गणितीय तर्क: उत्पत्ति, यह क्या अध्ययन करता है, प्रकार - गणित - 2025

गणितीय तर्क या प्रतीकात्मक तर्क एक गणितीय भाषा है कि कवर उपकरण है जिसके माध्यम से एक वाणी या एक गणितीय तर्क से इनकार कर सकते हैं।

यह सर्वविदित है कि गणित में कोई अस्पष्टताएं नहीं हैं। गणितीय तर्क को देखते हुए, यह या तो वैध है या यह बस नहीं है। यह एक ही समय में गलत और सत्य नहीं हो सकता।

गणित का एक विशेष पहलू यह है कि इसकी एक औपचारिक और कठोर भाषा है जिसके द्वारा किसी तर्क की वैधता निर्धारित की जा सकती है। ऐसा क्या है जो एक निश्चित तर्क या किसी गणितीय प्रमाण को अकाट्य बनाता है? यही गणितीय तर्क है।

इस प्रकार, तर्क गणित का अनुशासन है जो गणितीय तर्क और प्रमाणों के अध्ययन के लिए जिम्मेदार है, और पिछले बयानों या प्रस्तावों से सही निष्कर्ष निकालने में सक्षम होने के लिए उपकरण प्रदान करता है।

ऐसा करने के लिए, उपयोग स्वयंसिद्ध और अन्य गणितीय पहलुओं से बना है जिन्हें बाद में विकसित किया जाएगा।

उत्पत्ति और इतिहास

गणितीय तर्क के कई पहलुओं के संबंध में सटीक तिथियाँ अनिश्चित हैं। हालांकि, इस विषय पर अधिकांश ग्रंथ सूची प्राचीन ग्रीस के मूल का पता लगाती है।

अरस्तू

तर्क के कठोर उपचार की शुरुआत, अरस्तू को दी गई है, जिसने तर्क के कार्यों का एक सेट लिखा है, जिसे बाद में मध्य युग तक विभिन्न दार्शनिकों और वैज्ञानिकों द्वारा संकलित और विकसित किया गया था। इसे "पुराना तर्क" माना जा सकता है।

बाद में, जिसे समकालीन युग के रूप में जाना जाता है, लीबनिज ने एक सार्वभौमिक भाषा को गणितीय रूप से स्थापित करने की गहरी इच्छा से स्थानांतरित किया, और अन्य गणितज्ञों जैसे गोटलोब फ्रेज और ग्यूसेप पीनो ने उल्लेखनीय योगदान के साथ गणितीय तर्क के विकास को प्रभावित किया। उनमें से, Peano Axioms, जो प्राकृतिक संख्या के अपरिहार्य गुणों को तैयार करता है।

गणितज्ञ जॉर्ज बोले और जॉर्ज कैंटर भी इस समय काफी प्रभाव में थे, सेट थ्योरी और सत्य तालिकाओं में महत्वपूर्ण योगदान के साथ, अन्य पहलुओं के अलावा, बूलियन बीजगणित (जॉर्ज बोले द्वारा) और पसंद का Axiom (जॉर्ज कैंटर द्वारा)।

प्रसिद्ध मॉर्गन कानूनों के साथ ऑगस्टस डी मॉर्गन भी है, जो कि प्रस्ताव के बीच नकारात्मकता, संयोजन, असमानता और सशर्तता का चिंतन करते हैं, प्रतीकात्मक तर्क के विकास की कुंजी और प्रसिद्ध वेन आरेख के साथ झोन वेन।

20 वीं शताब्दी में, लगभग 1910 और 1913 के बीच, बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड प्रिंसिपिया मैथेमेटिका के अपने प्रकाशन के साथ बाहर खड़े हुए हैं, पुस्तकों का एक सेट है जो एक्सलियम्स और लॉजिक के परिणामों की एक श्रृंखला एकत्र करता है, विकसित करता है और पोस्ट करता है।

गणितीय तर्क क्या अध्ययन करता है?

