अपरिमेय संख्या: इतिहास, गुण, वर्गीकरण, उदाहरण - गणित - 2025

अपरिमेय संख्याओं जिनकी अभिव्यक्ति एक दोहरा पैटर्न के बिना अनंत दशमलव आंकड़े हैं, इसलिए, नहीं कर सकते हैं जा प्राप्त से किसी भी दो पूर्णांकों के बीच का अनुपात।

सबसे ज्ञात अपरिमेय संख्याएँ हैं:

चित्र 1. ऊपर से नीचे तक निम्न अपरिमेय संख्याएँ: पाई, यूलर की संख्या, सुनहरा अनुपात और दो वर्गमूल। स्रोत: पिक्साबे

उनमें से, बिना शक doubt (पी) सबसे परिचित है, लेकिन कई और भी हैं। वे सभी वास्तविक संख्याओं के समूह से संबंधित हैं, जो संख्यात्मक सेट है जो समूह तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं को एक साथ जोड़ते हैं।

चित्र 1 में दिए गए शब्द इंगित करते हैं कि दशमलव अनिश्चित काल तक जारी रहता है, ऐसा क्या होता है कि साधारण कैलकुलेटर की जगह केवल कुछ प्रदर्शित करने की अनुमति देती है।

यदि हम ध्यान से देखें, तो जब भी हम दो पूर्ण संख्याओं के बीच भागफल बनाते हैं, तो हम सीमित आंकड़ों के साथ एक दशमलव प्राप्त करते हैं या यदि नहीं तो अनंत आंकड़ों के साथ जिसमें एक या अधिक दोहराए जाते हैं। खैर, यह अपरिमेय संख्याओं के साथ नहीं होता है।

तर्कहीन संख्याओं का इतिहास

यूनान के समोस में 582 ईसा पूर्व में पैदा हुए महान प्राचीन गणितज्ञ पाइथागोरस ने विचार के पायथागोरियन स्कूल की स्थापना की और अपना नाम रखने वाले प्रसिद्ध प्रमेय की खोज की। हम इसे नीचे बाईं तरफ (बेबीलोनियन लोग इसे बहुत पहले से जानते होंगे)।

चित्रा 2. पायथागॉरियन प्रमेय 1 के बराबर पक्षों के साथ एक त्रिकोण पर लागू होता है। स्रोत: Pixabay / विकिमीडिया कॉमन्स।

खैर, जब पाइथागोरस (या शायद उसके एक शिष्य) ने 1 के बराबर पक्षों के साथ एक सही त्रिकोण के लिए प्रमेय को लागू किया, तो उसे अपरिमेय संख्या to2 मिली।

उन्होंने इसे इस तरह किया:

c = 21 ² + 1 ² = √1 + 1 = 22

और उन्होंने तुरंत महसूस किया कि यह नया नंबर दो अन्य प्राकृतिक संख्याओं के बीच भागफल से नहीं आया था, जो उस समय ज्ञात थे।

इसलिए उन्होंने इसे तर्कहीन कहा, और इस खोज ने पाइथागोरस के बीच बहुत चिंता और घबराहट पैदा कर दी।

अपरिमेय संख्या के गुण

-सभी अपरिमेय संख्याओं के सेट को I और कभी-कभी Q * या Q ^C अक्षर के साथ दर्शाया जाता ^है । अपरिमेय संख्या I या Q * और परिमेय संख्या Q के बीच का संघ, वास्तविक संख्या R के समुच्चय को जन्म देता है।

अपरिमेय संख्या के साथ, ज्ञात अंकगणितीय संक्रियाएं की जा सकती हैं: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, सशक्तिकरण और बहुत कुछ।

-0 द्वारा विभाजन को अपरिमेय संख्याओं के बीच परिभाषित नहीं किया गया है।

-समर्थन और अपरिमेय संख्याओं के बीच का उत्पाद आवश्यक रूप से एक और अपरिमेय संख्या नहीं है। उदाहरण के लिए:

√2 x =8 = √16 = 4

और 4 एक अपरिमेय संख्या नहीं है।

-कभी भी, एक परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का योग एक अपरिमेय परिणाम देता है। इस तरह:

1 + …2 = 2.41421356237…

-एक अपरिमेय संख्या द्वारा 0 से भिन्न परिमेय संख्या का गुणन भी अपरिमेय होता है। आइए इस उदाहरण को देखें:

2 x √2 = 2.828427125…

-एक अपरिमेय संख्या में एक अपरिमेय परिणाम का विलोम। आइए कुछ आज़माएँ:

1 / …2 = 0.707106781…

1 / √3 = 0.577350269…

ये संख्या दिलचस्प है क्योंकि वे ज्ञात कोणों के कुछ त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान भी हैं। त्रिकोणमितीय अनुपातों में से अधिकांश अपरिमेय संख्याएँ हैं, लेकिन अपवाद हैं, जैसे कि पाप 30º = 0.5 = r, जो तर्कसंगत है।

-समाधान और साहचर्य गुणों का योग पूरा होता है। यदि a और b दो अपरिमेय संख्या हैं, तो इसका मतलब है कि:

ए + बी = बी + ए।

और यदि c एक और अपरिमेय संख्या है, तो:

