व्युत्क्रम मैट्रिक्स: गणना और हल किए गए व्यायाम - गणित - 2025

उलटा मैट्रिक्स एक दिया मैट्रिक्स के मैट्रिक्स है कि मूल से गुणा पहचान मैट्रिक्स देता है। उलटा मैट्रिक्स रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए उपयोगी है, इसलिए यह जानने का महत्व है कि इसकी गणना कैसे करें।

मैट्रिक भौतिकी, इंजीनियरिंग और गणित में बहुत उपयोगी हैं, क्योंकि वे जटिल समस्याओं को हल करने के लिए एक कॉम्पैक्ट उपकरण हैं। जब वे औंधा होते हैं तो मैट्रिस की उपयोगिता बढ़ जाती है और उनका विलोम भी ज्ञात होता है।

चित्र 1. एक सामान्य 2 × 2 मैट्रिक्स और इसका व्युत्क्रम मैट्रिक्स दिखाया गया है। (रिकार्डो पेरेज़ द्वारा तैयार)

ग्राफिक प्रोसेसिंग, बिग डेटा, डेटा माइनिंग, मशीन लर्निंग और अन्य के क्षेत्रों में, हजारों या लाखों के क्रम में बहुत बड़े n के साथ nxn मैट्रिक्स के व्युत्क्रम मैट्रिक्स का मूल्यांकन करने के लिए कुशल और तेज़ एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संभालने में व्युत्क्रम मैट्रिक्स के उपयोग को स्पष्ट करने के लिए, हम सभी के सबसे सरल मामले के साथ शुरू करेंगे: 1 × 1 मैट्रिक्स।

सबसे सरल मामला: एकल चर का एक रेखीय समीकरण माना जाता है: 2 x = 10।

विचार एक्स के मूल्य को खोजने के लिए है, लेकिन यह "मैट्रिक्स" किया जाएगा।

मैट्रिक्स M = (2) जो वेक्टर को गुणा करता है (x) एक 1 × 1 मैट्रिक्स है जिसका परिणाम वेक्टर (10) में होता है:

M (x) = (10)

मैट्रिक्स M का व्युत्क्रम M ^-1 द्वारा निरूपित किया जाता है ।

इस "रैखिक प्रणाली" को लिखने का सामान्य तरीका है:

एमएक्स = बी, जहां एक्स वेक्टर है (एक्स) और बी वेक्टर है (10)।

परिभाषा के अनुसार, व्युत्क्रम मैट्रिक्स वह है जिसे मूल मैट्रिक्स द्वारा गुणा किया जाता है, जिससे पहचान मैट्रिक्स I:

एम ^-1 एम = आई

मामला माना जाता में, मैट्रिक्स एम ^-1 मैट्रिक्स (आधा), है कि, एम है ^-1 = (आधा) एम के बाद से ^-1 एम = (आधा) (2) = (1) = मैं

प्रस्तावित समीकरण में अज्ञात वेक्टर X = (x) को खोजने के लिए, दोनों सदस्यों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है:

एम ^-1 एम (एक्स) = एम ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (() (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

दो वैक्टरों की एक समानता हो गई है, जो केवल तब होते हैं जब उनके संबंधित तत्व समान होते हैं, अर्थात x = 5।

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करना

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना को प्रेरित करने के लिए रेखीय प्रणालियों के समाधान के लिए एक सार्वभौमिक विधि खोजना आवश्यक है जैसे कि निम्नलिखित 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

पिछले अनुभाग में अध्ययन किए गए 1 × 1 मामले के चरणों के बाद, हम मैट्रिक्स रूप में समीकरणों की प्रणाली लिखते हैं:

चित्रा 2. मैट्रिक्स रूप में रैखिक प्रणाली।

ध्यान दें कि इस प्रणाली को कॉम्पैक्ट वेक्टर नोटेशन में लिखा गया है:

एमएक्स = बी

कहाँ पे

अगला कदम एम का विलोम खोजना है।

विधि 1: गाऊसी उन्मूलन का उपयोग करना

गाऊसी उन्मूलन विधि को लागू किया जाएगा। जिनमें मैट्रिक्स की तर्ज पर प्राथमिक ऑपरेशन करना शामिल है, ये ऑपरेशन निम्न हैं:

- एक गैर-शून्य संख्या से एक पंक्ति को गुणा करें।

- एक पंक्ति से किसी दूसरी पंक्ति को जोड़ना या घटाना, या किसी अन्य पंक्ति के एकाधिक को जोड़ना।

- पंक्तियों को स्वैप करें।

इसका उद्देश्य इन ऑपरेशनों के माध्यम से मूल मैट्रिक्स को पहचान मैट्रिक्स में परिवर्तित करना है।

जैसा कि यह किया जाता है, मैट्रिक्स एम में बिल्कुल वैसा ही संचालन पहचान मैट्रिक्स पर लागू होता है। जब, पंक्तियों पर कई ऑपरेशन के बाद, M को इकाई मैट्रिक्स में बदल दिया जाता है, तो मूल रूप से इकाई इकाई M का व्युत्क्रम मैट्रिक्स बन जाएगी, अर्थात M ^-1 ।

