प्रतिपादकों के कानून (उदाहरण और हल किए गए अभ्यास के साथ) - गणित - 2025

घातांक के कानूनों उन है कि है कि संख्या दर्शाती है कि कितनी बार एक आधार नंबर ही से गुणा किया जाना चाहिए करने के लिए आवेदन कर रहे हैं। घातांक को शक्तियों के रूप में भी जाना जाता है। एंपावरमेंट एक आधार (a), एक्सपोनेंट (m) और पावर (b) द्वारा गठित एक गणितीय ऑपरेशन है, जो ऑपरेशन का परिणाम है।

आम तौर पर बहुत बड़ी मात्रा में उपयोग किए जाने पर खर्च किया जाता है, क्योंकि ये संक्षिप्त रूप से अधिक कुछ नहीं हैं जो एक ही संख्या के गुणा को एक निश्चित मात्रा में दर्शाते हैं। प्रतिपादक सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकते हैं।

प्रतिपादकों के कानूनों की व्याख्या

जैसा कि पहले कहा गया है, घातांक एक शॉर्टहैंड रूप है जो कई बार खुद से गुणा संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जहां घातांक केवल बाईं ओर की संख्या से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

उस स्थिति में संख्या 2 शक्ति का आधार है, जिसे आधार के ऊपरी दाएं कोने में स्थित घातांक द्वारा इंगित 3 गुना गुणा किया जाएगा। अभिव्यक्ति को पढ़ने के लिए अलग-अलग तरीके हैं: 2 उठाया 3 या 2 भी घन में उठाया।

घातांक भी इंगित करते हैं कि उन्हें कितनी बार विभाजित किया जा सकता है, और इस ऑपरेशन को गुणा से अलग करने के लिए घातांक के सामने ऋण चिह्न (-) है (यह ऋणात्मक है), जिसका अर्थ है कि घातांक के हर में है अंश। उदाहरण के लिए:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

यह उस मामले में भ्रमित नहीं होना चाहिए जहां आधार नकारात्मक है, क्योंकि यह इस बात पर निर्भर करेगा कि घातांक विषम है या यहां तक ​​कि यह निर्धारित करने के लिए कि शक्ति सकारात्मक होगी या नकारात्मक। तो आपको निम्न करना होगा:

- प्रतिपादक सम है, तो शक्ति सकारात्मक होगी। उदाहरण के लिए:

(- =) ^२ = -7 _* -7 = ४ ९।

- यदि घातांक विषम है, तो शक्ति ऋणात्मक होगी। उदाहरण के लिए:

(- २) ^५ = (-२) * (- २) * (- २) * (- २) * (- २) = - ३२।

एक विशेष मामला है जिसमें यदि घातांक 0 के बराबर है, तो शक्ति 1 के बराबर है। इस बात की भी संभावना है कि आधार 0 है; उस स्थिति में, प्रतिपादक के आधार पर, शक्ति अनिश्चित होगी या नहीं।

एक्सपट्र्स के साथ गणितीय संचालन करने के लिए, कई नियमों या मानदंडों का पालन करना आवश्यक है जो उन ऑपरेशनों का समाधान खोजना आसान बनाते हैं।

पहला नियम: 1 के बराबर घातांक की शक्ति

जब घातांक 1 होता है, तो परिणाम आधार का समान मान होगा: ¹ = a।

उदाहरण

९ ^१ = ९।

२२ ^१ = २२।

895 ¹ = 895।

दूसरा नियम: 0 के बराबर घातांक की शक्ति

जब प्रतिपादक 0 होता है, यदि आधार गैर-शून्य है, तो परिणाम होगा: एक ⁰ = 1।

उदाहरण

१ ^० = १।

३२३ ^० = १।

1095 ⁰ = 1।

तीसरा नियम: नकारात्मक घातांक

चूंकि एक्सपोनेंट ऋणात्मक है, परिणाम एक अंश होगा, जहां शक्ति भाजक होगी। उदाहरण के लिए, यदि मीटर सकारात्मक है, तो एक ^-m = 1 / एक ^मीटर ।

उदाहरण

- 3 ^-1 = 1/3।

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36।

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512।

चौथा नियम: समान आधार वाली शक्तियों का गुणन

उन शक्तियों को गुणा करने के लिए जहाँ आधार 0 से भिन्न और भिन्न होते हैं, आधार बना रहता है और घातांक जोड़ दिए जाते हैं: एक ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} ।

उदाहरण

- ४ ^४ _* ४ ^३ = ४ ^{४ + ३} = ४ ³

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- २ ^२ _* २ ^९ = २ ^{२ + ९} = २ ^११

पाँचवाँ नियम: समान आधार वाली शक्तियों का विभाजन

उन शक्तियों को विभाजित करने के लिए जिनमें आधार 0 के बराबर और भिन्न होते हैं, आधार को रखा जाता है और प्रतिपादक को इस प्रकार घटाया जाता है: एक ^m / ⁿ = ^m-n ।

