वास्तविक संख्या: इतिहास, उदाहरण, गुण, संचालन - गणित - 2025

वास्तविक संख्या संख्यात्मक सेट कि प्राकृतिक संख्या को पूर्णांक, परिमेय और अपरिमेय शामिल गठन। उन्हें प्रतीक ℝ या केवल R द्वारा दर्शाया जाता है और विज्ञान, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र में उनका दायरा ऐसा है कि जब "संख्या" की बात की जाती है, तो यह लगभग मान लिया जाता है कि यह एक वास्तविक संख्या है।

प्राचीन काल से वास्तविक संख्याओं का उपयोग किया जाता रहा है, हालांकि उन्हें यह नाम नहीं दिया गया था। पहले से ही उस समय से जब पाइथागोरस ने अपना प्रसिद्ध प्रमेय विकसित किया था, संख्याएँ उत्पन्न हुईं जिन्हें प्राकृतिक संख्या या पूर्णांक के उद्धरण के रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता था।

चित्र 1. वेन आरेख यह दर्शाता है कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में अन्य संख्याओं के सेट कैसे होते हैं। स्रोत> विकिमीडिया कॉमन्स

संख्याओं के उदाहरण √2, √3, और √ हैं। इन संख्याओं को तर्कहीन संख्याओं के विपरीत कहा जाता है, जो कि पूरे संख्याओं के उद्धरणों से आती हैं। इसलिए यह एक संख्यात्मक सेट आवश्यक था जो संख्याओं के दोनों वर्गों को शामिल करता है।

"वास्तविक संख्या" शब्द महान गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस (1596-1650) द्वारा बनाया गया था, दो प्रकार की जड़ों के बीच भेद करने के लिए जो एक बहुपद समीकरण को हल करने से उत्पन्न हो सकते हैं।

इनमें से कुछ जड़ें नकारात्मक संख्याओं की भी हो सकती हैं, डेसकार्टेस ने इन "काल्पनिक संख्याओं" को कहा और जो नहीं थे, वे वास्तविक संख्याएं थीं।

संप्रदाय समय के साथ बना रहा, दो बड़े संख्यात्मक सेटों को जन्म दिया: वास्तविक संख्या और जटिल संख्या, एक बड़ा सेट जिसमें वास्तविक संख्या, काल्पनिक संख्या और वे भाग शामिल हैं जो वास्तविक और भाग काल्पनिक हैं।

वास्तविक संख्या का विकास 1872 तक जारी रहा, गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड (1831-1936) ने औपचारिक रूप से तथाकथित डेडेकिंड कटौती के माध्यम से वास्तविक संख्याओं के सेट को परिभाषित किया। उनके काम का संश्लेषण एक लेख में प्रकाशित हुआ था जिसमें उसी वर्ष प्रकाश देखा गया था।

वास्तविक संख्या के उदाहरण

नीचे दी गई तालिका वास्तविक संख्याओं के उदाहरण दिखाती है। इस सेट में प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय और अपरिमेय के रूप में उपसमुच्चय है। इन सेटों की कोई भी संख्या, अपने आप में, एक वास्तविक संख्या है।

इसलिए 0, नकारात्मक, सकारात्मक, भिन्न, और दशमलव वास्तविक संख्या हैं।

चित्र 2. वास्तविक संख्याओं के उदाहरण प्राकृतिक, पूर्णांक, तर्कसंगत, अपरिमेय और पारवर्ती हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

वास्तविक रेखा पर वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व

वास्तविक संख्याओं को वास्तविक रेखा आर पर दर्शाया जा सकता है, जैसा कि आंकड़े में दिखाया गया है। यह आवश्यक नहीं है कि 0 हमेशा मौजूद हो, हालांकि यह जानना सुविधाजनक है कि नकारात्मक वास्तविक बाईं ओर हैं और सकारात्मक दाईं ओर हैं। तो यह एक उत्कृष्ट बेंचमार्क है।

वास्तविक रेखा पर, एक पैमाना लिया जाता है, जिसमें पूर्णांक पाए जाते हैं:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…। तीर इंगित करता है कि रेखा अनंत तक फैली हुई है। लेकिन यह सब नहीं है, किसी भी अंतराल में, हम हमेशा अनंत वास्तविक संख्या भी पाएंगे।

वास्तविक संख्या क्रम में दर्शाई गई हैं। शुरू करने के लिए पूर्णांकों का क्रम है, जिसमें सकारात्मक हमेशा 0 से अधिक होते हैं, जबकि नकारात्मक कम होते हैं।

यह क्रम वास्तविक संख्याओं के भीतर रखा गया है। निम्नलिखित असमानताओं को एक उदाहरण के रूप में दिखाया गया है:

a) -1/2 <<2

b) ई <π

c) π> -1/2

चित्र 3.- वास्तविक रेखा। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

वास्तविक संख्या के गुण

-Real नंबरों में प्राकृतिक संख्या, पूर्णांक, परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या शामिल हैं।

-इस अतिरिक्त की संपत्तियों की संपत्ति पूरी हो गई है: जोड़ का क्रम राशि में परिवर्तन नहीं करता है। यदि a और b दो वास्तविक संख्याएँ हैं, तो यह हमेशा सही होता है:

ए + बी = बी + ए

-0 राशि का तटस्थ तत्व है: a + 0 = a

-समय पर साहचर्य संपत्ति पूरी होती है। यदि a, b और c वास्तविक संख्या हैं: (a + b) + c = a + (b + c)।

-A के लिए एक वास्तविक संख्या के विपरीत।

-इस घटाव को विपरीत के योग के रूप में परिभाषित किया गया है: a - b = a + (-b)।

-उत्पाद की सराहनीय संपत्ति पूरी हो गई है: कारकों का क्रम उत्पाद को परिवर्तित नहीं करता है: ab = ba

उत्पाद में साहचर्य गुण भी लागू होता है: (ab).c = a (Bc)

-1 गुणन का उदासीन तत्व है: a.1 = a

-गुणवत्ता के वितरण गुण जोड़ के संबंध में मान्य है: ए। (b + c) = ab + ac

-Division द्वारा 0 परिभाषित नहीं है।

-एक वास्तविक संख्या a, 0 को छोड़कर, ^-1 का गुणक व्युत्क्रम है जैसे कि ^{-1 -1} = 1।

-यदि एक वास्तविक संख्या है: एक ⁰ = 1 और ¹ = a।

-एक वास्तविक संख्या का पूर्ण मान या मापांक उक्त संख्या और 0 के बीच की दूरी है।

वास्तविक संख्या के साथ संचालन

वास्तविक संख्याओं के साथ आप उन संचालन को कर सकते हैं जो अन्य संख्यात्मक सेटों के साथ किए जाते हैं, जिसमें जोड़, घटाव, गुणा, भाग, सशक्तीकरण, रेडिएशन, लघुगणक और बहुत कुछ शामिल हैं।

हमेशा की तरह, 0 से विभाजन को परिभाषित नहीं किया गया है, न ही ऋणात्मक संख्याओं या 0 के लघुगणक करते हैं, हालांकि यह सच है कि लॉग 1 = 0 है और 0 और 1 के बीच संख्याओं के लघुगणक नकारात्मक हैं।

अनुप्रयोग

सभी प्रकार की स्थितियों के लिए वास्तविक संख्या के अनुप्रयोग अत्यंत विविध हैं। वास्तविक विज्ञान, कंप्यूटर विज्ञान, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान में कई समस्याओं के जवाब के रूप में वास्तविक संख्याएं दिखाई देती हैं।

सभी प्रकार के परिमाण और मात्राएं जैसे कि दूरी, समय, बल, ध्वनि की तीव्रता, धन और कई और अधिक, वास्तविक संख्याओं में उनकी अभिव्यक्ति है।

टेलीफोन सिग्नल, एक वीडियो की छवि और ध्वनि का संचरण, एक एयर कंडीशनर, एक हीटर या रेफ्रिजरेटर का तापमान डिजिटल रूप से नियंत्रित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है भौतिक मात्राओं को संख्यात्मक अनुक्रमों में बदलना।

इंटरनेट पर बैंकिंग लेनदेन करते समय या त्वरित संदेश सेवा से परामर्श करने पर भी ऐसा ही होता है। असली संख्या हर जगह हैं।

व्यायाम हल किया

हम अभ्यासों के साथ देखने जा रहे हैं कि ये संख्याएँ उन सामान्य परिस्थितियों में कैसे काम करती हैं जिनका हम दैनिक आधार पर सामना करते हैं।

अभ्यास 1

डाकघर केवल उन पैकेजों को स्वीकार करता है जिनके लिए लंबाई, प्लस माप माप 108 इंच से अधिक नहीं है। इसलिए, प्रदर्शित पैकेज को स्वीकार किए जाने के लिए, इसे पूरा किया जाना चाहिए:

एल + 2 (x + y) + 108

a) एक पैकेज जो 6 इंच चौड़ा, 8 इंच ऊँचा, और 5 फीट लंबा होगा?

b) 2 x 2 x 4 ft ^{3 को} मापने वाले एक के बारे में क्या ?

c) एक पैकेज के लिए उच्चतम स्वीकार्य ऊंचाई क्या है जिसका आधार वर्ग है और 9 x 9 इंच ^{2 है} ?

को उत्तर

एल = 5 फीट = 60 इंच

x = 6 इंच

y = 8 इंच

हल करने के लिए ऑपरेशन है:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) इंच = 60 + 2 x 14 इंच = 60 + 28 ° = 1 इंच

पैकेज स्वीकार किया जाता है।

उत्तर b

इस पैकेट के आयाम पैकेट a) से छोटे हैं, इसलिए वे दोनों इसे बनाते हैं।

उत्तर c

इस पैकेज में:

x = L = 9 इंच

यह देखा जाना चाहिए कि:

9+ 2 (9 + y) + 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

और inches 40.5 इंच

संदर्भ

1. कैराना, एम। 2019। प्री-यूनिवर्सिटी गणित मैनुअल। नेशनल यूनिवर्सिटी ऑफ लिटोरल।
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3. फिग्यूरा, जे। 2000. गणित 9 वीं। डिग्री। CO-BO संस्करण
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