ट्रान्सेंडेंट संख्या: वे क्या हैं, सूत्र, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

अबीजीय संख्या उन है कि नहीं कर सकते हैं किया जा के रूप में प्राप्त एक बहुपद समीकरण का परिणाम है। ट्रान्सेंडेंट संख्या के विपरीत एक बीजीय संख्या है, जो कि प्रकार के बहुपद समीकरण का हल है:

एक _एन एक्स ^एन + एक _n-1 एक्स ^n-1 +…… + एक ₂ x ² + एक ₁ x + a ₀ = 0

जहां गुणांक _n, _n-1,….. ₂, ₁, ₁, ₀ तर्कसंगत संख्याएँ हैं, जिन्हें बहुपद के गुणांक कहते हैं। यदि कोई संख्या x पिछले समीकरण का हल है, तो वह संख्या पारवर्ती नहीं है।

चित्र 1. विज्ञान में दो संख्याओं का बहुत महत्व है। स्रोत: publicdomainpictures.net

हम कुछ संख्याओं का विश्लेषण करेंगे और देखेंगे कि क्या वे पारगमन हैं या नहीं:

a) 3 पारगमन नहीं है क्योंकि यह x - 3 = 0 का समाधान है।

b) -2 को ट्रांसेंडेंट नहीं किया जा सकता है क्योंकि यह x + 2 = 0 का समाधान है।

c) 3x 3x - 1 = 0 का हल है

d) समीकरण x ² - 2x + 1 = 0 का एक हल -12 -1 है, जिससे परिभाषा के अनुसार संख्या पारगमन नहीं है।

e) न तो √2 है क्योंकि यह समीकरण x ² - 2 = 0. का परिणाम है। स्क्वेयरिंग gives2 परिणाम 2 देता है, जो 2 बराबर शून्य से घटाया जाता है। तो not2 एक अपरिमेय संख्या है लेकिन यह पारवर्ती नहीं है।

ट्रान्सेंडेंट नंबर क्या हैं?

समस्या यह है कि उन्हें प्राप्त करने के लिए कोई सामान्य नियम नहीं है (हम बाद में एक तरह से कहेंगे), लेकिन सबसे प्रसिद्ध में से कुछ नंबर पी और नेपर नंबर हैं, जिन्हें क्रमशः π और ई द्वारा दर्शाया गया है।

संख्या π

संख्या number स्वाभाविक रूप से यह देखते हुए प्रकट होती है कि किसी वृत्त की परिधि P और उसके व्यास D के बीच गणितीय भागफल, चाहे वह एक छोटा या बड़ा वृत्त हो, हमेशा एक ही संख्या देता है, जिसे pi कहा जाता है:

π = पी / डी 14 3.14159 ……

इसका मतलब है कि अगर परिधि के व्यास को माप की इकाई के रूप में लिया जाता है, तो उन सभी के लिए, बड़े या छोटे, परिधि हमेशा P = 3.14… = π होगी, जैसा कि चित्र 2 में एनीमेशन में देखा जा सकता है।

चित्रा 2. एक वृत्त की परिधि की लंबाई व्यास की लंबाई से पीआई गुना है, जिसमें पाई लगभग 3.1416 है।

अधिक दशमलव निर्धारित करने के लिए, पी और डी को अधिक सटीकता के साथ मापना आवश्यक है और फिर भागफल की गणना करें, जो गणितीय रूप से किया गया है। निष्कर्ष यह है कि भागफल के दशमलव का कोई अंत नहीं है और कभी भी खुद को दोहराता नहीं है, इसलिए पारगमन होने के अलावा संख्या cend भी तर्कहीन है।

एक अपरिमेय संख्या एक संख्या है जिसे दो पूर्ण संख्याओं के विभाजन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

यह ज्ञात है कि प्रत्येक पारलौकिक संख्या अपरिमेय है, लेकिन यह सत्य नहीं है कि सभी अपरिमेय संख्याएँ पारवर्ती हैं। उदाहरण के लिए trans2 अपरिमेय है, लेकिन यह पारगमन नहीं है।