प्रस्ताव

गणितीय तर्क प्रस्तावों के अध्ययन के साथ शुरू होता है। एक प्रस्ताव एक बयान है जिसे किसी भी अस्पष्टता के बिना कहा जा सकता है अगर यह सच है या नहीं। निम्नलिखित प्रस्ताव के उदाहरण हैं:

• 2 + 4 = 6।
• ५ ^२ = ३५।
• 1930 में यूरोप में भूकंप आया था।

पहला सच बयान है और दूसरा गलत बयान है। तीसरा, भले ही इसे पढ़ने वाला व्यक्ति यह नहीं जानता हो कि यह सच है या तुरंत, एक ऐसा कथन है जिसे वास्तव में परीक्षण किया जा सकता है और निर्धारित किया जा सकता है या नहीं।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति के उदाहरण हैं जो प्रस्ताव नहीं हैं:

• वो गोरी है।
• 2x = 6।
• चलो खेलें!
• क्या आपको फिल्में पसंद हैं

पहले प्रस्ताव में, यह निर्दिष्ट नहीं है कि "वह" कौन है, इसलिए कुछ भी पुष्टि नहीं की जा सकती है। दूसरे प्रस्ताव में, "x" जो दर्शाता है वह निर्दिष्ट नहीं किया गया है। अगर इसके बजाय यह कहा जाता है कि कुछ प्राकृतिक संख्या x के लिए 2x = 6, इस मामले में यह एक प्रस्ताव के अनुरूप होगा, वास्तव में सच है, क्योंकि x = 3 के लिए यह पूरा हो गया है।

अंतिम दो बयान एक प्रस्ताव के अनुरूप नहीं हैं, क्योंकि उन्हें अस्वीकार या पुष्टि करने का कोई तरीका नहीं है।

दो या अधिक प्रस्तावों को अच्छी तरह से ज्ञात तार्किक संयोजकों (या कनेक्टर्स) का उपयोग करके जोड़ा (या जुड़ा हुआ) किया जा सकता है। य़े हैं:

• इनकार: "बारिश नहीं हो रही है।"
• अस्वीकरण: "लुइसा ने एक सफेद या ग्रे बैग खरीदा।"
• संयोजन: "4 ² = 16 और 2 × 5 = 10"।
• सशर्त: "यदि बारिश होती है, तो मैं आज दोपहर को जिम नहीं जा रहा हूं।"
• द्विसंयोजक: "मैं आज दोपहर जिम जाता हूं अगर, और केवल अगर, तो बारिश नहीं होती है।"

एक प्रस्ताव जिसमें पिछले संयोजनों में से कोई भी नहीं है, एक सरल (या परमाणु) प्रस्ताव कहा जाता है। उदाहरण के लिए, "2 4 से कम है" एक सरल प्रस्ताव है। जिन प्रस्तावों में कुछ संयोजी होते हैं, उन्हें यौगिक प्रस्ताव कहा जाता है, जैसे "1 + 3 = 4 और 4 एक सम संख्या।"

प्रस्तावों के माध्यम से किए गए बयान आमतौर पर लंबे होते हैं, इसलिए यह हमेशा थका हुआ है कि उन्हें अब तक देखा गया है। इस कारण से, एक प्रतीकात्मक भाषा का उपयोग किया जाता है। प्रस्तावों को आमतौर पर P, Q, R, S, आदि जैसे बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। और प्रतीकात्मक संयोजक निम्नानुसार हैं:

इसलिए कि

बातचीत एक सशर्त प्रस्ताव के

प्रस्ताव है

और एक प्रस्ताव के प्रति-पारस्परिक (या गर्भनिरोधक)

प्रस्ताव है

सत्य सारणी

तर्क में एक और महत्वपूर्ण अवधारणा सत्य तालिकाओं की है। एक प्रस्ताव के सत्य मूल्य एक प्रस्ताव के लिए दो संभावनाएं हैं: सत्य (जिसे वी द्वारा निरूपित किया जाएगा और यह कहा जाएगा कि इसका सत्य मूल्य वी है) या गलत है (जिसे एफ द्वारा निरूपित किया जाएगा और यह कहा जाएगा कि इसका मूल्य है वास्तव में एफ) है।

