यूलर की विधि: इसके लिए क्या है, प्रक्रिया और अभ्यास - गणित - 2025

यूलर विधि सबसे बुनियादी और सरल का एक साधारण अंतर समीकरण के लिए अनुमानित संख्यात्मक समाधान खोजने के लिए प्रयोग किया जाता प्रक्रियाओं है बशर्ते कि प्रारंभिक हालत में जाना जाता है पहले के आदेश,।

एक साधारण अंतर समीकरण (ODE) वह समीकरण है जो अपने डेरिवेटिव के साथ एक एकल स्वतंत्र चर के एक अज्ञात कार्य से संबंधित है।

यूलर की विधि द्वारा क्रमिक सन्निकटन। स्रोत: ओलेग अलेक्जेंड्रोव

यदि समीकरण में प्रकट होने वाला सबसे बड़ा व्युत्पन्न डिग्री एक का है, तो यह पहली डिग्री का एक साधारण अंतर है।

पहली डिग्री का समीकरण लिखने का सबसे सामान्य तरीका है:

x = x ₀

य = य _०

ईलर की विधि क्या है?

यूलर की विधि का विचार X ₀ और X _{f के} बीच के अंतराल में विभेदक समीकरण का एक संख्यात्मक समाधान खोजना है ।

सबसे पहले, अंतराल n + 1 अंक में विवेकाधीन है:

x ₀, x ₁, x ₂, x ₃ …, x _n

जो इस तरह से प्राप्त होते हैं:

x _i = x ₀ + ih

जहां h उप-केंद्रों की चौड़ाई या चरण है:

प्रारंभिक स्थिति के साथ, फिर शुरुआत में व्युत्पन्न जानना संभव है:

y '(x _o) = f (x _o, y _o)

यह व्युत्पन्न बिंदु पर ठीक y (x) के वक्र की स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है:

Ao = (x _o, y _o)

तब फ़ंक्शन y (x) के मान का एक मोटा अनुमान निम्नलिखित बिंदु पर बनाया गया है:

y (x ₁) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

समाधान का अगला अनुमानित बिंदु तब प्राप्त किया गया है, जो इसके अनुरूप होगा:

ए ₁ = (एक्स ₁, वाई ₁)

क्रमिक बिंदुओं को प्राप्त करने के लिए प्रक्रिया को दोहराया जाता है

ए ₂, ए ₃ …, एक्स _एन

शुरुआत में दिखाए गए आंकड़े में, नीला वक्र अंतर समीकरण के सटीक समाधान का प्रतिनिधित्व करता है, और लाल एक यूलर प्रक्रिया द्वारा प्राप्त क्रमिक अंकों का प्रतिनिधित्व करता है।

हल किया अभ्यास

अभ्यास 1

I) अंतर समीकरण होने दें:

प्रारंभिक स्थिति के साथ x = a = 0; और _एक = 1

यूलर की विधि का उपयोग करते हुए, अंतराल को n = 5 भागों में विभाजित करते हुए, समन्वय X = b = 0.5 पर y का अनुमानित समाधान प्राप्त करें।

उपाय

संख्यात्मक परिणाम निम्नानुसार संक्षेप हैं:

जिससे यह निष्कर्ष निकाला गया है कि मूल्य 0.5 के लिए समाधान वाई 1.4851 है।

नोट: स्मैक स्टूडियो, मुफ्त उपयोग के लिए एक मुफ्त कार्यक्रम, का उपयोग गणनाओं को पूरा करने के लिए किया गया है।

व्यायाम २

II) व्यायाम I से अंतर समीकरण के साथ जारी), सटीक समाधान ढूंढें और इसकी तुलना यूलर की विधि द्वारा प्राप्त परिणाम से करें। सटीक और अनुमानित परिणाम के बीच त्रुटि या अंतर का पता लगाएं।

उपाय

सटीक समाधान खोजना बहुत मुश्किल नहीं है। फ़ंक्शन sin (x) के व्युत्पन्न को फ़ंक्शन cos (x) कहा जाता है। इसलिए समाधान y (x) होगा:

y (x) = पाप x + C

प्रारंभिक स्थिति को पूरा करने के लिए और (0) = 1, निरंतर C को 1 के बराबर होना चाहिए। सटीक परिणाम तब अनुमानित एक की तुलना में है:

यह निष्कर्ष निकाला है कि गणना अंतराल में, सन्निकटन में परिशुद्धता के तीन महत्वपूर्ण आंकड़े हैं।

व्यायाम ३

III) अंतर समीकरण और इसकी प्रारंभिक शर्तों पर विचार करें:

y '(x) = - y ²

प्रारंभिक स्थिति के साथ x ₀ = 0; और ₀ = 1

अंतराल x = पर समाधान y (x) के अनुमानित मूल्यों को खोजने के लिए यूलर की विधि का उपयोग करें। चरण h = 0.1 का उपयोग करें।

