अभाज्य संख्याएँ: विशेषताएँ, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

रूढ़ अंक, भी प्रधानमंत्री निरपेक्ष, उन प्राकृतिक संख्या है जो और खुद से ही विभाज्य हैं 1. इस श्रेणी में 2 की तरह नंबर, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और कई बुलाया प्लस।

इसके बजाय, एक मिश्रित संख्या 1 से, और कम से कम एक अन्य संख्या से विभाज्य है। हमारे पास उदाहरण के लिए 12 है, जो 1, 2, 4, 6 और 12. द्वारा विभाज्य है। सम्मेलन द्वारा, 1 को प्रमुख संख्याओं की सूची में या यौगिकों की सूची में शामिल नहीं किया गया है।

चित्र 1. कुछ प्रमुख संख्याएँ। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

अभाज्य संख्याओं का ज्ञान प्राचीन काल से है; प्राचीन मिस्रवासी पहले से ही उनका उपयोग करते थे और वे निश्चित रूप से बहुत पहले से जाने जाते थे।

ये नंबर बहुत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि किसी भी प्राकृतिक संख्या को अभाज्य क्रमों के अलावा, प्राइम संख्याओं के उत्पाद द्वारा दर्शाया जा सकता है।

यह तथ्य पूरी तरह से अंकगणित के मौलिक सिद्धांत नामक एक प्रमेय में स्थापित है, जिसमें कहा गया है कि जो संख्याएं अभाज्य नहीं हैं वे जरूरी संख्याओं के उत्पादों से बनी हैं।

अभाज्य संख्याओं की विशेषताएँ

यहां प्राइम नंबर की मुख्य विशेषताएं हैं:

वे अनंत हैं, क्योंकि कोई फर्क नहीं पड़ता कि कितनी बड़ी संख्या है, आप हमेशा एक बड़ा पा सकते हैं।

-अगर एक अभाज्य संख्या p किसी अन्य संख्या को ठीक से विभाजित नहीं करता है, तो यह कहा जाता है कि p और a एक दूसरे के लिए प्रमुख हैं। जब ऐसा होता है, तो एक ही सामान्य विभाजक जो दोनों के पास है 1 है।

यह आवश्यक नहीं है कि यह एक पूर्ण प्रधान हो। उदाहरण के लिए, 5 अभाज्य है, और यद्यपि 12 नहीं है, दोनों संख्याएँ एक दूसरे के लिए अभाज्य हैं, क्योंकि दोनों में 1 एक सामान्य विभाजक के रूप में है।

-जब एक अभाज्य संख्या p, संख्या n की एक शक्ति को विभाजित करती है, तो यह n को भी विभाजित करती है। आइए 100 पर विचार करें, जो 10 की शक्ति है, विशेष रूप से 10 ² । ऐसा होता है कि 2 100 और 10 दोनों को विभाजित करता है।

-सभी अभाज्य संख्याएँ 2 को छोड़कर विषम हैं, इसलिए इसका अंतिम अंक 1, 3, 7 या 9 है। 5 को शामिल नहीं किया गया है, क्योंकि यद्यपि यह विषम और अभाज्य है, फिर भी यह किसी अन्य अभाज्य संख्या का अंतिम आंकड़ा नहीं है। वास्तव में 5 में समाप्त होने वाली सभी संख्याएँ इस के गुणक हैं और इसलिए वे अभाज्य नहीं हैं।

-यदि पी दो संख्याओं के उत्पाद का एक प्रमुख और भाजक है, तो p उनमें से एक को विभाजित करता है। उदाहरण के लिए, प्राइम नंबर 3 उत्पाद 9 x 11 = 99 को विभाजित करता है, क्योंकि 3 9 का विभाजक है।

कैसे पता करें कि कोई नंबर प्राइम है

प्राइमलिटी प्राइम होने के गुण को दिया गया नाम है। खैर, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फ़र्मेट (1601-1665) ने एक संख्या की मौलिकता को सत्यापित करने का एक तरीका पाया, तथाकथित छोटे फ़र्मेट प्रमेय में, जो इस तरह पढ़ता है:

