गॉस-सीडेल विधि: स्पष्टीकरण, अनुप्रयोग, उदाहरण - गणित - 2025

गॉस-साइडेल विधि मनमाने ढंग से चुना परिशुद्धता के साथ रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए अनुमानित समाधान ढूँढने के लिए एक सतत प्रक्रिया है। विधि को उनके विकर्णों में गैर-अक्षीय तत्वों के साथ वर्ग मैट्रिक्स पर लागू किया जाता है और यदि मैट्रिक्स तिरछे प्रमुख है तो अभिसरण की गारंटी दी जाती है।

यह कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) द्वारा बनाया गया था, जिन्होंने 1823 में अपने एक छात्र को एक निजी प्रदर्शन दिया था। इसे बाद में 1874 में फिलिप लुडविग वॉन सेडेल (1821-1896) द्वारा औपचारिक रूप से प्रकाशित किया गया था, इसलिए यह नाम दोनों गणितज्ञों के।

चित्रा 1. गॉस-सेडेल विधि समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करने के लिए तेजी से परिवर्तित होती है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

विधि की पूरी समझ के लिए, यह जानना आवश्यक है कि एक मैट्रिक्स तिरछे प्रमुख है जब प्रत्येक पंक्ति के विकर्ण तत्व का पूर्ण मान उसी पंक्ति के अन्य तत्वों के पूर्ण मानों के योग से अधिक या बराबर होता है।

गणितीय रूप से इसे इस तरह व्यक्त किया जाता है:

एक साधारण मामले का उपयोग कर स्पष्टीकरण

यह बताने के लिए कि गॉस-सीडेल विधि क्या है, हम एक साधारण मामला लेंगे, जिसमें एक्स और वाई के मूल्यों को नीचे दिखाए गए रैखिक समीकरणों के 2 × 2 प्रणाली में पाया जा सकता है:

5X + 2Y = 1

एक्स - 4 वाई = 0

अनुसरण करने के लिए कदम

1- पहली जगह में, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या अभिसरण सुरक्षित है। यह तुरंत देखा गया है कि, वास्तव में, यह एक तिरछी वर्चस्व वाली प्रणाली है, क्योंकि पहली पंक्ति में पहली गुणांक में पहली पंक्ति में अन्य की तुलना में अधिक निरपेक्ष मूल्य होता है:

-5 -> - 2-

इसी तरह, दूसरी पंक्ति में दूसरा गुणांक भी तिरछे प्रमुख है:

- 4 -> - 1-

2- चर X और Y साफ़ हो गए हैं:

एक्स = (1 - 2 वाई) / 5

Y = एक्स / 4

3- एक मनमाना प्रारंभिक मूल्य रखा जाता है, जिसे "बीज" कहा जाता है: Xo = 1, I = 2।

4-चलना शुरू होता है: पहला सन्निकटन X1, Y1 प्राप्त करने के लिए, बीज को चरण 2 के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और परिणाम 2 चरण के दूसरे समीकरण में:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- हम समीकरणों की प्रणाली के समाधान के दूसरे सन्निकटन को प्राप्त करने के लिए इसी तरह आगे बढ़ते हैं:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- तीसरा पुनरावृत्ति:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- चौथा पुनरावृत्ति, इस उदाहरण के अंतिम पुनरावृत्ति के रूप में:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

ये मान अन्य रिज़ॉल्यूशन विधियों द्वारा पाए गए समाधान से काफी अच्छी तरह सहमत हैं। पाठक ऑनलाइन गणित कार्यक्रम की सहायता से जल्दी से इसे देख सकते हैं।

विधि का विश्लेषण

जैसा कि देखा जा सकता है, गॉस-सीडेल विधि में, उसी चरण में पिछले चर के लिए प्राप्त अनुमानित मानों को निम्न चर में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। यह इसे अन्य पुनरावृत्तियों से अलग करता है जैसे कि जैकोबी, जिसमें प्रत्येक चरण में पिछले चरण के सन्निकटन की आवश्यकता होती है।

