काल्पनिक संख्या: गुण, अनुप्रयोग, उदाहरण - गणित - 2025

काल्पनिक संख्याओं को उन है कि समीकरण जिसमें अज्ञात, वर्ग को ऊपर उठाया एक नकारात्मक वास्तविक संख्या के बराबर है का समाधान कर रहे हैं। काल्पनिक इकाई i = √ (-1) है।

समीकरण में: z ² = - a, z एक काल्पनिक संख्या है जिसे इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

z = a (-a) = i√ (a)

एक सकारात्मक वास्तविक संख्या होने के नाते। यदि a = 1 है, तो z = i, जहां मैं काल्पनिक इकाई है।

चित्र 1. कुछ वास्तविक संख्या, कुछ काल्पनिक संख्या और कुछ जटिल संख्या दिखाते हुए जटिल विमान। स्रोत: एफ। ज़पाटा

सामान्य तौर पर, एक शुद्ध काल्पनिक संख्या z हमेशा फॉर्म में व्यक्त की जाती है:

z = y⋅i

जहां y एक वास्तविक संख्या है और मैं काल्पनिक इकाई हूं।

जिस तरह वास्तविक संख्याओं को एक रेखा पर दर्शाया जाता है, वास्तविक रेखा कहा जाता है, उसी तरह काल्पनिक संख्याओं को काल्पनिक रेखा पर दर्शाया जाता है।

काल्पनिक रेखा हमेशा वास्तविक रेखा के लिए ऑर्थोगोनल (90) आकार) होती है और दो रेखाएं एक कार्टेसियन विमान को परिभाषित करती हैं जिसे जटिल विमान कहा जाता है।

चित्र 1 में जटिल विमान दिखाया गया है और उस पर कुछ वास्तविक संख्याएँ, कुछ काल्पनिक संख्याएँ और कुछ जटिल संख्याएँ भी दर्शाई गई हैं:

एक्स ₁, एक्स ₂, एक्स ₃ वास्तविक संख्या हैं

Y ₁, Y ₂, Y ₃ काल्पनिक संख्याएं हैं

जेड ₂ और जेड ₃ जटिल संख्या हैं

संख्या O वास्तविक शून्य है और यह काल्पनिक शून्य भी है, इसलिए मूल O द्वारा व्यक्त जटिल शून्य है:

0 + 0 आई

गुण

काल्पनिक संख्याओं के सेट को निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है:

I = {………, -3i,…, -2i,…, - i,…।, 0i,…, ”, I,…, 2i,…।, 3i, ……}।

और आप इस संख्यात्मक सेट पर कुछ कार्यों को परिभाषित कर सकते हैं। एक काल्पनिक संख्या हमेशा इन परिचालनों से प्राप्त नहीं होती है, तो आइए इन्हें थोड़ा और विस्तार से देखें:

काल्पनिक जोड़ें और घटाएँ

काल्पनिक संख्याओं को एक दूसरे से जोड़ा और घटाया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक नई काल्पनिक संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए:

३ आई + २ आई = ५ आई

4i - 7i = -3i

काल्पनिक का उत्पाद

जब किसी दूसरे के साथ एक काल्पनिक संख्या का गुणनफल बनाया जाता है, तो परिणाम एक वास्तविक संख्या होती है। आइए इसे जांचने के लिए निम्नलिखित ऑपरेशन करें:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (-1 (-1)) ² = 6 x (-1) = -6।

और जैसा कि हम देख सकते हैं; -6 एक वास्तविक संख्या है, हालांकि इसे दो शुद्ध काल्पनिक संख्याओं को गुणा करके प्राप्त किया गया है।

किसी अन्य काल्पनिक द्वारा वास्तविक संख्या का उत्पाद

यदि एक वास्तविक संख्या i से गुणा की जाती है, तो परिणाम एक काल्पनिक संख्या होगी, जो कि 90-डिग्री प्रतिच्छेदन रोटेशन से मेल खाती है।

और यह है कि मैं ² 90 डिग्री के लगातार दो चक्र है, जो -1 से गुणा, यह है कि के बराबर है, मैं से मेल खाती है ² = -1। इसे निम्नलिखित चित्र में देखा जा सकता है:

चित्रा 2. काल्पनिक इकाई द्वारा गुणा मैं 90c वामावर्त घुमाव से मेल खाती है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

उदाहरण के लिए:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i

एक कल्पना का सशक्तिकरण

आप एक पूर्णांक घातांक के लिए एक काल्पनिक संख्या के गुणन को परिभाषित कर सकते हैं:

मैं ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x -1 (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

मैं ⁵ = ixi ⁴ = i

सामान्य तौर पर हमारे पास i ⁿ = i ^ (n mod 4) है, जहाँ mod n और 4 के बीच विभाजन का शेष भाग है।

नकारात्मक पूर्णांक क्षमता भी हो सकती है:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹) = i / (i ²) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

सामान्य तौर पर, पावर n में उठाए गए काल्पनिक संख्या b⋅i है:

(b (i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

एक वास्तविक संख्या और एक काल्पनिक संख्या का योग

जब आप एक काल्पनिक के साथ एक वास्तविक संख्या जोड़ते हैं, तो परिणाम न तो वास्तविक होता है और न ही काल्पनिक होता है, यह एक नए प्रकार की संख्या होती है जिसे एक जटिल संख्या कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि X = 3.5 और Y = 3.75i, तो परिणाम जटिल संख्या है:

Z = X + Y = 3.5 + 3.75 i

ध्यान दें कि योग में वास्तविक और काल्पनिक भागों को एक साथ समूहित नहीं किया जा सकता है, इसलिए एक जटिल संख्या में हमेशा एक वास्तविक भाग और एक काल्पनिक भाग होगा।

यह ऑपरेशन वास्तविक संख्याओं के सेट को जटिल संख्याओं के सबसे विस्तृत तक बढ़ाता है।

अनुप्रयोग

फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस (1596-1650) द्वारा काल्पनिक संख्याओं के नाम का प्रस्ताव किया गया था, जो कि सदी के रैफेलेल बॉम्बेली के इतालवी गणितज्ञ द्वारा किए गए प्रस्ताव के साथ एक असहमति या असहमति थी।

अन्य महान गणितज्ञों, जैसे कि यूलर और लीबनिज ने इस असहमति में डेसकार्टेस का समर्थन किया और काल्पनिक संख्याओं को उभयचर संख्याएं कहा, जो कि होने और कुछ भी नहीं होने के बीच फटे थे।

काल्पनिक संख्याओं का नाम आज भी है, लेकिन उनका अस्तित्व और महत्व बहुत वास्तविक और स्पष्ट है, क्योंकि वे भौतिक विज्ञान के कई क्षेत्रों में स्वाभाविक रूप से दिखाई देते हैं:

-सापेक्षता का सिद्धांत।

-इलेक्ट्रोमैगनेटिज्म में।

-क्वांटम यांत्रिकी।

काल्पनिक संख्याओं के साथ व्यायाम

- अभ्यास 1

निम्नलिखित समीकरण के हल खोजें:

z ² + 16 = 0

उपाय

z ² = -16

हमारे पास दोनों सदस्यों में वर्गमूल लेना:) (Z ²) = √ (-16)

± z = ± (-1 x 16) = -1 (-1) 16 (16) = ix 4 = 4i

दूसरे शब्दों में, मूल समीकरण के हल हैं:

z = + 4i oz = -4i।

- व्यायाम २

शक्ति -5 तक काल्पनिक इकाई को ऊपर उठाने का परिणाम ज्ञात कीजिए -5 तक पहुंचने वाली काल्पनिक इकाई का घटाव।

उपाय

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- व्यायाम 3

निम्नलिखित ऑपरेशन का परिणाम खोजें:

(३ आई) ^३ + ^९ आई

उपाय

३ ^३ आई ^३ - ९ = ९ (-इ) + ९ आई =-९ आई + ९ आई = ० आई

- व्यायाम 4

निम्नलिखित द्विघात समीकरण के समाधान ज्ञात कीजिए:

(-2x) ² + 2 = 0

उपाय

समीकरण को इस प्रकार बदला गया है:

(-2x) ² = -2

फिर दोनों सदस्यों का वर्गमूल लिया जाता है

2x ((- 2x) ²) = √ (-2)

= (-2x) = √ (-1 x 2) = -1 (-1) 2 (2) = i = (2) =)2 i

फिर हम अंत में प्राप्त करने के लिए x के लिए हल करते हैं:

x = √ =2 / 2 i

यही है, दो संभावित समाधान हैं:

x = (√2 / 2) i

या यह अन्य:

x = - (=2 / 2) i

- व्यायाम 5

द्वारा परिभाषित Z का मान ज्ञात करें:

Z =) (-9) √ (-4) + 7

उपाय

हम जानते हैं कि एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या का वर्गमूल एक काल्पनिक संख्या है, उदाहरण के लिए-(-9) x (9) x √ (-1) = 3i के बराबर है।

दूसरी ओर, √ (-4) 4 (4) x -1 (-1) = 2i के बराबर है।

तो मूल समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- व्यायाम 6

दो जटिल संख्याओं के निम्न विभाजन से उत्पन्न Z का मान ज्ञात कीजिए:

Z = (9 - i ²) / (3 + i)

उपाय

निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग करके अभिव्यक्ति के अंश को तथ्यित किया जा सकता है:

इसलिए:

Z = / (3 + i)

परिणामी अभिव्यक्ति नीचे सरलीकृत है, छोड़कर

Z = (3 - i)

संदर्भ

1. अर्ल, आर। कॉम्प्लेक्स नंबर। से पुनर्प्राप्त: maths.ox.ac.uk।
2. फिगुएरा, जे। 2000. गणित प्रथम। विविध। CO-BO संस्करण
3. हॉफमैन, जे। 2005. गणित विषयों का चयन। एकांत प्रकाशन।
4. जिमेनेज, आर। 2008. बीजगणित। शागिर्द कक्ष।
5. विकिपीडिया। काल्पनिक संख्या। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.org