"एक प्राइम नेचुरल नंबर p और 0 से अधिक किसी भी नेचुरल नंबर को देखते हुए, यह सच है कि एक ^p - a एक ^{p का} गुणक है, जब तक p अभाज्य है"।

हम छोटी संख्याओं का उपयोग करके इसे प्रमाणित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए मान लीजिए कि p = 4, जिसे हम पहले से ही जानते हैं कि वह अभाज्य नहीं है और पहले से ही = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

संख्या 1290 4 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 4 एक अभाज्य संख्या नहीं है।

चलिए अब p = 5 के साथ परीक्षण करते हैं, जो कि प्रधान है और हां = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 5 से विभाज्य है, क्योंकि कोई भी संख्या जो 0 या 5 में समाप्त होती है। वास्तव में 7760/5 = 1554। चूंकि फ़र्मेट की छोटी प्रमेय धारण करती है, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि 5 एक प्रमुख संख्या है।

प्रमेय के माध्यम से प्रमाण छोटी संख्याओं के साथ प्रभावी और प्रत्यक्ष है, जिसमें ऑपरेशन करना आसान है, लेकिन अगर हमें बड़ी संख्या के बारे में जानने के लिए कहा जाए तो क्या करना है?

उस स्थिति में, क्रमिक रूप से सभी छोटे अभाज्य संख्याओं में विभाजित किया जाता है, जब तक कि एक सटीक विभाजन नहीं मिलता है या भागफल भाजक से कम होता है।

यदि कोई विभाजन सटीक है, तो इसका मतलब है कि संख्या समग्र है और यदि भागफल भाजक से कम है, तो इसका मतलब है कि संख्या प्रमुख है। हम इसे हल किए गए अभ्यास 2 में अभ्यास में डाल देंगे।

अभाज्य संख्या ज्ञात करने के तरीके

असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं और उन्हें निर्धारित करने के लिए एक भी सूत्र नहीं है। हालाँकि, इनकी तरह कुछ प्रमुख संख्याएँ देख रहे हैं:

3, 7, 31, 127…

यह देखा गया है कि वे फॉर्म 2 ⁿ - 1 के हैं, n = 2, 3, 5, 7, 9 के साथ… हम यह सुनिश्चित करते हैं:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

लेकिन हम यह सुनिश्चित नहीं कर सकते हैं कि सामान्य तौर पर 2 ⁿ - 1 अभाज्य है, क्योंकि n के कुछ मूल्य हैं जिनके लिए यह काम नहीं करता है, उदाहरण के लिए 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

और संख्या 15 अभाज्य नहीं है, क्योंकि यह 5 में समाप्त होती है। हालाँकि, कंप्यूटर गणना द्वारा पाए जाने वाले सबसे बड़े ज्ञात अपराधों में से एक, 2 ⁿ - 1 के साथ है:

n = 57,885,161

Mersenne के सूत्र ने हमें आश्वासन दिया है कि 2 ^पी - 1 हमेशा से ही प्राइम है, जब तक कि पी प्राइम भी है। उदाहरण के लिए, 31 अभाज्य है, इसलिए यह निश्चित है कि 2 ³¹ - 1 भी अभाज्य है:

२ ^३१ - १ = २,१४,,४,३,६४ 2,

हालाँकि, सूत्र आपको केवल कुछ प्रमुख संख्याएँ निर्धारित करने की अनुमति देता है, सभी नहीं।

यूलर का सूत्र

निम्नलिखित बहुपद प्रधान संख्याओं को खोजने की अनुमति देता है बशर्ते कि n 0 से 39 के बीच हो:

P (n) = n ² + n + 41

बाद में हल किए गए अभ्यास अनुभाग में इसके उपयोग का एक उदाहरण है।

एराटोस्थनीज की छलनी

एराटोस्थनीज प्राचीन ग्रीस के एक भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे जो ईसा पूर्व तीसरी शताब्दी में रहते थे। उन्होंने उन प्रमुख संख्याओं को खोजने की एक चित्रमय विधि तैयार की, जिन्हें हम छोटी संख्याओं के साथ व्यवहार में ला सकते हैं, इसे एराटोस्थेनियन छलनी कहा जाता है (एक छलनी एक छलनी की तरह है)।

