कम से कम वर्गों की विधि कार्यों के सन्निकटन में सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक है। यह विचार एक वक्र को खोजने के लिए है, जैसे कि ऑर्डर किए गए जोड़े का एक सेट दिया गया है, यह फ़ंक्शन डेटा का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है। फ़ंक्शन एक रेखा, एक द्विघात वक्र, एक क्यूबिक आदि हो सकता है।
विधि के विचार में चयनित फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न बिंदुओं और डेटा सेट से संबंधित बिंदुओं के बीच, ऑर्डिनेट (वाई घटक) में अंतर के वर्गों के योग को कम करना शामिल है।
कम से कम वर्ग विधि
विधि देने से पहले, हमें पहले इस बारे में स्पष्ट होना चाहिए कि "बेहतर दृष्टिकोण" का क्या अर्थ है। मान लीजिए कि हम एक लाइन y = b + mx की तलाश कर रहे हैं, वह वह है जो n अंक के एक सेट का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका नाम {(X1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn)} है।
जैसा कि पिछले आंकड़े में दिखाया गया है, यदि चर x और y, लाइन y = b + mx से संबंधित थे, तो x = X1 के लिए y का संबंधित मान b + mx1 होगा। हालाँकि, यह मान y के वास्तविक मान से अलग है, जो y = y1 है।
याद रखें कि विमान में, दो बिंदुओं के बीच की दूरी निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है:
इसे ध्यान में रखते हुए, लाइन y = b + mx को चुनने के तरीके को निर्धारित करने के लिए जो दिए गए डेटा का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है, यह मानदंड के चयन के लिए एक मापदंड के रूप में उपयोग करने के लिए तर्कसंगत लगता है जो बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्गों का योग कम करता है और सीधे।
चूंकि अंक (X1, y1) और (X1, b + mx1) के बीच की दूरी y1- (b + mx1) है, इसलिए हमारी समस्या संख्या m और b को खोजने के लिए कम कर देती है, ताकि निम्नलिखित योग न्यूनतम हो:
इस स्थिति को पूरा करने वाली रेखा को बिंदुओं (X1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) »के« कम से कम वर्गों की संख्या के रूप में जाना जाता है।
एक बार समस्या प्राप्त हो जाने के बाद, यह केवल सबसे कम वर्गों का पता लगाने के लिए एक विधि का चयन करने के लिए बनी हुई है। यदि अंक (X1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) सभी लाइन y = mx + b पर हों, तो हम चाहेंगे कि वे कोलीनियर y हों:
इस अभिव्यक्ति में:
अंत में, यदि अंक आपस में टकरा नहीं रहे हैं, तो y-Au = 0 और समस्या का अनुवाद एक सदिश u खोजने में किया जा सकता है जैसे कि यूक्लिडियन मानदंड न्यूनतम है।
वेक्टर यू को कम करना उतना मुश्किल नहीं है जितना आप सोच सकते हैं। चूँकि A एक nx2 मैट्रिक्स है और u एक 2 × 1 मैट्रिक्स है, इसलिए हमारे पास वेक्टर Au R n में एक वेक्टर है और A की छवि से संबंधित है, जो R n का एक उप- समूह है जिसका आयाम दो से अधिक नहीं है।
हम उस n = 3 को मानेंगे कि किस प्रक्रिया का पालन करना है। यदि n = 3, A की छवि एक विमान या मूल के माध्यम से एक रेखा होगी।
आज्ञा देना कम से कम वेक्टर हो। जब हम देखते हैं कि चित्र में y-Au कम से कम है जब यह ए की छवि के लिए orthogonal है। अर्थात, यदि v न्यूनतम वेक्टर है, तो ऐसा होता है:
फिर, हम उपरोक्त को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
यह तभी हो सकता है जब:
अंत में, वी के लिए हल करना, हमारे पास है:
