जब पहचान मैट्रिक्स में इसके स्थानान्तरण परिणाम से गुणा किया जाता है, तो एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स होता है। यदि मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ट्रांसपोज़ के बराबर है तो मूल मैट्रिक्स ऑर्थोगोनल है।
ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस की विशेषता है कि पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर है। इसके अलावा, पंक्ति वैक्टर इकाई ऑर्थोगोनल वैक्टर हैं और संक्रमण पंक्ति वैक्टर भी हैं।
चित्रा 1. ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का उदाहरण और यह ज्यामितीय वस्तुओं को कैसे बदलता है। (रिकार्डो पेरेज़ द्वारा तैयार)
जब एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स एक वेक्टर अंतरिक्ष के वैक्टर से गुणा किया जाता है, तो यह एक आइसोमेट्रिक ट्रांसफॉर्मेशन पैदा करता है, यानी एक ऐसा ट्रांसफ़ॉर्मेशन जो दूरियों को नहीं बदलता है और कोणों को संरक्षित करता है।
ऑर्थोगोनल मैट्रिस का एक विशिष्ट प्रतिनिधि रोटेशन मैट्रिसेस हैं। सदिश स्थान पर ऑर्थोगोनल मैट्रिस के रूपांतरण को ऑर्थोगोनल ट्रांसफॉर्मेशन कहा जाता है।
उनके कार्टेसियन वैक्टर द्वारा दर्शाए गए बिंदुओं के रोटेशन और प्रतिबिंब का ज्यामितीय रूपांतरण, मूल वैक्टर पर ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस को लागू करने के लिए किया जाता है, जो कि रूपांतरित वैक्टर के निर्देशांक प्राप्त करते हैं। यह इस कारण से है कि कंप्यूटर ग्राफिक्स प्रसंस्करण में ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
गुण
एक मैट्रिक्स एम ऑर्थोगोनल है यदि इसके ट्रांसप्लांट एम टी से गुणा किया जाता है, तो पहचान मैट्रिक्स I के परिणामस्वरूप होती है । इसी प्रकार, मूल मैट्रिक्स द्वारा ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के संक्रमण के उत्पाद का परिणाम पहचान मैट्रिक्स में होता है:
एमएम टी = एम टी एम = मैं
पिछले कथन के परिणाम के रूप में, हमारे पास यह है कि ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का संक्रमण इसके व्युत्क्रम मैट्रिक्स के बराबर है:
एम टी = एम -1 ।
आयाम nxn के ऑर्थोगोनल मेट्रिक्स का सेट ऑर्थोगोनल समूह O (n) का निर्माण करता है। और निर्धारक +1 के साथ ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस के O (n) का उपसमूह एकात्मक स्पेशल मैट्रिस एसयू (n) के समूह का निर्माण करता है। समूह SU (n) के मेट्रिसेस वे मेट्रिसेस हैं जो रोटेशन के रैखिक परिवर्तनों का उत्पादन करते हैं, जिन्हें रोटेशन के समूह के रूप में भी जाना जाता है।
प्रदर्शन
हम यह दिखाना चाहते हैं कि एक मैट्रिक्स ऑर्थोगोनल है अगर, और केवल अगर, पंक्ति वैक्टर (या स्तंभ वैक्टर) एक दूसरे के लिए और मानक 1 के ऑर्थोगोनल हैं।
मान लीजिए कि एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स nxn की पंक्तियाँ n n के आयामों के orthonormal वैक्टर हैं। यदि इसे v 1 , v 2 ,…।, V n से n वैक्टर तक निरूपित किया जाता है:
जहां यह स्पष्ट होता है कि वास्तव में पंक्ति वैक्टर का सेट एक मानक ओर्थोगोनल वैक्टर का एक समूह है।
उदाहरण
उदाहरण 1
दिखाएँ कि 2 x 2 मैट्रिक्स कि इसकी पहली पंक्ति में वेक्टर v1 = (-1 0) है और इसकी दूसरी पंक्ति में वेक्टर v2 = (0 1) एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है।
समाधान: मैट्रिक्स M का निर्माण किया जाता है और इसके स्थानान्तरण M T की गणना की जाती है:
इस उदाहरण में, मैट्रिक्स M स्व-प्रतिरोपित है, अर्थात, मैट्रिक्स और इसका स्थानांतरण समान हैं। गुणा एम इसकी पक्षांतरित द्वारा एम टी:
यह सत्यापित है कि MM T पहचान मैट्रिक्स के बराबर है:
जब मैट्रिक्स M एक वेक्टर या बिंदु के निर्देशांक से गुणा किया जाता है, तो नए निर्देशांक प्राप्त होते हैं जो मैट्रिक्स या बिंदु पर मैट्रिक्स के परिवर्तन के अनुरूप होते हैं।
चित्रा 1 से पता चलता है कि कैसे एम वेक्टर बदल देती यू में यू ' और यह भी कि कैसे एम लाल बहुभुज में नीले बहुभुज बदल देती है। चूंकि एम ऑर्थोगोनल है, इसलिए यह एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन है, जो दूरियों और कोणों को संरक्षित करता है।
उदाहरण 2
मान लें कि आपके पास निम्न एक्सप्रेशन द्वारा दिए गए रियल में परिभाषित 2 x 2 मैट्रिक्स है:
एक, बी, सी और डी के वास्तविक मूल्यों का पता लगाएं कि मैट्रिक्स एम एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है।