उदाहरण

- ९ ^२ / ९ ^१ = ९ ^{(२ - १)} = ९ ^१ ।

- 6 ¹⁵ /6 ^{अक्टूबर} = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ ।

- ४ ^{९ दिसंबर} / ४ ^{९ ६} = ४ ९ ^(१२-६) = ४ ^{९ ६} ।

छठा नियम: विभिन्न आधार वाली शक्तियों का गुणन

इस कानून के चौथे में व्यक्त किए गए विपरीत हैं; अर्थात्, यदि आपके पास अलग-अलग आधार हैं, लेकिन समान घातांक के साथ, कुर्सियां ​​गुणा की जाती हैं और प्रतिपादक को रखा जाता है: एक ^m _* b ^m = (a _* b) ^m ।

उदाहरण

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² ।

- ४५ ^११ _* ९ ^११ = (४५ * ९) ^{११ =} ४०५ ^११ ।

इस कानून का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका है जब एक गुणन एक शक्ति के लिए उठाया जाता है। इस प्रकार, प्रतिपादक प्रत्येक पद का होगा: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m ।

उदाहरण

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ ।

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ ।

सातवाँ नियम: विभिन्न आधार वाली शक्तियों का विभाजन

यदि आपके पास अलग-अलग आधार हैं, लेकिन समान घातांक के साथ, आधारों को विभाजित करते हैं और घातांक रखते हैं: एक ^m / b ^m = (a / b) ^m ।

उदाहरण

- ३० ^३ / २ ^३ = (२/३०) ^३ = १५ ^३ ।

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5.5 ⁴ ।

इसी तरह, जब एक विभाजन को एक शक्ति के लिए उठाया जाता है, तो प्रतिपादक प्रत्येक पद में होगा: (a / b) ^m = a ^m / b ^m ।

उदाहरण

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ ।

- (२५/५) ^२ = २५ ^२ / ५ ^२ = ५ ^२ ।

वहाँ मामला है जहां प्रतिपादक नकारात्मक है। फिर, सकारात्मक होने के लिए, अंश का मान हर के साथ उलटा होता है, इस प्रकार है:

- (क / ख) ^-n = (ख / एक) ⁿ = b ⁿ / एक ^एन ।

- (४/५) ^-९ = (५/४) ^९ = ५ ^९ / ४ ^४ ।

आठवाँ नियम: एक शक्ति की शक्ति

जब आपके पास एक ऐसी शक्ति होती है जिसे किसी अन्य शक्ति के लिए उठाया जाता है, तो एक ही समय में दो घातांक होते हैं-, आधार बनाए रखा जाता है और घातांक को गुणा किया जाता है: (a ^m) ⁿ = a ^{m * n} ।

उदाहरण

- () ^३) ^२ = 2 ^{(३ * २)} = 2 ^६ ।

- (13 ⁹) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ ।

- (238 ¹⁰) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ ।

नौवाँ नियम: भिन्नात्मक घातांक

यदि पावर में एक घातांक के रूप में अंश होता है, तो इसे n-th रूट में बदलकर हल किया जाता है, जहां अंश एक घातांक के रूप में रहता है और भाजक मूल के सूचकांक का प्रतिनिधित्व करता है:

उदाहरण

हल किया हुआ व्यायाम

अभ्यास 1

विभिन्न आधारों वाली शक्तियों के बीच संचालन की गणना करें:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² ।

उपाय

घातांक के नियमों को लागू करते हुए, अंशों को गुणक में गुणा किया जाता है और प्रतिपादक को बनाए रखा जाता है, जैसे:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

अब, चूंकि हमारे पास एक ही आधार है, लेकिन विभिन्न घातांक के साथ, आधार रखा जाता है और घातांक घटाया जाता है:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

व्यायाम २

किसी अन्य शक्ति के लिए उठाए गए शक्तियों के बीच संचालन की गणना करें:

(३ ^२) ^३ _* (२ _* ६ ^५) ^-2 _* (२ ^२) ^३

उपाय

कानूनों को लागू करना, आपको निम्न करना होगा:

(३ ^२) ^३ _* (२ _* ६ ^५) ^-2 _* (२ ^२) ^३

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= ३ ^६ _* २ ^-१२ _* २ ^६

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= ३ ^६ _* २ ^६

= (३ _* २) ^६

= ६ ^६

= 46,656

संदर्भ

1. अपोंटे, जी। (1998)। बुनियादी गणित के मूल तत्व। पियर्सन शिक्षा।
2. कोरबालान, एफ। (1997)। गणित ने रोजमर्रा की जिंदगी में लागू किया।
3. जिमेनेज, जेआर (2009)। गणित 1 एसईपी।
4. मैक्स पीटर्स, डब्ल्यूएल (1972)। बीजगणित और त्रिकोणमिति।
5. रीस, पीके (1986)। Reverte।