ऑर्थोहेड्रोन: सूत्र, क्षेत्र, मात्रा, विकर्ण, उदाहरण - गणित - 2025

Orthohedron एक अनुमापी या तीन आयामी ज्यामितीय आंकड़ा है कि छह आयताकार चेहरे होने की विशेषता है, ताकि विपरीत चेहरे समानांतर विमानों में कर रहे हैं और समान या अनुकूल आयताकार होते हैं। दूसरी ओर, दिए गए चेहरे से सटे चेहरे विमानों में होते हैं जो प्रारंभिक चेहरे के लंबवत होते हैं।

ऑर्थोहेड्रोन को एक आयताकार आधार के साथ एक ऑर्थोगोनल प्रिज्म के रूप में भी माना जा सकता है, जिसमें एक आम बढ़त उपाय 90º से सटे दो चेहरों के विमानों द्वारा गठित डायहेड्रल कोण हैं। दो चेहरों के बीच के विकर्ण कोण को चेहरों के चौराहे पर मापा जाता है, जो उनके लिए लंबवत समतल होते हैं।

चित्र 1. ऑर्थोहेड्रॉन। स्रोत: जोगेब्रा के साथ एफ।

इसी तरह, ऑर्थोहेड्रोन एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज है, क्योंकि इस तरह से समानांतर चतुर्भुज को छह चेहरों के वॉल्यूमेट्रिक आंकड़े के रूप में परिभाषित किया गया है, जो दो के समानांतर दो हैं।

किसी भी समानांतर चतुर्भुज में चेहरे समांतर चतुर्भुज होते हैं, लेकिन आयताकार समानांतर में चेहरे को आयताकार होना चाहिए।

ऑर्टोहेड्रोन के हिस्से

एक पॉलीहेड्रोन के भाग, जैसे ऑर्थोहेड्रोन, हैं:

-Aristas

-Vertices

-चेहरे के

ऑर्थोहेड्रोन के एक चेहरे के दो किनारों के बीच का कोण एक दूसरे के दो किनारों से सटे हुए दो कोणों से मिलकर एक समकोण बनाता है। निम्नलिखित छवि प्रत्येक अवधारणा को स्पष्ट करती है:

चित्रा 2. एक ortohedron के भाग। स्रोत: जोगेब्रा के साथ एफ।

-एक ऑर्टोहेड्रॉन में 6 चेहरे, 12 किनारे और 8 कोने होते हैं।

-किसी भी दो किनारों के बीच का कोण समकोण है।

-किसी भी दो चेहरों के बीच का डायहेड्रल कोण भी सही है।

-प्रत्येक चेहरे में चार कोने होते हैं और प्रत्येक शीर्ष पर तीन पारस्परिक रूप से चेहरे होते हैं।

ऑर्थोहेड्रॉन सूत्र

क्षेत्र

ऑर्टोहेड्रोन की सतह या क्षेत्र इसके चेहरे के क्षेत्रों का योग है।

यदि एक शिखर पर मिलने वाले तीन किनारों के माप ए, बी और सी हैं, जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है, तो सामने वाले हिस्से में क्षेत्र c andb है और नीचे के चेहरे में भी क्षेत्र c⋅b है।

फिर दो पार्श्व चेहरों का क्षेत्रफल एक-एक होता है। और अंत में, फर्श और छत के चेहरों में एक-एक क्षेत्र है।

चित्रा 3. आयामों के ऑर्थोहेड्रॉन ए, बी, सी। आंतरिक विकर्ण डी और बाहरी विकर्ण डी।

सभी चेहरों के क्षेत्र को जोड़ना:

एक सामान्य कारक लेना और शर्तों को क्रमबद्ध करना:

आयतन

यदि ortohedron को प्रिज़्म के रूप में माना जाता है, तो इसकी मात्रा की गणना इस तरह की जाती है:

इस मामले में, आयाम c और a को आयताकार आधार के रूप में लिया जाता है, इसलिए आधार का क्षेत्र c.a है।

ऊँचाई किनारों की लंबाई बी द्वारा दी जाती है, जो ऑर्थोगोनल के किनारों से ए और सी के चेहरे की ओर होती है।

आधार के क्षेत्रफल (alyingc) को ऊँचाई से गुणा करने से ortohedron का आयतन V होता है:

आंतरिक विकर्ण

ऑर्थोहेड्रॉन में दो प्रकार के विकर्ण होते हैं: बाहरी विकर्ण और आंतरिक विकर्ण।

बाहरी विकर्ण आयताकार चेहरों पर होते हैं, जबकि आंतरिक विकर्ण ऐसे खंड होते हैं जो दो विपरीत कोणों से जुड़ते हैं, विपरीत छोरों से समझा जा रहा है जो किसी भी किनारे को साझा नहीं करते हैं।

एक ऑर्थोहेड्रॉन में चार आंतरिक विकर्ण होते हैं, जो सभी समान माप के होते हैं। आंतरिक विकर्णों की लंबाई सही त्रिकोण के लिए पायथागॉरियन प्रमेय को लागू करके प्राप्त की जा सकती है।

ऑर्थोहेड्रोन के फर्श के चेहरे के बाहरी विकर्ण की लंबाई पाइथागोरस संबंध को पूरा करती है:

d ² = a ² + c ²

इसी प्रकार, माप D का आंतरिक विकर्ण पाइथोगोरियन संबंध को पूरा करता है:

डी ² = डी ² + बी ² ।

हमारे पास पहले के दो भावों को मिलाकर:

डी ² = एक ² + सी ² + बी ² ।

अंत में, ऑर्थोहेड्रोन के किसी भी आंतरिक विकर्ण की लंबाई निम्न सूत्र द्वारा दी गई है:

डी = a (एक ² + बी ² + सी ²)।

उदाहरण

- उदाहरण 1

एक ईंटलेयर एक ऑर्थोहेड्रॉन के आकार में एक टैंक बनाता है जिसके आंतरिक आयाम हैं: आधार में 6 mx 4 m और ऊंचाई में 2 m। यह पूछता है:

क) टैंक की आंतरिक सतह का निर्धारण करें यदि यह शीर्ष पर पूरी तरह से खुला है।

बी) टैंक के आंतरिक स्थान की मात्रा की गणना करें।

ग) एक आंतरिक विकर्ण की लंबाई का पता लगाएं।

d) लीटर में टैंक की क्षमता क्या है?

का हल

हम आयताकार आधार के आयामों को a = 4 m और c = 6 m और ऊंचाई को b = 2 m के रूप में लेंगे

दिए गए आयामों के साथ एक ortohedron का क्षेत्र निम्नलिखित संबंधों द्वारा दिया गया है:

A = 2 + (a⋅b + b⋅c + c)a) = 2 4 (4 m⋅2 m + 2 m 66 m + 6 m⋅4 m)

यानी:

ए = ² + (8 मीटर ² + 12 मीटर ² + 24 मीटर ²) = ² 44 (44 मीटर ²) = 88 मीटर ²

पिछला परिणाम दिए गए आयामों के साथ बंद ऑर्थोहेड्रोन का क्षेत्र है, लेकिन चूंकि यह एक टैंक है जो इसके ऊपरी हिस्से में पूरी तरह से खुला है, टैंक की आंतरिक दीवारों की सतह को प्राप्त करने के लिए, लापता ढक्कन के क्षेत्र को घटाया जाना चाहिए, जो है:

ca = 6 m m 4 m = 24 m ² ।

अंत में, टैंक की आंतरिक सतह होगी: S = 88 मीटर ² - 24 मीटर ² = 64 मीटर ² ।

समाधान b

टैंक के आंतरिक आयतन को टैंक के आंतरिक आयामों के ऑर्थोहेड्रॉन के आयतन द्वारा दिया जाता है:

वी = a⋅b⋅c = 4 मीटर ⋅ 2 मीटर ⋅ 6 मीटर = 48 मीटर ³ ।

समाधान c

टैंक के इंटीरियर के आयामों के साथ एक ऑक्टाहेड्रोन के आंतरिक विकर्ण की लंबाई डी द्वारा दी गई है:

+ (एक ² + बी ² + सी ²) = (((4 मीटर) ² + (2 मीटर) ² + (6 मीटर ²)

हमारे पास बताए गए ऑपरेशनों को करना:

डी = 16 (16 मीटर ² + 4 मीटर ² + 36 मीटर ²) = 56 (56 मीटर ²) = 2 m (14) एम = 7.48 मीटर।

समाधान d

लीटर में टैंक की क्षमता की गणना करने के लिए, यह जानना आवश्यक है कि एक घन डेसीमीटर की मात्रा एक लीटर की क्षमता के बराबर है। इसकी गणना पहले क्यूबिक मीटर में मात्रा में की गई थी, लेकिन इसे क्यूबिक डेसीमीटर और फिर लीटर में बदलना होगा:

वी = 48 एम ³ = 48 (10 डीएम) ³ = 4,800 डीएम ³ = 4,800 एल

- व्यायाम २

एक ग्लास एक्वैरियम में एक क्यूबिक आकार होता है जिसमें एक पक्ष 25 सेमी होता है। मीटर ² में क्षेत्र, लीटर में मात्रा और सेमी में एक आंतरिक विकर्ण की लंबाई निर्धारित करें ।

चित्रा 4. घन के आकार का ग्लास मछलीघर।

उपाय

क्षेत्र की गणना समान ऑर्थोएड्रोन सूत्र का उपयोग करके की जाती है, लेकिन यह ध्यान में रखते हुए कि सभी आयाम समान हैं:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6 ² a ² = 6 25 (25 सेमी) ² = 1,250 सेमी ²

घन का आयतन किसके द्वारा दिया गया है:

वी = एक ³ = (25 सेमी) ³ = 15.625 सेमी ³ = 15.625 (0.1 डीएम) ³ = 15.625 डीएम ³ = 15.625 एल।

अंदर के विकर्ण की लंबाई डी है:

डी = √ (3 ए ²) = 25√ (3) सेमी = 43.30 सेमी।

संदर्भ

1. एरियस जे। जियोगे: प्रिज्मा से पुनर्प्राप्त: youtube.com।
2. Calculation.cc। व्यायाम और क्षेत्रों और संस्करणों की समस्याओं को हल किया। से पुनर्प्राप्त: कैलकुलेट करें।
3. GEOGEBRA (IHM) के साथ साल्वाडोर आर। पिरामिड + ऑर्थोहेड्रॉन। से पुनर्प्राप्त: youtube.com
4. वीसस्टीन, एरिक। "Orthohedron"। मैथवर्ल्ड। वोल्फ्राम रिसर्च।
5. विकिपीडिया। Orthohedron से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com