समग्र संख्याएँ: विशेषताएँ, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

यौगिकों संख्या उन पूर्णांकों दो से अधिक विभाजक होती है। यदि हम निकट से देखें, तो सभी संख्याएँ कम से कम स्वयं के द्वारा विभाज्य हैं और १। जिनके पास केवल ये दो विभाजक हैं उन्हें प्राइम कहा जाता है, और जिनके पास अधिक हैं वे समग्र हैं।

आइए संख्या 2 देखें, जिसे केवल 1 और 2 के बीच विभाजित किया जा सकता है। 3 की संख्या में भी दो विभाजन हैं: 1 और 3. इसलिए, वे दोनों प्रमुख हैं। अब 12 नंबर पर नजर डालते हैं, जिसे हम 2, 3, 4, 6 और 12. से विभाजित कर सकते हैं। 5 डिवाइडर होने से, 12 एक संयुक्त संख्या है।

चित्रा 1. नीले रंग में अभाज्य संख्याओं को केवल डॉट्स की एक पंक्ति द्वारा दर्शाया जा सकता है, लाल रंग में मिश्रित संख्या नहीं। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

और संख्या 1 के साथ क्या होता है, वह जो अन्य सभी को विभाजित करता है? खैर, यह प्रमुख नहीं है, क्योंकि इसमें दो भाजक नहीं हैं, और यह समग्र नहीं है, इसलिए 1 इन दो श्रेणियों में से किसी में नहीं आता है। लेकिन कई, कई और अधिक संख्याएं हैं जो करते हैं।

मिश्रित संख्याओं को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और यह उत्पाद, कारकों के क्रम को छोड़कर, प्रत्येक संख्या के लिए अद्वितीय है। यह ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड (325-365 ईसा पूर्व) द्वारा सिद्ध अंकगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा आश्वासन दिया गया है।

आइए 12 नंबर पर वापस जाएं, जिसे हम विभिन्न तरीकों से व्यक्त कर सकते हैं। आइए कुछ आज़माएँ:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

बोल्ड में जिन आकृतियों को हाइलाइट किया गया है, वे प्राइम नंबरों के उत्पाद हैं और केवल एक चीज जो परिवर्तन का कारक है, जो कि हम जानते हैं कि उत्पाद में परिवर्तन नहीं होता है। अन्य रूपों, हालांकि 12 को व्यक्त करने के लिए मान्य है, केवल पूर्ण रूप से शामिल नहीं हैं।

मिश्रित संख्या के उदाहरण

यदि हम एक मिश्रित संख्या को इसके प्रमुख कारकों में विघटित करना चाहते हैं, तो हमें इसे प्रमुख संख्याओं के बीच इस तरह से विभाजित करना चाहिए कि विभाजन सटीक हो, अर्थात शेष 0 है।

इस प्रक्रिया को प्रधान कारक या विहित विघटन कहा जाता है। सकारात्मक कारकों के लिए प्रमुख कारक उठाए जा सकते हैं।

हम 570 की संख्या को कम करने जा रहे हैं, यह देखते हुए कि यह सम है और इसलिए 2 से विभाज्य है, जो एक प्रमुख संख्या है।

हम बाईं ओर दाईं ओर डिवाइडर से संख्या को अलग करने के लिए एक बार का उपयोग करेंगे। संबंधित कोटेशन को प्राप्त होने के बाद नंबर के नीचे रखा जाता है। विघटन पूरा हो गया है जब बाएं स्तंभ में अंतिम आकृति 1 है:

570 │2

285 │

2 से भाग देने पर भागफल 285, जो 5 से विभाज्य होता है, एक और अभाज्य संख्या, 5 में समाप्त होता है।

570 │2

285 575

57 │

57 3 से विभाज्य है, एक अभाज्य भी, क्योंकि इसके अंकों का योग 5 + 7 = 12 3 का गुणक है।

570 │2

285 575

57 │3

19 │

अंत में हमें 19 प्राप्त होते हैं, जो एक अभाज्य संख्या है, जिसके भाजक 19 और 1 हैं:

570 │2

285 575

57 │3

19 │19

1 │

1 प्राप्त करके हम 570 को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

और हम देखते हैं कि वास्तव में, यह 4 अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है।

इस उदाहरण में हम 2 से विभाजित करना शुरू करते हैं, लेकिन समान कारक (दूसरे क्रम में) प्राप्त होता यदि हम उदाहरण के लिए 5 से विभाजित करके शुरू करते।

चित्रा 2. समग्र संख्या 42 को पेड़ के आकार के आरेख का उपयोग करके विघटित भी किया जा सकता है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

विभाज्यता मानदंड

अपने प्रमुख कारकों में एक समग्र संख्या को विघटित करने के लिए, इसे ठीक से विभाजित करना आवश्यक है। अभाज्य संख्याओं के बीच विभाज्यता के मानदंड ऐसे नियम हैं जो यह जानने की अनुमति देते हैं कि कोई संख्या किसी दूसरे के द्वारा विभाज्य है, बिना कोशिश या सिद्ध किए।

- 2 से विभाजन

सभी सम संख्याएँ, जो 0 में समाप्त होती हैं या सम संख्या 2 से विभाज्य होती हैं।

- 3 से विभाज्यता

यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से अधिक है, तो संख्या भी है और इसलिए 3 से विभाज्य है।

- 5 से विभाजन

संख्याएँ जो 0 या 5 में समाप्त होती हैं, वे 5 से विभाज्य हैं।

7 से -Divisibility

एक संख्या 7 से विभाज्य है यदि, अंतिम अंक को अलग करते समय, इसे 2 से गुणा करें और शेष संख्या को घटाते हुए, परिणामी मान 7 का गुणक है।

यह नियम पिछले वाले की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल लगता है, लेकिन वास्तव में यह इतना अधिक नहीं है, तो आइए एक उदाहरण देखें: क्या 98 7 से विभाज्य होगा?

