ट प्राप्त करने का एक तरीका। से पुनर्प्राप्त: researchgate.net
4. विकिबुक्स। गणित, पॉलीहेड्रा, हाइपरक्यूब्स। से पुनर्प्राप्त: es.wikibooks.org
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