ऐसा करना तब से संभव है, जब तक कि t अंक उलटा न हो, क्योंकि A t A उलटा है, जब तक कि डेटा नहीं दिया जाता।
अब, यदि हम एक पंक्ति की तलाश में हैं, तो हम एक परबोला (जिसकी अभिव्यक्ति y = a + bx + cx 2 है) की खोज करना चाहते हैं, जो n डेटा बिंदुओं के लिए एक बेहतर सन्निकटन होगा, इस प्रक्रिया को नीचे वर्णित किया जाएगा।
यदि एन डेटा पॉइंट इस परबोला में होता, तो हमारे पास होता:
फिर:
इसी तरह हम y = Au लिख सकते हैं। यदि सभी बिंदु पेराबोला में नहीं हैं, तो हमारे पास यह है कि y-Au किसी भी वेक्टर यू के लिए शून्य से अलग है और हमारी समस्या फिर से है: R3 में एक वेक्टर यू ढूंढें जैसे कि इसका मानदंड -y-Au-- जितना छोटा हो ।
पिछली प्रक्रिया को दोहराते हुए, हम उस सदिश तक पहुँच सकते हैं जो कि मांगी गई वेक्टर है:
हल किया अभ्यास
अभ्यास 1
उस रेखा का पता लगाएं जो अंक (1,4), (-2,5), (3, -1) और (4,1) को सबसे उपयुक्त मानती है।
उपाय
हमें करना ही होगा:
फिर:
इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि बिंदुओं को सबसे अच्छी तरह से फिट करने वाली रेखा निम्नानुसार है:
व्यायाम २
मान लीजिए कि कोई वस्तु 200 मीटर की ऊंचाई से गिराई गई है। जैसे ही यह गिरता है, निम्नलिखित कदम उठाए जाते हैं:
हम जानते हैं कि उक्त वस्तु की ऊँचाई, एक समय टी बीत जाने के बाद, निम्न द्वारा दी गई है:
यदि हम g का मान प्राप्त करना चाहते हैं, तो हम एक परबोला पा सकते हैं, जो तालिका में दिए गए पाँच बिंदुओं के लिए एक बेहतर सन्निकटन है, और इस प्रकार हमारे पास गुणांक है जो t 2 के साथ है (-1 -2) g तक एक उचित सन्निकटन होगा माप सही हैं।
हमें करना ही होगा:
और बादमें:
तो डेटा बिंदु निम्न द्विघात अभिव्यक्ति द्वारा फिट होते हैं:
तो, आपको निम्न करना होगा:
यह एक मान है जो यथोचित रूप से सही के करीब है, जो कि g = 9.81 m / s 2 है । जी का अधिक सटीक अनुमान प्राप्त करने के लिए, अधिक सटीक टिप्पणियों से शुरू करना आवश्यक होगा।
ये किसके लिये है?
प्राकृतिक या सामाजिक विज्ञान में होने वाली समस्याओं में, कुछ गणितीय अभिव्यक्ति के माध्यम से विभिन्न चर के बीच मौजूद रिश्तों को लिखना सुविधाजनक है।
उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में हम लागत (C), आय (I), और मुनाफे (U) को एक साधारण विवरण से संबंधित कर सकते हैं:
भौतिकी में, हम गुरुत्वाकर्षण के कारण होने वाले त्वरण से संबंधित हो सकते हैं, जिस समय कोई वस्तु गिर रही है, और कानून द्वारा वस्तु की ऊंचाई:
पिछली अभिव्यक्ति में s o उक्त वस्तु की प्रारंभिक ऊंचाई है और v o इसका प्रारंभिक वेग है।
हालाँकि, इन जैसे सूत्र खोजना कोई आसान काम नहीं है; यह आमतौर पर पेशेवर पर निर्भर है कि वह बहुत से डेटा के साथ काम करे और विभिन्न डेटा के बीच संबंधों को खोजने के लिए बार-बार कई प्रयोग करें (यह सत्यापित करने के लिए कि प्राप्त परिणाम स्थिर हैं)।
इसे प्राप्त करने का एक सामान्य तरीका यह है कि एक विमान में प्राप्त आंकड़ों को बिंदुओं के रूप में दर्शाया जाए और एक सतत कार्य की तलाश की जाए जो उन बिंदुओं को आशातीत रूप से अनुमानित करता है।
फ़ंक्शन को खोजने के तरीकों में से एक यह है कि दिए गए डेटा को "सर्वश्रेष्ठ अनुमानित करता है" कम से कम वर्गों की विधि द्वारा है।
इसके अलावा, जैसा कि हमने अभ्यास में भी देखा था, इस पद्धति के लिए धन्यवाद, हम भौतिक स्थिरांक के काफी करीब आ सकते हैं।
संदर्भ
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