पापोमुदास: उन्हें कैसे हल करें और व्यायाम करें - गणित - 2025

Papomudas बीजीय भाव के हल के लिए एक विधि है। इसके योग संचालन की प्राथमिकता के क्रम को दर्शाते हैं: कोष्ठक, शक्तियाँ, गुणा, भाग, जोड़ और घटाव। इस शब्द का उपयोग करके आप आसानी से उस क्रम को याद कर सकते हैं जिसमें कई कार्यों से बना एक अभिव्यक्ति को हल करना होगा।

आम तौर पर, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में आप एक साथ कई अंकगणितीय संचालन पा सकते हैं, जैसे कि जोड़, घटाव, गुणा और भाग, जो भिन्न, शक्तियां और मूल भी हो सकते हैं। उन्हें हल करने के लिए एक प्रक्रिया का पालन करना आवश्यक है जो गारंटी देता है कि परिणाम सही होंगे।

एक सार्वभौमिक अभिव्यक्ति जो इन ऑपरेशनों के संयोजन से बनी होती है, को क्रमबद्ध प्राथमिकता के अनुसार हल किया जाना चाहिए, जिसे ऑपरेशन का पदानुक्रम भी कहा जाता है, जो सार्वभौमिक सम्मेलनों में बहुत पहले स्थापित किया गया था। इस प्रकार, सभी लोग एक ही प्रक्रिया का पालन कर सकते हैं और एक ही परिणाम प्राप्त कर सकते हैं।

विशेषताएँ

पापोमुदास एक मानक प्रक्रिया है जो एक अभिव्यक्ति को हल करते समय होने वाले आदेश को स्थापित करती है, जो इसके अलावा, घटाव, गुणन और विभाजन जैसे संचालन के संयोजन से बना है।

यह प्रक्रिया उन परिणामों के समय दूसरों के संबंध में एक ऑपरेशन की प्राथमिकता का क्रम स्थापित करती है; अर्थात्, प्रत्येक ऑपरेशन को हल करने के लिए एक शिफ्ट या श्रेणीबद्ध स्तर होता है।

जिस क्रम में एक अभिव्यक्ति के विभिन्न कार्यों को हल किया जाना चाहिए, वह शब्द पापोमुदास के प्रत्येक संक्षिप्त विवरण द्वारा दिया गया है। इस प्रकार, आपको निम्न करना होगा:

1- पा: कोष्ठक, कोष्ठक या ब्रेसिज़।

2- पो: शक्तियां और जड़ें।

3- मु: गुणा।

4- डी: विभाजन।

5- ए: परिवर्धन या परिवर्धन।

6- एस: घटाव या घटाव।

इस प्रक्रिया को अंग्रेजी में PEMDAS भी कहा जाता है; इस शब्द को आसानी से याद रखने के लिए, यह वाक्यांश के साथ जुड़ा हुआ है: "प्लीज एक्सक्यूज़ माई डियर आंटी सैली", जहां प्रत्येक प्रारंभिक अक्षर अंकगणितीय ऑपरेशन से मेल खाता है, उसी तरह से पपोमुदास।

उन्हें कैसे हल करें?

एक अभिव्यक्ति के संचालन को हल करने के लिए पापोमुदा द्वारा स्थापित पदानुक्रम के आधार पर, निम्नलिखित आदेश को पूरा करना आवश्यक है:

- सबसे पहले, सभी ऑपरेशन जो कि प्रतीकों के समूह के भीतर हैं, जैसे कि कोष्ठक, ब्रेसिज़, चौकोर कोष्ठक और अंश सलाखों को हल करना चाहिए। जब दूसरों के भीतर समूह के प्रतीक होते हैं, तो आपको अंदर से बाहर की गणना शुरू करनी चाहिए।

इन प्रतीकों का उपयोग उस क्रम को बदलने के लिए किया जाता है जिसमें ऑपरेशन हल किए जाते हैं, क्योंकि उनके अंदर जो है वह हमेशा पहले हल होना चाहिए।

- तब शक्तियों और जड़ों को हल किया जाता है।

- तीसरे स्थान पर गुणा और भाग हल होते हैं। इनमें प्राथमिकता का क्रम समान है; इसलिए, जब ये दो ऑपरेशन एक अभिव्यक्ति में पाए जाते हैं, तो जो पहले दिखाई देता है उसे हल करना चाहिए, अभिव्यक्ति को बाएं से दाएं पढ़ना।