1- हम मैट्रिक्स को लिखकर प्रक्रिया शुरू करते हैं और उसके आगे इकाई मैट्रिक्स:

2- हम दो पंक्तियों को जोड़ते हैं और हम दूसरी पंक्ति में परिणाम डालते हैं, इस तरह हम दूसरी पंक्ति के पहले तत्व में एक शून्य प्राप्त करते हैं:

3- दूसरी पंक्ति में 0 और 1 प्राप्त करने के लिए हम दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करते हैं:

4- पहली पंक्ति को mult से गुणा किया जाता है:

5- दूसरा और पहला जोड़ा जाता है और परिणाम को पहली पंक्ति में रखा जाता है:

6- अब इस प्रक्रिया को पूरा करने के लिए, पहली पंक्ति को 2 से गुणा करके पहली पंक्ति में पहचान मैट्रिक्स और दूसरी में मूल मैट्रिक्स M के व्युत्क्रम मैट्रिक्स को प्राप्त करने के लिए गुणा किया जाता है:

यानी:

सिस्टम समाधान

एक बार व्युत्क्रम मैट्रिक्स प्राप्त होने के बाद, कॉम्पैक्ट वेक्टर समीकरण के दोनों सदस्यों में व्युत्क्रम मैट्रिक्स को लागू करके समीकरणों की प्रणाली को हल किया जाता है:

एम ^-1 एम एक्स = एम ^-1 बी

एक्स = एम ^-1 बी

जो स्पष्ट रूप से इस तरह दिखता है:

फिर मैट्रिक्स एक्स को वेक्टर एक्स प्राप्त करने के लिए किया जाता है:

विधि 2: संलग्न मैट्रिक्स का उपयोग करना

इस दूसरी विधि में व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना मूल मैट्रिक्स A के निकटवर्ती मैट्रिक्स से की जाती है ।

मान लीजिए कि मैट्रिक्स A द्वारा दिया गया है:

जहाँ _{i, j} पंक्ति i में तत्व है और मैट्रिक्स A का कॉलम j है ।

मैट्रिक्स A के निकटवर्ती को Adj (A) कहा जाएगा और इसके तत्व हैं:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)},Ai, ^{j (}

जहां ऐ, जे पूरक कम मैट्रिक्स पंक्ति मैं और मूल मैट्रिक्स के कॉलम j को नष्ट करने के द्वारा प्राप्त किया है एक । सलाखों is that से पता चलता है कि निर्धारक की गणना की जाती है , अर्थात, ¦Ai, j¦ लघु पूरक मैट्रिक्स का निर्धारक है।

उलटा मैट्रिक्स सूत्र

मूल मैट्रिक्स के निकटवर्ती मैट्रिक्स से शुरू होने वाले व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का सूत्र इस प्रकार है:

, है के व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक, एक ^-1, के adjoint की पक्षांतरित है एक की निर्धारक से विभाजित एक ।

एक मैट्रिक्स A का स्थानान्तरण A ^T स्तंभों के लिए पंक्तियों का आदान-प्रदान करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात पहली पंक्ति पहली कॉलम बन जाती है और दूसरी पंक्ति दूसरी कॉलम बन जाती है और इसी तरह जब तक कि मूल मैट्रिक्स की n पंक्तियाँ पूरी नहीं हो जातीं।

व्यायाम हल किया

मैट्रिक्स ए को निम्नलिखित होने दें:

A के निकटवर्ती मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व की गणना की जाती है: Adj (A)

इसके परिणामस्वरूप A, Adj (A) का निकटवर्ती मैट्रिक्स निम्नलिखित है:

फिर मैट्रिक्स A, det (A) के निर्धारक की गणना की जाती है:

अंत में A का व्युत्क्रम मैट्रिक्स प्राप्त होता है:

संदर्भ

1. एंथोनी निकोलायड्स (1994) निर्धारक और मेट्रिसेस। प्रकाशन पारित करें।
2. अओल एसेन (2013) ए स्टडी ऑन दि कंपिनटेशन ऑफ द 3 के 3 × 3
3. कैस्टलेइरो विल्ल्बा एम (2004) रैखिक बीजगणित का परिचय। ईएसआईसी संपादकीय।
4. डेव किर्कबी (2004) मैथ्स कनेक्ट। हिनेमैन।
5. जेनी ओलिव (1998) मैथ्स: ए स्टूडेंटस सर्वाइवल गाइड। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस।
6. रिचर्ड जे। ब्राउन (2012) 30-सेकंड मैथ्स: द 50 मोस्ट माइंड-एक्सपैंडिंग थ्योरीज़ इन मैथमेटिक्स। आइवी प्रेस लिमिटेड।
7. आव्यूह। लैप लैंबर्ट अकादमिक प्रकाशन।