चित्रा 3. ट्रान्सेंडेंट संख्या अपरिमेय है, लेकिन कांसेप्ट सही नहीं है।

संख्या ई

ट्रान्सेंडेंट संख्या e प्राकृतिक लघुगणक का आधार है और इसका दशमलव सन्निकटन है:

और ≈ 2.718281828459045235360…।

यदि आप नंबर ई को बिल्कुल लिखना चाहते हैं, तो अनंत दशमलव लिखना आवश्यक होगा, क्योंकि प्रत्येक पारगमन संख्या तर्कहीन है, जैसा कि पहले कहा गया था।

ई के पहले दस अंक याद रखना आसान है:

2,7 1828 1828 और हालांकि एक दोहरावदार पैटर्न का पालन करना प्रतीत होता है, यह नौ से अधिक क्रम के दशमलव में हासिल नहीं किया जाता है।

ई की एक और अधिक औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है:

इसका मतलब यह है कि इस सूत्र में दर्शाए गए ऑपरेशन को निष्पादित करके ई का सटीक मूल्य प्राप्त किया जाता है, जब प्राकृतिक संख्या एन अनंत तक जाती है।

यह बताता है कि हम केवल ई के सन्निकटन क्यों प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि कोई भी संख्या n कितनी बड़ी संख्या में रखी गई है, एक बड़ा n हमेशा पाया जा सकता है।

आइए हम अपने आप में कुछ अनुमानों को देखें:

-जब n = 100 तब (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2.70481 जो शायद ही पहले दशमलव में ई के "सही" मान के साथ मेल खाता हो।

-यदि आप n = 10,000 चुनते हैं, तो आपके पास (1 + 1 / 10,000) ^10,000 = 2,71815 है, जो पहले तीन दशमलव स्थानों में ई के "सटीक" मूल्य के साथ मेल खाता है।

ई के "सही" मूल्य प्राप्त करने के लिए इस प्रक्रिया का असीम रूप से पालन करना होगा। मुझे नहीं लगता कि हमारे पास इसे करने का समय है, लेकिन चलो एक और प्रयास करें:

चलो n = 100,000 का उपयोग करें:

(1 + 1 / 100,000) ^100,000 = 2.7182682372

इसमें केवल चार दशमलव स्थान हैं जो सटीक माने गए मान से मेल खाते हैं।

महत्वपूर्ण बात यह समझना है कि ई _{n की} गणना करने के लिए चुने गए n का मूल्य जितना अधिक होगा, उतना ही सही मूल्य होगा। लेकिन वह सच्चा मूल्य तभी होगा जब n अनंत होगा।

चित्रा 4. यह ग्राफिकल रूप से दिखाया गया है कि n का मान कितना अधिक है, ई के करीब है, लेकिन सटीक मान n पर पहुंचने के लिए अनंत होना चाहिए।

अन्य महत्वपूर्ण संख्या

इन प्रसिद्ध नंबरों के अलावा अन्य पारलौकिक संख्याएं हैं, उदाहरण के लिए:

- 2 ^√2

आधार 10 में चेम्परनोई संख्या:

C_10 = 0.12345678910111213141515161718192021…।

आधार 2 में चम्पारणी संख्या:

C_2 = 0.1101110010110111…।

-गामा संख्या-या यूलर-मसचेरोनी स्थिरांक:

77 8 0.577 215 664 901 532 860 606

जो निम्नलिखित गणना करके प्राप्त किया जाता है:

½ + 1 + ½ + ⅓ +… +… + 1 / n - ln (n)

जब n बहुत बड़ा है। गामा संख्या का सटीक मान रखने के लिए, गणना करना आवश्यक होगा ताकि एन अनन्तता के साथ गणना की जा सके। कुछ ऐसा ही हमने ऊपर किया।