-इस नंबर को टेबल में रखा जाता है जैसे एनीमेशन में दिखाया गया है।

-यहां तक ​​कि संख्याओं को पार कर लिया जाता है, 2 को छोड़कर जो हमें पता है कि प्रमुख है। अन्य सभी इस के गुणक हैं और इसलिए प्रधान नहीं हैं।

3, 5, 7 और 11 के गुणकों को भी चिह्नित किया जाता है, इन सभी को छोड़कर क्योंकि हम जानते हैं कि वे प्रधान हैं।

4, 6, 8, 9 और 10 के गुणकों को पहले से ही चिह्नित किया गया है, क्योंकि वे मिश्रित हैं और इसलिए कुछ संकेतित अपराधों के गुणक हैं।

-Finally, अंक जो अचिह्नित रहते हैं वे प्रमुख हैं।

चित्रा 2. एराटोस्थनीज छलनी का एनीमेशन। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

अभ्यास

- अभ्यास 1

अभाज्य संख्याओं के लिए यूलर बहुपद का उपयोग करते हुए, 100 से 3 संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उपाय

यह बहुपद है जिसे यूलर ने प्राइम नंबर खोजने के लिए प्रस्तावित किया था, जो 0 और 39 के बीच n के मूल्यों के लिए काम करता है।

P (n) = n ² + n + 41

परीक्षण और त्रुटि से हम n का मान चुनते हैं, उदाहरण के लिए n = 8:

पी (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

चूंकि n = 8 एक अभाज्य संख्या 100 से अधिक है, तो हम n = 9 और n = 10 के लिए बहुपद का मूल्यांकन करते हैं:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

पी (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- व्यायाम २

पता करें कि क्या निम्नलिखित संख्याएँ प्रधान हैं:

a) १३

b) 191

का हल

फ़र्म के छोटे प्रमेय और कैलकुलेटर की मदद से 13 का उपयोग करने के लिए पर्याप्त छोटा है।

हम a = 2 का उपयोग करते हैं ताकि संख्या बहुत बड़ी न हो, हालाँकि a = 3, 4 या 5 का भी उपयोग किया जा सकता है:

२ ^१३ - २ =.१ ९ ०

8190 2 से विभाज्य है, क्योंकि यह सम है, इसलिए 13 अभाज्य है। पाठक = 3 के साथ एक ही परीक्षण करके इसे प्रमाणित कर सकता है।

समाधान b

191 प्रमेय और एक सामान्य कैलकुलेटर के साथ साबित करने के लिए बहुत बड़ा है, लेकिन हम प्रत्येक अभाज्य संख्या के बीच विभाजन पा सकते हैं। हम 2 से विभाजन को छोड़ देते हैं क्योंकि 191 भी नहीं है और विभाजन सटीक या भागफल 2 से कम नहीं होगा।

हम 3 से विभाजित करने का प्रयास करते हैं:

191/3 = 63,666…

और यह सटीक नहीं देता है, और न ही भाजक से कम है (63,666… 3 से अधिक है)

हम इस प्रकार 191 को 5, 7, 11, 13 के बीच विभाजित करने की कोशिश कर रहे हैं और सटीक विभाजन नहीं पहुंचा है, न ही भागफल से कम भागफल। जब तक इसे 17 से विभाजित नहीं किया जाता है:

191/17 = 11, 2352…

चूंकि यह सटीक नहीं है और 11.2352… 17 से कम है, इसलिए संख्या 191 एक प्रमुख है।

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 1986. अंकगणित। संस्करण और वितरण कोडेक्स।
2. प्रीतो, सी। प्राइम नंबर। से बरामद: paginas.matem.unam.mx
3. अभाज्य संख्याओं के गुण। से पुनर्प्राप्त: mae.ufl.edu।
4. Smartick। प्रमुख संख्या: इरेटोस्थनीज छलनी के साथ उन्हें कैसे खोजना है। से पुनर्प्राप्त: smartick.es।
5. विकिपीडिया। अभाज्य संख्या। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org।