एक यौगिक प्रस्ताव का सत्य मूल्य विशेष रूप से इसमें दिखाई देने वाले सरल प्रस्तावों के सत्य मूल्यों पर निर्भर करता है।

आम तौर पर अधिक काम करने के लिए, हम विशिष्ट प्रस्तावों पर विचार नहीं करेंगे, लेकिन प्रस्ताव चर, क्यू, आर, एस, आदि, जो किसी भी प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करेंगे।

इन चरों और तार्किक संयोजकों के साथ, सुविख्यात प्रस्ताव सूत्र बनते हैं, जैसे कि यौगिक प्रस्ताव बनाए जाते हैं।

यदि कोई प्रस्ताव सूत्र में दिखाई देने वाले प्रत्येक चर को एक प्रस्ताव द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो एक यौगिक प्रस्ताव प्राप्त होता है।

नीचे तार्किक संयोजकों की सत्य सारणी दी गई है:

ऐसे प्रपोजल फॉर्मूले हैं जो उनकी सत्य तालिका में केवल मान V प्राप्त करते हैं, अर्थात, उनकी सत्य तालिका के अंतिम कॉलम में केवल V का मान होता है। इस प्रकार के फॉर्मूलों को टेथोलॉजी के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए:

निम्नलिखित सूत्र की सत्य तालिका है

एक सूत्र α को तार्किक रूप से एक और सूत्र ly कहा जाता है, यदि α प्रत्येक बार सत्य है तो true सत्य है। यही है, α और is की सत्य तालिका में, α की एक V, truth भी पंक्तियाँ हैं। β हमारे पास केवल उन पंक्तियों में रुचि है जिनमें α का मान V है। तार्किक निहितार्थ के लिए अंकन इस प्रकार है।:

निम्न तालिका तार्किक निहितार्थ के गुणों को सारांशित करती है:

दो प्रस्तावक सूत्र तार्किक रूप से समतुल्य होने की बात कहते हैं यदि उनकी सत्य तालिकाएँ समान हों। तार्किक संकेतन को व्यक्त करने के लिए निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जाता है:

निम्नलिखित तालिकाओं तार्किक समानता के गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत करती हैं:

गणितीय तर्क के प्रकार

विभिन्न प्रकार के तर्क हैं, खासकर यदि कोई अन्य क्षेत्रों के बीच दर्शन को इंगित करने वाले व्यावहारिक या अनौपचारिक तर्क को ध्यान में रखता है।

जहां तक ​​गणित का सवाल है, तर्क के प्रकारों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

• औपचारिक या अरिस्टोटेलियन तर्क (प्राचीन तर्क)।
• प्रस्तावक तर्क: यह औपचारिक और प्रतीकात्मक भाषा का उपयोग करते हुए तर्कों और प्रस्तावों की वैधता से संबंधित हर चीज के अध्ययन के लिए जिम्मेदार है।
• प्रतीकात्मक तर्क: एक औपचारिक और प्रतीकात्मक भाषा के साथ सेट और उनके गुणों के अध्ययन पर ध्यान केंद्रित किया गया है, और प्रस्तावक तर्क से गहराई से जुड़ा हुआ है।
• संयुक्त तर्क: सबसे हाल ही में विकसित में से एक, जिसमें एल्गोरिदम का उपयोग करके विकसित किए जा सकने वाले परिणाम शामिल हैं।
• तार्किक प्रोग्रामिंग: विभिन्न पैकेज और प्रोग्रामिंग भाषाओं में उपयोग किया जाता है।

क्षेत्रों

अपने तर्क और तर्कों के विकास में एक अपरिहार्य तरीके से गणितीय तर्क का उपयोग करने वाले क्षेत्रों में, दर्शन, सेट सिद्धांत, संख्या सिद्धांत, बीजीय रचनात्मक गणित और प्रोग्रामिंग भाषाएं हैं।

संदर्भ

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