(a + b) + c = a + (b + c)।

-इसके अलावा गुणन के वितरण गुण एक और अच्छी तरह से ज्ञात संपत्ति है जो तर्कहीन संख्याओं के लिए भी सही है। इस मामले में:

a। (b + c) = ab + ac

-एक अपरिमेय इसके विपरीत है: -a। जब उन्हें एक साथ जोड़ा जाता है तो परिणाम 0 होता है:

ए + (- ए) = 0

-दो अलग-अलग परिमेय का अंतर करें, कम से कम एक अपरिमेय संख्या होती है।

वास्तविक रेखा पर एक अपरिमेय संख्या का स्थान

वास्तविक रेखा एक क्षैतिज रेखा है जहां वास्तविक संख्याएं स्थित हैं, जिनमें से अपरिमेय संख्या एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।

ज्यामितीय रूप में वास्तविक रेखा पर एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पायथागॉरियन प्रमेय, एक शासक और एक कम्पास का उपयोग कर सकते हैं।

एक उदाहरण के रूप में हम वास्तविक रेखा पर on5 का पता लगाने जा रहे हैं, जिसके लिए हम पक्षों के साथ एक सही त्रिकोण खींचते हैं x = 2 और y = 1, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

चित्र 3. वास्तविक रेखा पर एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने की विधि। स्रोत: एफ। ज़पाटा

पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा, इस तरह के त्रिभुज का कर्ण है:

c = ^{22 2} + 1 ² = √4 + 1 = 25

अब कम्पास को 0 पर बिंदु के साथ रखा गया है, जहां सही त्रिकोण का एक कोने भी है। कम्पास पेंसिल का बिंदु शीर्ष A पर होना चाहिए।

परिधि का एक चाप खींचा जाता है जो वास्तविक रेखा तक कट जाता है। चूंकि परिधि के केंद्र और उस पर किसी भी बिंदु के बीच की दूरी त्रिज्या है, जो √5 के बराबर है, केंद्र से चौराहा बिंदु भी √5 है।

ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि is5 2 और 2.5 के बीच है। एक कैलकुलेटर हमें लगभग अनुमानित मूल्य देता है:

√5 = 2.236068

और इसलिए, उपयुक्त पक्षों के साथ एक त्रिकोण का निर्माण करके, अन्य तर्कहीन लोगों को स्थित किया जा सकता है, जैसे कि and7 और अन्य।

तर्कहीन संख्याओं का वर्गीकरण

अपरिमेय संख्या को दो समूहों में वर्गीकृत किया गया है:

-Algebraic

-परिवर्तन या पारलौकिक

बीजीय संख्या

बीजगणितीय संख्याएँ, जो अपरिमेय हो सकती हैं या नहीं भी हो सकती हैं, बहुपद समीकरणों के समाधान हैं जिनका सामान्य रूप है:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…। + ₁ एक्स + _{ओ ए} = 0

बहुपद समीकरण का एक उदाहरण इस तरह द्विघात समीकरण है:

x ³ - 2x = 0

यह दिखाना आसान है कि तर्कहीन संख्या easy2 इस समीकरण के समाधानों में से एक है।

पारद संख्या

दूसरी ओर, अनुदैर्ध्य संख्या, हालांकि वे अपरिमेय हैं, कभी भी बहुपद समीकरण के समाधान के रूप में उत्पन्न नहीं होते हैं।

अनुप्रयुक्त संख्याओं को अनुप्रयुक्त गणित में सबसे अधिक बार पाया जाता है due, परिधि और संख्या ई, या यूलर की संख्या के साथ अपने संबंधों के कारण, जो प्राकृतिक लघुगणक का आधार है।

व्यायाम

आकृति में इंगित स्थिति में एक काले वर्ग पर एक ग्रे वर्ग रखा गया है। काले वर्ग का क्षेत्रफल 64 सेमी ² माना जाता है । दोनों वर्गों की लंबाई कितनी है?

चित्रा 4. दो वर्ग, जिनमें से हम पक्षों की लंबाई का पता लगाना चाहते हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

जवाब दे दो

एल के साथ एक वर्ग का क्षेत्रफल है:

ए = एल ²

चूंकि काला वर्ग क्षेत्रफल में 64 सेमी ² है, इसका पक्ष 8 सेमी होना चाहिए।

यह माप ग्रे वर्ग के विकर्ण के समान है। पायथागॉरियन प्रमेय को इस विकर्ण पर लागू करना, और यह याद रखना कि एक वर्ग के पक्ष समान मापते हैं, हमारे पास होगा:

8 ² = एल _जी ² + एल _जी ²

जहां एल _जी ग्रे वर्ग का पक्ष है।

इसलिए: ² एल _जी ² = 8 ²

समानता के दोनों किनारों पर वर्गमूल लागू करना:

एल _जी = (8 / √2) सेमी

संदर्भ

1. कैराना, एम। 2019। प्री-यूनिवर्सिटी गणित मैनुअल। नेशनल यूनिवर्सिटी ऑफ लिटोरल।
2. फिग्यूरा, जे। 2000. गणित 9 वीं। डिग्री। CO-BO संस्करण
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5. विकिपीडिया। अपरिमेय संख्या। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org।