गॉस-सीडेल विधि एक समानांतर प्रक्रिया नहीं है, जबकि गॉस-जॉर्डन विधि है। यह भी कारण है कि गॉस-सीडेल विधि में जॉर्डन विधि की तुलना में कम चरणों में - तेजी से अभिसरण है।

तिरछे प्रमुख मैट्रिक्स स्थिति के लिए, यह हमेशा संतुष्ट नहीं होता है। हालाँकि, ज्यादातर मामलों में मूल प्रणाली से पंक्तियों की अदला-बदली करना शर्त को पूरा करने के लिए पर्याप्त है। इसके अलावा, विधि लगभग हमेशा परिवर्तित होती है, तब भी जब विकर्ण प्रभुत्व शर्त पूरी नहीं होती है।

पिछला परिणाम, गॉस-सेडेल विधि के चार पुनरावृत्तियों द्वारा प्राप्त किया गया, दशमलव रूप में लिखा जा सकता है:

X4 = 0.1826

Y4 = 0.04565

समीकरणों की प्रस्तावित प्रणाली का सटीक समाधान है:

X = 2/11 = 0.1818

वाई = 1/22 = 0.04545।

तो सिर्फ 4 पुनरावृत्तियों के साथ आपको एक हजार परिशुद्धता (0.001) का परिणाम मिलता है।

चित्र 1 बताता है कि क्रमिक पुनरावृत्तियों कैसे तेजी से सटीक समाधान में परिवर्तित होती हैं।

अनुप्रयोग

गॉस-सीडेल विधि केवल रैखिक समीकरणों के 2 × 2 प्रणाली तक सीमित नहीं है। पिछली प्रक्रिया को n अज्ञात के साथ n समीकरणों के एक रैखिक प्रणाली को हल करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे इस तरह से मैट्रिक्स में दर्शाया गया है:

ए एक्स = बी

जहां A एक nxn मैट्रिक्स है, जबकि X n वैरिएबल के वेक्टर n घटक हैं जिनकी गणना की जानी है; और b एक सदिश है जिसमें स्वतंत्र शब्द होते हैं।

एक nxn प्रणाली के लिए चित्रण मामले में लागू पुनरावृत्तियों के क्रम को सामान्य करने के लिए, जिसमें से चर ग्यारह गणना करना चाहता है, निम्नलिखित सूत्र लागू किया जाएगा:

इस समीकरण में:

- k पुनरावृति k में प्राप्त मान का सूचकांक है।

-k + 1 निम्नलिखित में नए मूल्य को इंगित करता है।

पुनरावृत्तियों की अंतिम संख्या तब निर्धारित की जाती है जब पुनरावृति k + 1 में प्राप्त मान पहले से प्राप्त राशि से भिन्न होता है, एक राशि an जो कि सटीक वांछित है।

गॉस-सेडेल विधि के उदाहरण

- उदाहरण 1

एक सामान्य एल्गोरिथ्म लिखें जो समीकरणों के एक रैखिक प्रणाली के अनुमानित समाधान X के वेक्टर की गणना करने की अनुमति देता है, गुणांक ए के मैट्रिक्स को देखते हुए, स्वतंत्र शब्दों के वेक्टर बी, पुनरावृत्तियों की संख्या (i ter) और प्रारंभिक मूल्य या "बीज" "वेक्टर X की ।

उपाय

एल्गोरिथ्म में दो "टू" चक्र शामिल हैं, एक पुनरावृत्तियों की संख्या के लिए और दूसरा चर की संख्या के लिए। यह इस प्रकार होगा:

K ∊ के लिए

मैं ∊ के लिए

X: = (1 / A) * (b - / _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- उदाहरण २