- अंतिम स्थान पर जोड़ और घटाव हल किए जाते हैं, जिनमें प्राथमिकता के क्रम भी समान होते हैं और इसलिए, जो पहले अभिव्यक्ति में दिखाई देता है वह हल हो जाता है, बाएं से दाएं पढ़ा जाता है।

- जब बाएं से दाएं पढ़ा जाता है तो ऑपरेशन को कभी भी मिश्रित नहीं किया जाना चाहिए, पापोमुदों द्वारा स्थापित प्राथमिकता या पदानुक्रम के आदेश का हमेशा पालन किया जाना चाहिए।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक ऑपरेशन का परिणाम दूसरों के संबंध में उसी क्रम में रखा जाना चाहिए, और अंतिम परिणाम तक पहुंचने तक सभी मध्यवर्ती चरणों को एक संकेत द्वारा अलग किया जाना चाहिए।

आवेदन

जब आपके पास अलग-अलग ऑपरेशन का संयोजन होता है तो पपोमुडस प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है। ध्यान में रखते हुए कि वे कैसे हल किए जाते हैं, इसे इसमें लागू किया जा सकता है:

जोड़ और घटाव वाली अभिव्यक्तियाँ

यह सबसे सरल ऑपरेशनों में से एक है, क्योंकि दोनों में प्राथमिकता का क्रम समान होता है, ऐसे में इसे अभिव्यक्ति में बाएं से दाईं ओर शुरू करके हल किया जाना चाहिए; उदाहरण के लिए:

२२ -१५ +-+६ = २१।

इसके अलावा, घटाव और गुणन वाली अभिव्यक्तियाँ

इस मामले में, सर्वोच्च प्राथमिकता वाला ऑपरेशन गुणा है, फिर जोड़ और घटाव हल किए जाते हैं (वह जो पहले अभिव्यक्ति में है)। उदाहरण के लिए:

6 _* 4 - 10 + 8 _* 6 - 16 + 10 _* 6

= 24 -10 + 48 - 16 + 60

= 106।

इसके अलावा, घटाव, गुणा और भाग वाली अभिव्यक्तियाँ

इस मामले में आपके पास सभी ऑपरेशनों का एक संयोजन है। आप उस गुणन और विभाजन को हल करना शुरू करते हैं जिसमें उच्च प्राथमिकता है, फिर जोड़ और घटाव। अभिव्यक्ति को बाएं से दाएं पढ़ना, यह अभिव्यक्ति के भीतर इसकी पदानुक्रम और स्थिति के अनुसार हल किया जाता है; उदाहरण के लिए:

7 + 10 _* 13 - 8 + 40 10 2

= 7 + 130 - 8 + 20

= 149।

जोड़, घटाव, गुणा, भाग और शक्तियाँ

इस स्थिति में, संख्याओं में से एक शक्ति को उठाया जाता है, जिसे प्राथमिकता स्तर के भीतर पहले हल किया जाना चाहिए, फिर गुणा और विभाजनों को हल करना होगा, और अंत में परिवर्धन और घटाव:

4 + 4 ² _* 12 - 5 + 90 12 3

= 4 + 16 _* 12 - 5 + 90 12 3

= 4 + 192 - 5 + 30

= 221।

शक्तियों की तरह, जड़ों में भी प्राथमिकता का दूसरा क्रम है; इसलिए, उन भावों में, जिनमें गुणा, भाग, जोड़ और घटाव पहले हल होना चाहिए:

5 _* 8 + 20 ÷ ÷16

= ५ _* 8 + २०। ४

= 40 + 5

= ४५।

अभिव्यक्ति प्रतीकों का उपयोग करने वाली अभिव्यक्तियाँ

जब कोष्ठक, ब्रेसिज़, चौकोर कोष्ठक और अंश सलाखों जैसे संकेतों का उपयोग किया जाता है, तो इन के अंदर जो कुछ भी होता है, उसे पहले हल किया जाता है, भले ही संचालन की प्राथमिकता के आदेश के बिना, जो इसके बाहर के लोगों के संबंध में हो, जैसे कि यह एक अलग अभिव्यक्ति होगी:

14 (2 - (8 - 5)

= 14 ÷ 2 - 3

= 7 - 3

= 4।

यदि इसके भीतर कई ऑपरेशन हैं, तो उन्हें श्रेणीबद्ध क्रम में हल किया जाना चाहिए। तब अभिव्यक्ति बनाने वाले अन्य ऑपरेशन हल हो जाते हैं; उदाहरण के लिए:

2 + 9 * (5 + 2 ³ - 24 - 6) - 1

= 2 + 9 * (5 + 8 - 4) - 1

= 2 + 9 * 9 - 1

= 2 + 81 - 1

= 82।

कुछ भाव दूसरों के भीतर समूहन प्रतीकों का उपयोग करते हैं, जैसे कि जब किसी ऑपरेशन के संकेत को बदलना होता है। इन मामलों में, आपको अंदर से बाहर हल करके शुरू करना होगा; जो कि समूहन प्रतीकों को सरल बनाने के द्वारा है जो एक अभिव्यक्ति के केंद्र में हैं।

आम तौर पर, इन प्रतीकों के भीतर निहित कार्यों को हल करने का क्रम है: पहले कोष्ठक () के अंदर क्या है, फिर कोष्ठक और अंतिम ब्रेस {} को हल करें।

90 - 3 _*

= 90 - 3 _*

= 90 - 3 _* 24

= 90 - 72

= 18।

अभ्यास

पहला व्यायाम

निम्नलिखित अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात कीजिए:

20 ² + 2225 - 155 + 130।

उपाय

पपोमुडा को लागू करने से, शक्तियों और जड़ों को पहले हल करना पड़ता है, और फिर जोड़ और घटाव होता है। इस मामले में, पहले दो ऑपरेशन एक ही क्रम के हैं, इसलिए जो पहले हल किया जाता है, वह बाएं से दाएं शुरू होता है:

20 ² + 2225 - 155 + 130

= 400 + 15 -155 + 130।

फिर आप जोड़ते हैं और घटाते हैं, बाईं ओर से भी शुरू करते हैं:

400 + 15 -155 + 130

= 390।

दूसरा व्यायाम

निम्नलिखित अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात कीजिए:

।

उपाय

यह कोष्ठबद्धता के अंदर होने वाले संचालन को हल करने से शुरू होता है, पपीमुदा के अनुसार पदानुक्रमित क्रम के बाद।

पहले कोष्ठकों की शक्तियां पहले हल की जाती हैं, फिर दूसरे कोष्ठकों के संचालन को हल किया जाता है। चूंकि वे एक ही क्रम से संबंधित हैं, इसलिए अभिव्यक्ति का पहला ऑपरेशन हल किया गया है:

=

=

=।

चूंकि कोष्ठकों के भीतर के संचालन पहले ही हल हो चुके हैं, अब हम उस विभाजन के साथ जारी रखते हैं जिसमें उपगण की तुलना में अधिक पदानुक्रम है:

=।

अंत में, लघुकोष्ठक जो परिणाम से ऋण चिह्न (-) को अलग करता है, जो इस मामले में नकारात्मक है, इंगित करता है कि इन संकेतों को गुणा किया जाना चाहिए। इस प्रकार, अभिव्यक्ति का परिणाम है:

= 171।

तीसरा व्यायाम

निम्नलिखित अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात कीजिए:

उपाय

आप कोष्ठकों के अंदर होने वाले भिन्नों को हल करके शुरू करते हैं:

कोष्ठक के अंदर कई ऑपरेशन होते हैं। गुणा पहले और फिर घटाव हल किया जाता है; इस मामले में, अंश बार को एक समूहीकरण प्रतीक के रूप में माना जाता है न कि विभाजन के रूप में, इसलिए ऊपरी और निचले हिस्से के संचालन को हल किया जाता है:

पदानुक्रमित क्रम में, गुणा को हल किया जाना चाहिए:

अंत में, घटाव हल हो गया है:

संदर्भ

1. एगुइरे, एचएम (2012)। वित्तीय गणित। सेनगेज लर्निंग।
2. अपोंटे, जी। (1998)। बुनियादी गणित के मूल तत्व। पियर्सन शिक्षा।
3. कैबने, एन। (2007)। गणित का सिद्धांत।
4. कैरोलिना एस्पिनोसा, सीसी (2012)। सीखने के कार्यों में संसाधन।
5. हफस्टेटलर, के। (2016)। संचालन की कहानी की कहानी: पेमदास स्पेस इंडिपेंडेंट बनाएं।
6. मादोर, बी। (2009)। जीआरई मठ कार्यपुस्तिका। बैरोन की शैक्षिक श्रृंखला,
7. मोलिना, एफए (sf)। Azarquiel परियोजना, गणित: पहला चक्र। अजरक्यल समूह।