समाधान: परिभाषा के अनुसार, एक मैट्रिक्स ऑर्थोगोनल है यदि इसके पारगमन द्वारा गुणा किया जाता है तो पहचान मैट्रिक्स प्राप्त होता है। यह याद रखना कि ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को मूल से प्राप्त किया जाता है, स्तंभों के लिए पंक्तियों का आदान-प्रदान किया जाता है, निम्नलिखित समानता प्राप्त की जाती है:
मैट्रिक्स गुणन हम कर रहे हैं:
बाएं मैट्रिक्स के तत्वों को दाईं ओर पहचान मैट्रिक्स के तत्वों के साथ बराबर करते हुए, हम चार समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं जिसमें चार अज्ञात ए, बी, सी और डी हैं।
हम त्रिकोणमितीय अनुपात साइन और कोसाइन के संदर्भ में निम्नलिखित भावों के लिए a, b, c और d प्रस्तावित करते हैं:
इस प्रस्ताव के साथ और मौलिक त्रिकोणमितीय पहचान के कारण, पहले और तीसरे समीकरण स्वचालित रूप से मैट्रिक्स तत्वों की समानता में संतुष्ट हैं। तीसरे और चौथे समीकरण समान हैं और मैट्रिक्स समानता में प्रस्तावित मूल्यों के प्रतिस्थापन के बाद यह इस तरह दिखता है:
जो निम्नलिखित समाधान की ओर जाता है:
अंत में निम्नलिखित समाधान ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स एम के लिए प्राप्त किए जाते हैं:
ध्यान दें कि पहले समाधान में निर्धारक +1 है, इसलिए यह समूह SU (2) से संबंधित है, जबकि दूसरे समाधान में निर्धारक -1 है और इसलिए इस समूह से संबंधित नहीं है।
उदाहरण 3
निम्नलिखित मैट्रिक्स को देखते हुए, a और b का मान ज्ञात करें ताकि हमारे पास एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स हो।
समाधान: किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए ओर्थोगोनल होने के लिए, इसके संक्रमण के साथ उत्पाद पहचान मैट्रिक्स होना चाहिए। फिर, इसके ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के साथ दिए गए मैट्रिक्स का मैट्रिक्स उत्पाद किया जाता है, जो निम्न परिणाम देता है:
अगला, परिणाम 3 x 3 पहचान मैट्रिक्स के साथ समान है:
दूसरी पंक्ति में, तीसरे कॉलम में (ab = 0) है, लेकिन शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि अन्यथा दूसरी पंक्ति और दूसरे कॉलम के तत्वों की समानता पूरी नहीं होगी। फिर जरूरी बी = ०। हमारे पास 0 के मूल्य के लिए प्रतिस्थापन बी:
फिर समीकरण हल किया जाता है: 2a ^ 2 = 1, जिसका समाधान हैं: + and2 और-is2।
निम्न के लिए सकारात्मक समाधान लेते हुए, निम्न ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स प्राप्त किया जाता है:
पाठक आसानी से यह सत्यापित कर सकता है कि पंक्ति वैक्टर (और कॉलम वैक्टर भी) ऑर्थोगोनल और एकात्मक हैं, अर्थात ऑर्थोनॉमिक।
उदाहरण 4
दिखाएँ कि मैट्रिक्स A जिनकी पंक्ति वैक्टर v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) और v3 = (0 0 -1) एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। इसके अतिरिक्त वैक्टर को कैनोनिकल आधार i, j, k से लेकर वैक्टर u1, u2 और u3 में रूपांतरित किया जाता है ।
समाधान: यह याद रखना चाहिए कि मैट्रिक्स का तत्व (i, j) इसके पारगमन से कई गुना अधिक होता है, यह हस्तांतरण के स्तंभ (j) के द्वारा पंक्ति (i) के वेक्टर का स्केलर उत्पाद है। इसके अलावा, यह उत्पाद इस मामले में क्रोनकर डेल्टा के बराबर है कि मैट्रिक्स ऑर्थोगोनल है:
हमारे मामले में यह इस तरह दिखता है:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
जिसके साथ यह दिखाया गया है कि यह एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है।
इसके अलावा u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) और अंत में u3 = A k = (0, 0, -1)
संदर्भ
- एंथोनी निकोलायड्स (1994) निर्धारक और मेट्रिसेस। प्रकाशन पारित करें।
- बिरखॉफ और मैकलेन। (1980)। आधुनिक बीजगणित, संस्करण। विसेंस-वाइव्स, मैड्रिड।
- कैस्टलेइरो विल्ल्बा एम (2004) रैखिक बीजगणित का परिचय। ईएसआईसी संपादकीय।
- डेव किर्कबी (2004) मैथ्स कनेक्ट। हिनेमैन।
- जेनी ओलिव (1998) मैथ्स: ए स्टूडेंटस सर्वाइवल गाइड। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस।
- रिचर्ड जे। ब्राउन (2012) 30-सेकंड मैथ्स: द 50 मोस्ट माइंड-एक्सपैंडिंग थ्योरीज़ इन मैथमेटिक्स। आइवी प्रेस लिमिटेड।
- विकिपीडिया। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com
- विकिपीडिया। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.com