संपूर्ण संख्याएँ: गुण, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

पूर्णांकों उपयोगी संख्याओं के एक समूह वस्तुओं पूरा अमीर गिनती और नहीं है करने के लिए कर रहे हैं। उन लोगों की गणना करने के लिए जो एक तरफ और एक निश्चित स्थान के संदर्भ में हैं।

संपूर्ण संख्याओं के साथ-साथ आप संख्या और इसके बीच के अंतर को घटा सकते हैं या इससे अधिक कर सकते हैं, परिणाम उदाहरण के लिए ऋण के रूप में तय किया जा रहा है। कमाई और ऋण के बीच का अंतर क्रमशः + और - संकेतों के साथ बनाया जाता है।

चित्रा 1. पूरे संख्याओं के लिए संख्या रेखा। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)।

इसलिए, संपूर्ण संख्याओं के समूह में निम्नलिखित शामिल हैं:

-पोसिटिव पूर्णांक, जो कि पहले से लिखे गए हैं + चिह्न के बिना, या केवल बिना संकेत के, क्योंकि यह भी समझा जाता है कि वे सकारात्मक हैं। उदाहरण के लिए: +1, +2, + 3… इत्यादि।

-0, जिसमें यह संकेत अप्रासंगिक है, क्योंकि इसे कुछ मात्रा से घटाने के लिए इसे जोड़ने के लिए कोई फर्क नहीं पड़ता है। लेकिन 0 बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह पूर्णांकों के लिए संदर्भ है: एक तरफ सकारात्मक और दूसरा नकारात्मक हैं, जैसा कि हम आंकड़ा 1 में देखते हैं।

-Negative पूर्णांक, जो हमेशा हस्ताक्षर से पहले लिखे जाने चाहिए - चूंकि वे मात्राओं को अलग करते हैं जैसे कि ऋण और उन सभी जो संदर्भ के दूसरी तरफ हैं। नकारात्मक पूर्णांक के उदाहरण हैं: -1, -2, -3… और उसके बाद।

पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है?

शुरुआत में हम सेट संकेतन के साथ पूरी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, यानी सूचियाँ और का आयोजन किया। लेकिन एक बहुत ही उपयोगी प्रतिनिधित्व संख्या रेखा द्वारा उपयोग किया जाने वाला एक है। इसके लिए एक रेखा खींचने की आवश्यकता होती है, जो आमतौर पर क्षैतिज होती है, जिस पर 0 को चिह्नित किया जाता है और समान वर्गों में विभाजित किया जाता है:

चित्रा 2. संख्या रेखा पर संपूर्ण संख्याओं का प्रतिनिधित्व। 0 से दाईं ओर धनात्मक पूर्णांक होते हैं और 0 से बाईं ओर ऋणात्मक होते हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

नकारात्मक 0 के बाईं ओर जाते हैं और सकारात्मक दाईं ओर जाते हैं। संख्या रेखा पर स्थित तीर का प्रतीक है कि संख्या अनंत तक जाती है। किसी भी पूर्णांक को देखते हुए, हमेशा ऐसा होना संभव है जो अधिक हो या जो कम हो।

पूर्णांक का निरपेक्ष मान

पूर्णांक का पूर्ण मान संख्या और 0. के बीच की दूरी है और दूरी हमेशा सकारात्मक होती है। इसलिए ऋणात्मक पूर्णांक का निरपेक्ष मान उसके ऋण चिह्न के बिना संख्या है।

उदाहरण के लिए, -5 का निरपेक्ष मान है 5. निरपेक्ष मान को बार द्वारा निरूपित किया जाता है, इस प्रकार है:

- ५- = ५

इसे कल्पना करने के लिए, बस संख्या रेखा पर रिक्त स्थान की गणना करें, -5 से 0. तक। जबकि एक सकारात्मक पूर्णांक का निरपेक्ष मान समान संख्या है, उदाहरण के लिए - + 3- = 3, क्योंकि 0 से इसकी दूरी है। 3 स्थानों के साथ:

चित्रा 3. एक संपूर्ण संख्या का पूर्ण मान हमेशा एक सकारात्मक मात्रा होता है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

गुण

-पूर्णांक के सेट को Z के रूप में निरूपित किया जाता है और इसमें प्राकृतिक संख्या N का सेट शामिल होता है, उनके तत्व अनंत होते हैं।

-एक पूरी संख्या और एक जो इस प्रकार है (या जो इसे पूर्ववर्ती है) को हमेशा एकता में विभेदित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 5 के बाद 6 आता है, 1 उनके बीच का अंतर है।

-हर पूर्णांक में एक पूर्ववर्ती और एक उत्तराधिकारी होता है।

-एक सकारात्मक पूर्णांक 0 से अधिक है।

-एक नकारात्मक पूर्णांक हमेशा 0 से कम होता है और कोई भी सकारात्मक संख्या। उदाहरण के लिए संख्या -100, यह 2 से कम, 10 से कम और 50 से अधिक है। लेकिन यह -10, -20 और -99 से भी कम है और -200 से अधिक है।

-0 में सांकेतिक विचार नहीं हैं, क्योंकि यह न तो नकारात्मक है और न ही सकारात्मक है।

-सभी संख्याओं के साथ आप वही ऑपरेशन कर सकते हैं जो प्राकृतिक संख्याओं के साथ किए जाते हैं, जैसे: जोड़, घटाव, गुणा, सशक्तिकरण और बहुत कुछ।

एक पूर्णांक x के विपरीत पूर्णांक, x है और इसके विपरीत के साथ पूर्णांक का योग 0 है:

x + (-x) = 0।

पूर्णांक के साथ संचालन

- सुम

-यदि जोड़े जाने वाले संख्याओं में एक ही चिन्ह है, तो उनके निरपेक्ष मानों को जोड़ दिया जाता है और परिणाम को उस संकेत के साथ रखा जाता है जो व्यसनों के पास होता है। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-यदि संख्या भिन्न चिह्न की है, तो पूर्ण मान घटाए गए हैं (सबसे छोटे से सबसे बड़े) और परिणाम को निम्न निरपेक्ष मान के साथ संख्या के संकेत के साथ रखा गया है:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

पूर्णांक के योग के गुण

-यह राशि सराहनीय है, इसलिए जोड़ का क्रम राशि में परिवर्तन नहीं करता है। A और b दो पूर्णांक हैं, यह सही है कि a + b = b + a

-0 पूर्णांकों के योग का तटस्थ तत्व है: a + 0 = a

-इसके विपरीत एक पूर्णांक जोड़ा गया है। 0. a + का विपरीत है, और इसके विपरीत, -a का विपरीत + a है। इसलिए: (+ ए) + (-ए) = ०।

चित्रा 2. संपूर्ण संख्याओं को जोड़ने के लिए संकेतों का नियम। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

- घटाव

संपूर्ण संख्याओं को घटाने के लिए, किसी को इस नियम द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए: घटाव इसके विपरीत संख्या के जोड़ के बराबर है। दो और बी दो संख्याएँ हैं, तो:

a - b = a + (-b)

उदाहरण के लिए, मान लें कि आपको निम्न ऑपरेशन करने की आवश्यकता है: (-3) - (+7), फिर:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- गुणन

संपूर्ण संख्याओं का गुणा संकेतों के लिए कुछ नियमों का पालन करता है:

-एक ही चिन्ह वाले दो संख्याओं का गुणनफल सदैव धनात्मक होता है।

-जब अलग-अलग संकेतों के साथ दो नंबर गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा नकारात्मक होता है।

-उत्पाद का मूल्य संबंधित पूर्ण मूल्यों को गुणा करने के बराबर है।

तुरंत कुछ उदाहरण जो उपरोक्त स्पष्ट करते हैं:

(-5) x (+8) = - ५ x 40 = -४०

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

पूर्णांकों के गुणन के गुण

-मूल्यांकन सराहनीय है। A और b दो पूर्णांक हैं, यह सच है कि: ab = ba, जिसे निम्न के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:

गुणन का तटस्थ तत्व है 1. एक पूर्ण संख्या हो, इसलिए a.1 = 1 है

-एक पूर्णांक को 0 से गुणा करना 0: a.0 = 0 के बराबर है

बांटने वाली संपत्ति

गुणन इसके अतिरिक्त वितरण संपत्ति का अनुपालन करता है। यदि a, b और c पूरी संख्या हैं तो:

a। (b + c) = ab + ac

इस संपत्ति को कैसे लागू किया जाए, इसका एक उदाहरण इस प्रकार है:

(-3)। = (-3)। (- 4) + (- 3).11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

अधिकारिता

-अगर आधार सकारात्मक है, तो ऑपरेशन का परिणाम हमेशा सकारात्मक होता है।

-जब बेस निगेटिव है, अगर एक्सपोनेंट भी है, तो रिजल्ट पॉजिटिव है। और अगर घातांक विषम है, तो परिणाम नकारात्मक है।

- विभाजन

गुणा में विभाजन के समान संकेत नियम लागू होते हैं:

-जब एक ही संकेत के दो पूरे संख्याओं को विभाजित करते हैं, तो परिणाम हमेशा सकारात्मक होता है।

-जब दो अलग-अलग संकेतों के साथ पूर्णांक विभाजित होते हैं, तो भागफल ऋणात्मक होता है।

उदाहरण के लिए:

(-12)-(-4) = 3

33) (-3) = -11

महत्वपूर्ण: विभाजन सराहनीय नहीं है, दूसरे शब्दों में ≠ b ÷ b as a और हमेशा की तरह, 0 से विभाजन की अनुमति नहीं है।

- सशक्तिकरण

एक पूर्णांक होने दें और हम इसे एक घातांक n पर ले जाना चाहते हैं, फिर हमें स्वयं n गुणा गुणा करना चाहिए, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

a ⁿ = aaaa……a

निम्नलिखित पर भी विचार करें, यह ध्यान में रखते हुए कि n एक प्राकृतिक संख्या है:

-यदि नकारात्मक है और n सम है, तो परिणाम सकारात्मक है।

-जब कोई ऋणात्मक हो और n विषम हो, तो इसका परिणाम ऋणात्मक संख्या में होता है।

-अगर सकारात्मक है और n सम या विषम है, तो धनात्मक पूर्णांक हमेशा परिणाम देता है।

-0 से बढ़ा हुआ पूर्णांक 1: ⁰ = 1 के बराबर है

-एक से उठाया गया संख्या 1 के बराबर है: ¹ = ए

उदाहरण के लिए मान लें कि हम (–3) ⁴ को खोजना चाहते हैं, ऐसा करने के लिए हम अपने आप से चार गुना (-3) इस तरह से गुणा करते हैं: (-3)। (- 3)। (- 3)। (- 3) = 81।

एक और उदाहरण, एक नकारात्मक पूर्णांक के साथ भी है:

(-2) ³ = (-2)। (- 2)। (- 2) = -8

समान आधार की शक्तियों का उत्पाद

मान लीजिए कि समान आधार की दो शक्तियाँ, यदि हम उन्हें गुणा करते हैं तो हम उसी आधार के साथ एक और शक्ति प्राप्त करते हैं, जिसका प्रतिपादक दिए गए घातांक का योग है:

a ^{n m} a = a ^{n + m}

समान आधार शक्तियाँ भागफल

समान आधार की शक्तियों को विभाजित करते समय, परिणाम एक ही आधार के साथ एक शक्ति है, जिसका प्रतिपादक दिए गए घातांक का घटाव है:

a ^{n m} a ^m = a ^{n - m}

यहाँ दो उदाहरण दिए गए हैं जो इन बिंदुओं को स्पष्ट करते हैं:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ 5 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

