यूलर नंबर या ई नंबर: यह कितना मूल्य, गुण, अनुप्रयोग है - गणित - 2025

यूलर नंबर या वह नंबर ई एक प्रसिद्ध गणितीय स्थिरांक अनेक वैज्ञानिक और आर्थिक अनुप्रयोगों में अक्सर दिखाई देने वाले नंबर π और गणित में अन्य महत्वपूर्ण संख्या के साथ है।

एक वैज्ञानिक कैलकुलेटर नंबर ई के लिए निम्न मान लौटाता है:

चित्र 1. विज्ञान में यूलर की संख्या अक्सर दिखाई देती है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

e = 2.718281828…

लेकिन कई और दशमलवों को जाना जाता है, उदाहरण के लिए:

e = 2.71828182845904523536…

और आधुनिक कंप्यूटरों ने संख्या ई के लिए दसियों दशमलव स्थान पाए हैं।

यह एक अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि इसमें बिना किसी दोहराव पैटर्न के दशमलव स्थानों की अनंत संख्या है (अनुक्रम 1828 शुरुआत में दो बार दिखाई देता है और अब दोहराया नहीं जाता है)।

और इसका मतलब यह भी है कि नंबर ई को दो पूरी संख्याओं के भागफल के रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

इतिहास

संख्या ई को वैज्ञानिक जैक्स बर्नौली द्वारा 1683 में पहचाना गया था जब वह चक्रवृद्धि ब्याज की समस्या का अध्ययन कर रहा था, लेकिन पहले यह स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर के कार्यों में अप्रत्यक्ष रूप से दिखाई दिया था, जिन्होंने 1618 के आसपास लॉगरिदम का आविष्कार किया था।

हालांकि, यह 1727 में लियोनहार्ड यूलर था जिसने इसे नाम संख्या ई दिया और इसके गुणों का गहन अध्ययन किया। यही कारण है कि इसे यूलर संख्या के रूप में भी जाना जाता है और वर्तमान में उपयोग किए जाने वाले प्राकृतिक लघुगणक (एक घातांक) के लिए एक प्राकृतिक आधार के रूप में भी जाना जाता है।

नंबर ई मूल्य कितना है?

संख्या ई लायक है:

e = 2.71828182845904523536…

दीर्घवृत्त का मतलब है कि दशमलव स्थानों की एक अनंत संख्या है और वास्तव में, आज के कंप्यूटरों के साथ, उनमें से लाखों ज्ञात हैं।

संख्या का प्रतिनिधित्व ई

ई परिभाषित करने के कई तरीके हैं जिनका हम नीचे वर्णन करते हैं:

एक सीमा के रूप में संख्या ई

ई-संख्या को व्यक्त करने के विभिन्न तरीकों में से एक वैज्ञानिक बर्नौली ने यौगिक कार्यों पर अपने कामों में पाया है:

जिसमे आपको value n को बहुत बड़ी संख्या में बनाना है।

कैलकुलेटर की मदद से जांचना आसान है, कि जब n बहुत बड़ा होता है, तो पिछली अभिव्यक्ति ऊपर दिए गए ई के मूल्य पर टिक जाती है।

बेशक हम अपने आप से पूछ सकते हैं कि कितना बड़ा एन बनाया जा सकता है, तो आइए उदाहरण के लिए, इनकी तरह गोल संख्याएँ आज़माएँ:

n = 1000; 10,000 या 100,000

पहले मामले में हम ई = 2.7169239… प्राप्त करते हैं। दूसरे ई में = 2.7181459… और तीसरे में यह ई: 2.7182682 के मूल्य के बहुत करीब है। हम पहले से ही कल्पना कर सकते हैं कि n = 1,000,000 या बड़े के साथ, सन्निकटन और भी बेहतर होगा।

गणितीय भाषा में, n को बहुत बड़े मान के करीब बनाने की प्रक्रिया को अनंतता की सीमा कहा जाता है और इसे इस तरह दर्शाया जाता है:

अनंत को निरूपित करने के लिए प्रतीक "∞" का उपयोग किया जाता है।

योग के रूप में संख्या ई

इस ऑपरेशन के माध्यम से संख्या ई को परिभाषित करना भी संभव है:

आंकड़े जो हर में दिखाई देते हैं: 1, 2, 6, 24, 120… ऑपरेशन के अनुरूप हैं n!, जहां:

और परिभाषा से ०! = 1।

यह जांचना आसान है कि जितने अधिक जोड़ जोड़े गए हैं, उतनी ही संख्या ई तक पहुंचती है।

आइए कैलकुलेटर के साथ कुछ परीक्षण करते हैं, अधिक से अधिक जोड़ जोड़ते हैं:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

योग में जितने अधिक शब्द जोड़े जाते हैं, परिणाम उतना ही अधिक होता है।

गणितज्ञों ने इन प्रतीकों के लिए एक संक्षिप्त संकेतन तैयार किया है, जिसमें कई शब्द शामिल हैं, जो कि सम्‍मिलन प्रतीक का उपयोग करते हैं:

इस अभिव्यक्ति को "एन = 0 से अनंत के बीच 1 के अनंत तक" योग के रूप में पढ़ा जाता है।

ज्यामितीय दृष्टिकोण से संख्या ई

संख्या ई में वक्र के ग्राफ के तहत क्षेत्र से संबंधित एक चित्रमय प्रतिनिधित्व है:

y = 1 / x

जब x का मान 1 और e के बीच होता है, तो यह क्षेत्र 1 के बराबर होता है, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है:

चित्रा 2. संख्या ई का ग्राफिक प्रतिनिधित्व: 1 / x वक्र के नीचे का क्षेत्र, x = 1 और x = e के बीच का मूल्य 1 है। स्रोत: F. Zapata

संख्या ई के गुण

संख्या ई के कुछ गुण हैं:

-यह तर्कहीन है, दूसरे शब्दों में, इसे केवल दो संपूर्ण संख्याओं को विभाजित करके प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

-इस नंबर भी एक पारगमन संख्या है, जिसका अर्थ है कि ई किसी भी बहुपद समीकरण का हल नहीं है।

-यह गणित के क्षेत्र में चार अन्य प्रसिद्ध संख्याओं से संबंधित है, अर्थात्: i, i, 1 और 0, यूलर के माध्यम से:

- तथाकथित जटिल संख्या को ई के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है।

-यह वर्तमान समय के प्राकृतिक या प्राकृतिक लघुगणक का आधार बनाता है (जॉन नेपियर की मूल परिभाषा थोड़ी भिन्न है)।

यह एकमात्र ऐसा संख्या है जिसका प्राकृतिक लघुगणक 1 के बराबर है, अर्थात्:

अनुप्रयोग

आंकड़े

संख्या ई संभावना और सांख्यिकी के क्षेत्र में बहुत बार दिखाई देती है, जो विभिन्न वितरणों में दिखाई देती है, जैसे कि सामान्य या गौसियन, पॉइसन और अन्य।

अभियांत्रिकी

इंजीनियरिंग में यह अक्सर होता है, चूंकि घातीय कार्य y = e ^x यांत्रिकी और विद्युत चुंबकत्व में मौजूद है, उदाहरण के लिए। कई अनुप्रयोगों में हम उल्लेख कर सकते हैं:

-एक केबल या चेन जो सिरों से लटकी रहती है, उसके द्वारा दिए गए वक्र के आकार को गोद लेती है:

y = (e ^x + e ^-x) / 2

-एक शुरू में डिस्चार्ज किए गए संधारित्र सी, जो एक रोकनेवाला आर और एक वोल्टेज स्रोत वी से चार्ज करने के लिए श्रृंखला में जुड़ा हुआ है, द्वारा दिए गए समय टी के एक समारोह के रूप में एक निश्चित चार्ज क्यू प्राप्त करता है:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC})

जीवविज्ञान

एक्सपोनेंशियल फंक्शन y = Ae ^Bx, A और B स्थिरांक के साथ, सेल विकास और बैक्टीरिया के विकास के लिए उपयोग किया जाता है।

शारीरिक

नाभिकीय भौतिकी में रेडियोधर्मी क्षय और आयु निर्धारण का निर्धारण रेडियोकार्बन डेटिंग द्वारा किया जाता है।

अर्थव्यवस्था

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना में संख्या ई स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है।

मान लीजिए कि आपके पास प्रति वर्ष i% की ब्याज दर पर निवेश करने के लिए कुछ निश्चित राशि P _o है।

यदि आप 1 वर्ष के लिए पैसा छोड़ते हैं, तो उस समय के बाद आपके पास होगा:

इसे छूने के बिना एक और साल बाद, आपके पास होगा:

और n वर्षों के लिए इस तरह से जारी रखना:

अब ई की एक परिभाषा याद करते हैं:

यह पी के लिए अभिव्यक्ति की तरह दिखता है, इसलिए एक संबंध होना चाहिए।

हम नाममात्र ब्याज दर i को समय की अवधि में वितरित करने जा रहे हैं, इस तरह चक्रवृद्धि ब्याज दर i / n होगी:

यह अभिव्यक्ति हमारी सीमा से थोड़ी अधिक लगती है, लेकिन यह अभी भी बिल्कुल वैसी नहीं है।

हालांकि, कुछ बीजीय जोड़तोड़ के बाद यह दिखाया जा सकता है कि परिवर्तनशील परिवर्तन द्वारा:

हमारा पैसा P बन जाता है:

और ब्रेसिज़ के बीच क्या है, भले ही यह पत्र एच के साथ लिखा गया हो, यह उस सीमा के तर्क के बराबर है जो संख्या ई को परिभाषित करता है, केवल सीमा याद आती है।

आइए h → make बनाते हैं, और ब्रेसिज़ के बीच की संख्या ई बन जाती है। इसका मतलब यह नहीं है कि हमें अपना पैसा वापस लेने के लिए लंबे समय तक इंतजार करना होगा।

यदि हम निकट से देखते हैं, तो h = n / i बनाकर और what के साथ जोड़कर, जो हमने वास्तव में किया है, वह ब्याज दर को बहुत कम, बहुत कम समय में फैलाता है:

मैं = एन / एच

इसे निरंतर यौगिक कहा जाता है। ऐसे मामले में धन की राशि की गणना इस तरह आसानी से की जाती है:

जहां मैं वार्षिक ब्याज दर हूं। उदाहरण के लिए, निरंतर पूंजीकरण के माध्यम से प्रति वर्ष 9% की दर से € 12 जमा करने पर, आपके पास एक वर्ष के बाद:

€ 1.13 के लाभ के साथ।

संदर्भ

1. गणित का आनंद लें। चक्रवृद्धि ब्याज: आवधिक रचना। से पुनर्प्राप्त: enjoylasmatematicas.com।
2. फिगुएरा, जे। 2000. गणित प्रथम। विविध। CO-BO संस्करण
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