उपाय

स्प्रेडशीट के साथ उपयोग के लिए यूलर की विधि बहुत उपयुक्त है। इस मामले में हम जियोजेब्रा स्प्रेडशीट का उपयोग करेंगे, एक मुफ्त और ओपन-सोर्स प्रोग्राम।

आकृति में स्प्रेडशीट तीन कॉलम (ए, बी, सी) को दर्शाता है, पहला चर x है, दूसरा कॉलम चर y को दर्शाता है, और तीसरा स्तंभ व्युत्पन्न y है। '

पंक्ति 2 में X, Y, Y 'के प्रारंभिक मूल्य हैं।

मान चरण 0.1 को पूर्ण स्थिति कक्ष ($ D $ 4) में रखा गया है।

Y0 का प्रारंभिक मान सेल B2 में है, और Y1 सेल B3 में है। Y ₁ की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

यह स्प्रेडशीट सूत्र संख्या B3: = B2 + $ D $ 4 * C3 होगा।

इसी तरह y2 सेल B4 में होगा और इसका फॉर्मूला निम्न आकृति में दिखाया गया है:

यह आंकड़ा सटीक समाधान के ग्राफ को भी दिखाता है और यूलर की विधि द्वारा अनुमानित समाधान के A, B,… P को इंगित करता है।

न्यूटोनियन गतिशीलता और यूलर की विधि

आइजैक न्यूटन (1643 - 1727) द्वारा शास्त्रीय गतिशीलता विकसित की गई थी। अपनी विधि विकसित करने के लिए लियोनार्ड यूलर (1707 - 1783) की मूल प्रेरणा, विभिन्न भौतिक स्थितियों में न्यूटन के दूसरे नियम के समीकरण को हल करने के लिए ठीक थी।

न्यूटन के दूसरे कानून को आमतौर पर दूसरी डिग्री के अंतर समीकरण के रूप में व्यक्त किया जाता है:

जहाँ x समय पर किसी वस्तु की स्थिति को दर्शाता है। कहा वस्तु का द्रव्यमान m होता है और बल F के अधीन होता है। फ़ंक्शन एफ बल और द्रव्यमान से संबंधित है:

यूलर की विधि को लागू करने के लिए समय टी, वेग v और स्थिति x के प्रारंभिक मान आवश्यक हैं।

निम्न तालिका बताती है कि प्रारंभिक मान t1, v1, X1 से कैसे शुरू होता है वेग v2 और स्थिति x2 का एक अनुमान तत्काल t2 = t1 + Δt पर प्राप्त किया जा सकता है, जहां representst एक छोटी वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है और विधि के चरण से मेल खाता है। यूलर।

व्यायाम ४

IV) यांत्रिकी में मूलभूत समस्याओं में से एक यह है कि द्रव्यमान का एक खंड लोचदार निरंतर K के एक वसंत (या वसंत) से बंधा होता है।

इस समस्या के लिए न्यूटन का दूसरा कानून इस तरह दिखेगा:

इस उदाहरण में, सरलता के लिए हम M = 1 और K = 1 लेंगे। समय अंतराल पर 12 भागों में विभाजित करके यूलर की विधि द्वारा स्थिति x और वेग v के अनुमानित समाधान प्राप्त करें।

प्रारंभिक 0, प्रारंभिक वेग 0 और प्रारंभिक स्थिति 1 के रूप में 0 लें।

उपाय

संख्यात्मक परिणाम निम्न तालिका में दिखाए गए हैं:

0 और 1.44 के बीच स्थिति और वेग के ग्राफ भी प्रदर्शित किए जाते हैं।

घर के लिए प्रस्तावित अभ्यास

अभ्यास 1

विभेदक समीकरण के लिए यूलर की विधि का उपयोग करके एक अनुमानित समाधान निर्धारित करने के लिए एक स्प्रेडशीट का उपयोग करें:

y '= - Exp (-y) प्रारंभिक शर्तों के साथ x = 0, y = -1 अंतराल x = में

एक 0.1 कदम के साथ शुरू करो। परिणाम को प्लॉट करें।

व्यायाम २

एक स्प्रेडशीट का उपयोग करना, निम्नलिखित द्विघात समीकरण के संख्यात्मक अंक प्राप्त करें, जहां y स्वतंत्र चर टी का एक फ़ंक्शन है।

y '' = - 1 / y² प्रारंभिक स्थिति के साथ t = 0; और (0) = 0.5; y '(0) = 0

0.05 के एक चरण का उपयोग करके अंतराल में समाधान ढूंढें।

परिणाम प्लॉट करें: y बनाम टी; y 'बनाम टी

संदर्भ

1. यूरेलर विधि wikipedia.org से ली गई है
2. यूलर सॉल्वर। En.smath.com से लिया गया