उदाहरण

आइए इन नियमों को लागू करने के लिए सरल उदाहरण देखें, यह याद रखें कि सकारात्मक पूर्णांक के मामले में, संकेत के साथ तिरस्कृत किया जा सकता है:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- १०) = - () + १०) = -१)

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-२५) = + (-२५) = -२५ = -4 -25 = -२ ९

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-१५) =-- १५ = -२३

f) (+3) x (+9) = ३ x ९ = २)

g) (- ४) x (-११) = ४ x ११ = ४४

h) (+5) x (-१२) = - ५ x १२ = -६०

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

हल किया अभ्यास

- अभ्यास 1

आकृति में संख्या रेखा के साथ एक चींटी चलती है। बिंदु x = +3 से शुरू होकर, यह निम्नलिखित हलचलें करती है:

-7 इकाइयों को दाईं ओर रखता है

-अब आप बाईं ओर 5 यूनिट लौटाते हैं

बाईं ओर 3 और इकाइयाँ लगाएँ।

-वह वापस चला जाता है और दाईं ओर 4 इकाइयों को स्थानांतरित करता है।

दौरे के अंत में चींटी किस बिंदु पर है?

उपाय

आइए विस्थापन को डी कहते हैं। जब वे दाईं ओर होते हैं तो उन्हें एक सकारात्मक संकेत दिया जाता है और जब वे बाईं ओर एक नकारात्मक चिन्ह होते हैं। इस तरह, और x = +3 से शुरू होकर हमारे पास:

-First D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-सेकंड डी: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-तृ D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-रोम डी: x ₄ = +2 + 4 = +6

जब चींटी अपना चलना समाप्त कर देती है तो वह स्थिति x = +6 में होती है। यही है, संख्या रेखा पर 0 के दाईं ओर 6 इकाइयाँ हैं।

- व्यायाम २

निम्नलिखित ऑपरेशन को हल करें:

{36 +}। {- + 2 (-8 + 6)]}

उपाय

इस ऑपरेशन में समूहन संकेत शामिल हैं, जो कोष्ठक, वर्ग कोष्ठक और ब्रेसिज़ हैं। हल करते समय, आपको पहले कोष्ठक का ध्यान रखना होगा, फिर कोष्ठक का और अंत में ब्रेसिज़ का। दूसरे शब्दों में, आपको अंदर से बाहर काम करना होगा।

इस अभ्यास में, बिंदु एक गुणन का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन यदि संख्या और कोष्ठक या किसी अन्य प्रतीक के बीच कोई बिंदु नहीं है, तो यह भी एक उत्पाद माना जाता है।

चरण दर चरण नीचे संकल्प, रंग कोष्ठक को कम करने के परिणाम का पालन करने के लिए एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करते हैं, जो कि सबसे सरल समूह प्रतीक हैं:

{36 +}। {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}। {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}। {- 4]} =

= {52}। {1- 4]} = {52}। {- 3} = -156

- व्यायाम 3

पहली डिग्री समीकरण हल करें:

12 + x = 30 + 3x

उपाय

शब्दों को समानता के बाईं ओर अज्ञात के साथ समूहीकृत किया गया है, और संख्यात्मक शब्द दाईं ओर हैं:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

संदर्भ

1. कैराना, एम। 2019। प्री-यूनिवर्सिटी गणित मैनुअल। नेशनल यूनिवर्सिटी ऑफ लिटोरल।
2. फिगुएरा, जे। 2000. 7 वीं कक्षा गणित। CO-BO संस्करण
3. हॉफमैन, जे। 2005. गणित विषयों का चयन। एकांत प्रकाशन।
4. जिमेनेज, आर। 2008. बीजगणित। शागिर्द कक्ष।
5. पूरे नंबर। से पुनर्प्राप्त: Cimanet.uoc.edu।