आइए निर्देशों का पालन करें: हम अंतिम आकृति को अलग करते हैं जो 8 है, हम इसे 2 से गुणा करते हैं जो 16 देता है। 8 को अलग करते समय जो संख्या रहती है वह 9. हम 16 - 9 = 7. घटाते हैं और चूंकि 7 स्वयं के कई है, 98 विभाज्य है 7 के बीच।

-11 से विश्वसनीयता

यदि सम स्थिति (2, 4, 6…) में आंकड़े का योग विषम स्थिति (1, 3, 5, 7…) में आंकड़े के योग से घटाया जाता है और 0 या 11 का एक गुणक प्राप्त होता है, तो संख्या है 11 से विभाज्य।

11 के पहले गुणकों को आसानी से पहचाना जाता है: वे 11, 22, 33, 44… 99 हैं। लेकिन सावधान रहें, 111 नहीं है, इसके बजाय 110 है।

एक उदाहरण के रूप में, आइए देखें कि क्या 143 11 का गुणक है।

इस संख्या में 3 अंक हैं, केवल सम अंक 4 (दूसरा) है, दो विषम अंक 1 और 3 (पहले और तीसरे) हैं, और उनकी राशि 4 है।

दोनों योगों को घटाया जाता है: 4 - 4 = 0 और चूंकि 0 प्राप्त होता है, यह पता चलता है कि 143 11 का गुणक है।

13 द्वारा -Divisibility

अंकों के बिना अंक को उस अंक से 9 गुना घटाया जाना चाहिए। यदि संख्या 0 या 13 का गुणक है, तो संख्या 13 का गुणक है।

एक उदाहरण के रूप में हम यह सत्यापित करेंगे कि 156 13. की ​​एक बहु है। अंकों का अंक 6 है और इसके बिना जो संख्या रहती है वह 15. 15. हम 6 x 9 = 54 से गुणा करते हैं और अब हम 54 - 15 = 39 घटाते हैं।

लेकिन 39 3 x 13 है, इसलिए 56 13 का गुणक है।

एक दूसरे को अभाज्य संख्याएँ

दो या अधिक प्राइम या कंपोजिट नंबर प्राइम या को-प्राइम हो सकते हैं। इसका मतलब यह है कि उनके पास केवल 1 सामान्य भाजक है।

यह याद रखने के लिए दो महत्वपूर्ण गुण हैं कि यह कब आता है:

-तो, तीन और अधिक लगातार संख्या एक दूसरे के लिए हमेशा प्रमुख होती हैं।

-इसे दो, तीन या अधिक विषम संख्याओं के बारे में कहा जा सकता है।

उदाहरण के लिए 15, 16 और 17 एक दूसरे के लिए प्रमुख संख्याएँ हैं और इसलिए 15, 17 और 19 हैं।

कैसे पता करें कि एक समग्र संख्या में कितने भाजक हैं

एक अभाज्य संख्या में दो भाजक होते हैं, एक ही संख्या और 1. और कुल कितने भाजक होते हैं? ये चचेरे भाई या यौगिक हो सकते हैं।

आज्ञा देना एन एक समग्र संख्या के रूप में व्यक्त अपने विहित विघटन के रूप में इस प्रकार है:

एन = ए ^एन । बी ^एम । सी ^पी … आर ^के

जहाँ a, b, c… r अभाज्य कारक हैं और n, m, p… k संबंधित घातांक हैं। खैर, एन द्वारा दिए गए विभाजकों की संख्या निम्नलिखित है:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

C = प्रधान भाजक + मिश्रित भाजक + 1 के साथ

उदाहरण के लिए 570, जो इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

सभी प्रमुख कारक 1 से बढ़े हैं, इसलिए 570 हैं:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 भाजक

इन 10 विभाजकों में से हम पहले से ही जानते हैं: 1, 2, 3, 5, 19 और 570। लापता 10 और भाजक हैं, जो संयुक्त संख्याएँ हैं: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 और 285। वे अपघटन को प्रमुख कारकों में देख कर पाए जाते हैं और इन कारकों के संयोजन को एक साथ गुणा भी करते हैं।

हल किया अभ्यास

- अभ्यास 1

निम्नलिखित संख्याओं को मुख्य कारकों में शामिल करें:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

का हल

98 12

49 77

7 │7

1 │

98 = 2 x 7 x 7

समाधान b

143 │11

13 113

1 │

143 = 11 x 13

समाधान c

540 275

108 542

54 │2

27 │3

9 │3

3 13

1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

समाधान d

3705 │5

741 243

247 │13

19 │19

1 7

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- व्यायाम २

पता करें कि क्या निम्नलिखित संख्याएँ एक-दूसरे के लिए प्रमुख हैं:

६, १४, ९

उपाय

-६ के विभाजक हैं: १, २, ३, ६

-14 के लिए, यह 1, 2, 7, 14 से विभाज्य है

-Finally 9 में विभाजक के रूप में है: 1, 3, 9

आम तौर पर उनके पास एक ही भाजक है, इसलिए वे एक-दूसरे के प्रमुख हैं।

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 1986. अंकगणित। संस्करण और वितरण कोडेक्स।
2. Byju की। अभाज्य और समग्र संख्या। से पुनर्प्राप्त: byjus.com।
3. अभाज्य और समग्र संख्या। से पुनर्प्राप्त: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick। विभाज्यता मानदंड। से पुनर्प्राप्त: smartick.es।
5. विकिपीडिया। समग्र संख्या। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.org।