विंडोज़ और एंड्रॉइड के लिए उपलब्ध गणितीय सॉफ़्टवेयर SMath स्टूडियो का उपयोग करने के लिए अपने एप्लिकेशन के माध्यम से पिछले एल्गोरिथम के संचालन की जांच करें। एक उदाहरण के रूप में 2 × 2 मैट्रिक्स का मामला लें जिसने हमें गॉस-सेडेल विधि को चित्रित करने में मदद की।

उपाय

चित्रा 2. एसएमएथ स्टूडियो सॉफ्टवेयर का उपयोग करके 2 x 2 उदाहरण के समीकरणों की प्रणाली का समाधान। स्रोत: एफ। ज़पाटा

- उदाहरण 3

समीकरणों के निम्नलिखित 3 × 3 प्रणाली के लिए गॉस-सेडेल एल्गोरिथ्म लागू करें, जो पहले से इस तरह से आदेश दिया गया है कि विकर्ण के गुणांक प्रमुख हैं (यानी, गुणांक के पूर्ण मानों की तुलना में अधिक निरपेक्ष मूल्य के हैं) एक ही पंक्ति):

9 एक्स 1 + 2 एक्स 2 - एक्स 3 = -2

7 एक्स 1 + 8 एक्स 2 + 5 एक्स 3 = 3

3 एक्स 1 + 4 एक्स 2 - 10 एक्स 3 = 6

एक बीज के रूप में नल वेक्टर का उपयोग करें और पांच पुनरावृत्तियों पर विचार करें। परिणाम पर टिप्पणी करें।

उपाय

चित्रा 3. एसएमथ स्टूडियो का उपयोग करके हल किए गए उदाहरण 3 के समीकरणों की प्रणाली का समाधान। स्रोत: एफ। ज़पाटा

5 के बजाय 10 पुनरावृत्तियों के साथ एक ही प्रणाली के लिए, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं: X1 = -0.485; एक्स 2 = 1.0123; X3 = -0.3406

यह हमें बताता है कि सटीक के तीन दशमलव स्थानों को प्राप्त करने के लिए पांच पुनरावृत्तियां पर्याप्त हैं और यह विधि जल्दी से समाधान में परिवर्तित हो जाती है।

- उदाहरण 4

ऊपर दिए गए गॉस-सीडेल एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, नीचे दिए गए समीकरणों के 4 × 4 प्रणाली का हल खोजें:

10 एक्स 1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 X1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 एक्स 1 - 1 एक्स 2 + 10 एक्स 3 - 1 एक्स 4 = -11

0 एक्स 1 + 3 एक्स 2 - 1 एक्स 3 + 8 एक्स 4 = 15

विधि शुरू करने के लिए, इस बीज का उपयोग करें:

X1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 और x4 = 0

10 पुनरावृत्तियों पर विचार करें और पुनरावृत्ति संख्या 11 की तुलना में परिणाम की त्रुटि का अनुमान लगाएं।

उपाय

चित्रा 4. SMath स्टूडियो का उपयोग करके हल किए गए उदाहरण 4 के समीकरणों की प्रणाली का समाधान। स्रोत: एफ। ज़पाटा

अगले पुनरावृत्ति (संख्या 11) के साथ तुलना करते समय, परिणाम समान होता है। दो पुनरावृत्तियों के बीच सबसे बड़ा अंतर 2 × 10 ^-8 के क्रम पर है, जिसका अर्थ है कि प्रदर्शित समाधान में कम से कम सात दशमलव स्थानों की शुद्धता है।

संदर्भ

1. Iterative समाधान के तरीके। गॉस-साइडेल। से बरामद: cimat.mx
2. संख्यात्मक तरीके। गॉस-साइडेल। से पुनर्प्राप्त: test.cua.uam.mx
3. संख्यात्मक: गॉस-सेडेल विधि। से पुनर्प्राप्त: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. विकिपीडिया। गॉस-सेडेल विधि। से पुनर्प्राप्त: एन। wikipedia.com
5. विकिपीडिया। गॉस-सेडेल विधि। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com