और कई और अधिक संख्या में हैं। रूस में जन्मे और 1845 और 1918 के बीच रहने वाले महान गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर ने दिखाया कि पारगमन संख्या का सेट बीजगणितीय संख्याओं के सेट से बहुत अधिक है।

सूत्र जहाँ पारगमन संख्या। प्रकट होती है

परिधि की परिधि

पी = is डी = 2, आर, जहां पी परिधि है, डी व्यास, और आर परिधि के त्रिज्या। यह याद रखना चाहिए कि:

-इस परिधि का व्यास सबसे लंबा खंड है जो एक ही के दो बिंदुओं से जुड़ता है और जो हमेशा इसके केंद्र से गुजरता है,

-इस त्रिज्या का व्यास आधा है और यह वह खंड है जो केंद्र से किनारे तक जाता है।

एक वृत्त का क्षेत्रफल

ए = ² आर ² = ¼ π डी ²

एक गोले की सतह

एस = 4 = आर ^2।

हां। हालांकि यह ऐसा नहीं लग सकता है, एक गोले की सतह एक समान त्रिज्या के चार घेरे के समान है।

गोले का आयतन

V = 4/3 ³ R ³

अभ्यास

- अभ्यास 1

"एक्सटिका" पिज़्ज़ेरिया तीन व्यास के पिज्जा बेचता है: छोटे 30 सेमी, मध्यम 37 सेमी और बड़े 45 सेमी। एक लड़का बहुत भूखा है और उसने महसूस किया कि दो छोटे पिज्जा की कीमत एक ही है। दो छोटे पिज्जा या एक बड़े एक को खरीदने के लिए उसके लिए बेहतर क्या होगा?

चित्र 5.- एक पिज्जा का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है, pi आनुपातिकता का स्थिरांक होता है। स्रोत: पिक्साबे

उपाय

बड़ा क्षेत्र, पिज्जा की मात्रा जितनी अधिक होगी, इस कारण से एक बड़े पिज्जा के क्षेत्र की गणना की जाएगी और दो छोटे पिज्जा की तुलना में:

बड़े पिज्जा का क्षेत्रफल = ¼ ² D ² = ⋅ ⋅3.1416 245 ² = 1590.44 cm ²

छोटे पिज्जा का क्षेत्रफल = ¼ π d ² = ⋅ ⋅3.1416 230 ² = 706.86 cm ²

इसलिए दो छोटे पिज्जा का एक क्षेत्र होगा

2 x 706.86 = 1413.72 सेमी ² ।

यह स्पष्ट है: आपके पास पिज्जा की एक बड़ी राशि दो छोटे लोगों की तुलना में एक बड़ी खरीद होगी।

- व्यायाम २

"एक्जिटिका" पिज़्ज़ेरिया एक गोलार्ध पिज्जा को 30 सेमी की त्रिज्या के साथ एक आयताकार के रूप में बेचता है, जो प्रत्येक पक्ष पर 30 x 40 सेमी मापने वाला एक आयताकार होता है। कौन सा आप चुनेंगे?

चित्र 6.- गोलार्ध की सतह आधार की गोलाकार सतह से दोगुनी होती है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

उपाय

जैसा कि पिछले भाग में बताया गया है, एक गोले की सतह एक ही व्यास के एक चक्र के चार गुना है, इसलिए एक गोलार्ध 30 सेमी व्यास में होगा:

30 सेमी गोलार्द्ध पिज्जा: 1413.72 सेमी ² (एक ही व्यास के दो बार एक परिपत्र)

आयताकार पिज्जा: (30 सेमी) x (40 सेमी) = 1200 सेमी ² ।

गोलार्ध पिज्जा का एक बड़ा क्षेत्र है।

संदर्भ

1. फर्नांडीज जे। संख्या ई। उत्पत्ति और जिज्ञासा। से पुनर्प्राप्त: soymatematicas.com
2. गणित का आनंद लें। यूलर का नंबर। से पुनर्प्राप्त: enjoylasmatematicas.com।
3. फिगुएरा, जे। 2000. गणित प्रथम। विविध। CO-BO संस्करण
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