असतत गणित गणित है कि प्राकृतिक संख्याओं के समूह के अध्ययन के लिए जिम्मेदार है के एक क्षेत्र के अनुरूप; अर्थात्, गणनीय परिमित और अनंत संख्याओं का समूह जहां तत्वों को अलग-अलग, एक-एक करके गिना जा सकता है।

इन सेटों को असतत सेट के रूप में जाना जाता है; इन सेटों का एक उदाहरण पूर्णांक, ग्राफ़ या तार्किक अभिव्यक्तियाँ हैं, और वे विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में लागू होते हैं, मुख्य रूप से कंप्यूटर विज्ञान या कंप्यूटिंग में।

विवरण

असतत गणित में प्रक्रियाएँ गिनने योग्य होती हैं, वे पूर्णांकों पर आधारित होती हैं। इसका मतलब है कि दशमलव संख्या का उपयोग नहीं किया जाता है और इसलिए, अन्य क्षेत्रों की तरह, सन्निकटन या सीमा का उपयोग नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अज्ञात 5 या 6 के बराबर हो सकता है, लेकिन कभी 4.99 या 5.9 नहीं।

दूसरी ओर, ग्राफिक प्रतिनिधित्व में चर असतत होंगे और बिंदुओं के एक निश्चित सेट से दिए गए हैं, जिन्हें एक-एक करके गिना जाता है, जैसा कि छवि में दिखाया गया है:

अलग-अलग क्षेत्रों में इसे लागू करने के लिए एक सटीक अध्ययन प्राप्त करने और परीक्षण करने की आवश्यकता से असतत गणित उत्पन्न होता है।

असतत गणित किसके लिए है?

कई क्षेत्रों में असतत गणित का उपयोग किया जाता है। इनमें से मुख्य निम्नलिखित हैं:

मिश्रित

उन परिमाणों का अध्ययन करें जहां तत्वों का आदेश दिया जा सकता है या संयुक्त और गिना जा सकता है।

असतत वितरण सिद्धांत

उन घटनाओं का अध्ययन करता है जो उन स्थानों पर होती हैं जहाँ नमूने गिनने योग्य हो सकते हैं, जिसमें निरंतर वितरण का उपयोग असतत असतत वितरण, या दूसरे तरीके से किया जाता है।

सूचना सिद्धांत

यह सूचना के एन्कोडिंग, डेटा के डिजाइन और ट्रांसमिशन और भंडारण के लिए उपयोग किया जाता है, जैसे एनालॉग सिग्नल।

कम्प्यूटिंग

असतत गणित के माध्यम से, एल्गोरिदम का उपयोग करके समस्याओं को हल किया जाता है, साथ ही साथ क्या गणना की जा सकती है और इसे करने में लगने वाला समय (जटिलता)।

इस क्षेत्र में असतत गणित का महत्व हाल के दशकों में बढ़ा है, खासकर प्रोग्रामिंग भाषाओं और सॉफ्टवेयर के विकास के लिए।

क्रिप्टोग्राफी

यह सुरक्षा संरचनाओं या एन्क्रिप्शन विधियों को बनाने के लिए असतत गणित पर निर्भर करता है। इस एप्लिकेशन का एक उदाहरण पासवर्ड है, बिट्स को अलग से जानकारी भेजना।

पूर्णांक और अभाज्य संख्याओं (संख्याओं का सिद्धांत) के गुणों के अध्ययन के माध्यम से इन सुरक्षा विधियों को बनाया या नष्ट किया जा सकता है।

तर्क

असतत संरचनाएं, जो आम तौर पर एक परिमित सेट बनाती हैं, का उपयोग प्रमेयों को साबित करने के लिए किया जाता है या, उदाहरण के लिए, सॉफ़्टवेयर को सत्यापित करें।

ग्राफ सिद्धांत

यह तार्किक समस्याओं के समाधान की अनुमति देता है, जो नोड्स और रेखाओं का उपयोग करता है जो एक प्रकार का ग्राफ बनाते हैं, जैसा कि निम्नलिखित छवि में दिखाया गया है:

गणित में अलग-अलग सेट होते हैं जो अपनी विशेषताओं के अनुसार कुछ संख्याओं को समूह बनाते हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, हमारे पास:

- प्राकृतिक संख्याओं का सेट N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… +।}।

- पूर्णांक E = {-∞…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… + ∞} का सेट।

- परिमेय संख्याओं की सबसेट Q * = {-set…, - ational, - 0, 0, ational, ational,… ½}।

- वास्तविक संख्याओं का सेट R = {-∞…, - R, -1, 0, R, 1,… ∞}।

सेट को वर्णमाला के अपरकेस अक्षरों के साथ नाम दिया गया है; जबकि तत्वों को लोअरकेस अक्षरों में, ब्रेसिज़ के अंदर ({}) और कॉमा (,) द्वारा अलग किया जाता है। वे आम तौर पर वेन और कैरोल जैसे आरेखों में प्रतिनिधित्व करते हैं, साथ ही साथ कम्प्यूटेशनल रूप से भी।

बुनियादी संचालन जैसे कि संघ, चौराहे, पूरक, अंतर और कार्टेशियन उत्पाद के साथ, सेट और उनके तत्वों को सदस्यता संबंध के आधार पर नियंत्रित किया जाता है।

कई प्रकार के सेट हैं, असतत गणित में सबसे अधिक अध्ययन निम्नलिखित हैं:

परिमित सेट

यह एक है जिसमें तत्वों की एक सीमित संख्या होती है और यह एक प्राकृतिक संख्या से मेल खाती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, ए = {1, 2, 3,4} एक परिमित सेट है जिसमें 4 तत्व हैं।

अनंत लेखा सेट

यह एक है जिसमें एक सेट के तत्वों और प्राकृतिक संख्याओं के बीच एक पत्राचार है; यह कहना है, एक तत्व से एक सेट के सभी तत्वों को क्रमिक रूप से सूचीबद्ध किया जा सकता है।

इस तरह, प्रत्येक तत्व प्राकृतिक संख्याओं के सेट के प्रत्येक तत्व के अनुरूप होगा। उदाहरण के लिए:

पूर्णांक Z = {… -2, -1, 0, 1, 2…} के सेट को Z = {0, 1, -1, 2, -2…} के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है। इस तरह Z और प्राकृतिक संख्या के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार करना संभव है, जैसा कि निम्नलिखित छवि में देखा जा सकता है: