हाइपरबोलिक परबोलॉइड: परिभाषा, गुण और उदाहरण - गणित - 2025

एक अतिशयोक्तिपूर्ण ठोस अनुवृत्त एक सतह जिसका सामान्य समीकरण कार्तीय निर्देशांक (एक्स, वाई, जेड) को संतुष्ट करता है निम्न समीकरण में है:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0

"पैराबोलॉइड" नाम इस तथ्य से आता है कि चर z चर x और y के वर्गों पर निर्भर करता है। जबकि विशेषण "हाइपरबोलिक" इस तथ्य के कारण है कि z के निश्चित मानों पर हमारे पास हाइपरबोला का समीकरण है। इस सतह का आकार घोड़े की काठी जैसा है।

चित्र 1. हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड z = x ² - y ² । स्रोत: एफ। जैपटाटा वोल्फ्राम मैथमेटिका का उपयोग कर।

हाइपरबोलिक पैराबॉइड का वर्णन

हाइपरबोलिक परवलय की प्रकृति को समझने के लिए, निम्नलिखित विश्लेषण किया जाएगा:

1.- हम विशेष मामले को a = 1, b = 1 मानेंगे, यह कहना है कि paraboloid का कार्टेशियन समीकरण z = x ² - y ^{2 के} रूप में रहता है ।

2.- प्लान को ZX प्लेन के समानांतर माना जाता है, यानी y = ctte।

3.- y = ctte के साथ यह z = x ² - C बना रहता है, जो XY समतल के नीचे और ऊपर की ओर शाखाओं के साथ परवल का प्रतिनिधित्व करता है।

चित्रा 2. घटता z = x ² का परिवार - सी। स्रोत: एफ। ज़ोगाटा का उपयोग जियोगेब्रा।

4.- x = ctte के साथ यह z = C - y ² बना रहता है, जो XY समतल के ऊपर और नीचे की शाखाओं के साथ परवल का प्रतिनिधित्व करता है।

चित्रा 3. घटता z = C - y ^{2 का परिवार} । स्रोत: जोगेब्रा के माध्यम से एफ।

5.- z = ctte के साथ यह C = x ² - y ² रहता है, जो XY विमान के समानांतर वाले विमानों में हाइपरबोलस का प्रतिनिधित्व करता है। जब C = 0 दो रेखाएँ होती हैं (X अक्ष के संबंध में + 45-और -45 respect) जो XY समतल पर मूल में प्रतिच्छेद करती हैं।

चित्रा 4. घटता x ² का परिवार - y ² = C. स्रोत: F. Zapata का उपयोग कर जियोगेब्रा ।।

हाइपरबोलिक पैराबॉइड के गुण

1.- तीन-आयामी अंतरिक्ष में चार अलग-अलग बिंदु एक और केवल एक हाइपरबोलिक पैराबोलाइड को परिभाषित करते हैं।

2.- हाइपरबोलिक पैराबोलाइड एक दोगुनी शासित सतह है। इसका मतलब है कि एक घुमावदार सतह होने के बावजूद, दो अलग-अलग रेखाएं एक हाइपरबोलिक पैराबॉलाइड के प्रत्येक बिंदु से गुजरती हैं जो पूरी तरह से हाइपरबोलिक पैराबॉलाइड से संबंधित हैं। दूसरी सतह जो समतल नहीं है और जिस पर दोगुना शासन है वह क्रांति का हाइपरबोलाइड है।

यह अतिशयोक्तिपूर्ण परवलय का दूसरा गुण है जिसने सतह को बीम या सीधे तारों से उत्पन्न किया जा सकता है।

हाइपरबोलेकिक पैराबोलॉइड की दूसरी संपत्ति इसकी एक वैकल्पिक परिभाषा की अनुमति देती है: यह वह सतह है जो एक निश्चित समतल के समानांतर एक सीधी सीधी रेखा द्वारा उत्पन्न की जा सकती है और एक गाइड के रूप में काम करने वाली दो निश्चित रेखाओं को काट देती है। निम्नलिखित आंकड़ा हाइपरबोलिक पैराबॉलाइड की इस वैकल्पिक परिभाषा को स्पष्ट करता है:

चित्र 5. हाइपरबोलिक पैराबॉइड एक दोगुनी शासित सतह है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

काम के उदाहरण

- उदाहरण 1

दिखाएँ कि समीकरण: z = xy, एक अतिपरवलयिक परवलय से मेल खाता है।

उपाय

एक परिवर्तन एक्स और वाई चर के लिए लागू किया जाएगा कार्टेशियन कुल्हाड़ियों के रोटेशन के लिए इसी के साथ जेड अक्ष + 45 axis के संबंध में। पुराने x और y निर्देशांक निम्न संबंधों के अनुसार नए x 'और y' में बदल गए हैं:

x = x '- y'

y = x '+ y'

जबकि z निर्देशांक समान रहता है, अर्थात z = z '।

समीकरण z = xy में प्रतिस्थापित करके हमारे पास:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

हमारे पास मौजूद वर्गों के अंतर के बराबर अंतर के उल्लेखनीय उत्पाद को लागू करने से:

z '= x' ² - y ' ²

जो स्पष्ट रूप से हाइपरबोलिक पैराबोलाइड की शुरुआत में दी गई परिभाषा से मेल खाती है।

हाइपरबोलिक पैराबोलाइड z = xy के साथ XY अक्ष के समानांतर वाले विमानों का अवरोध समबाहु हाइपरबोलस को निर्धारित करता है जो कि विमानों को x = 0 और y = 0 के रूप में बताता है।

- उदाहरण २

हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड के बी और बी निर्धारित करें जो अंक ए (0, 0, 0) से होकर गुजरता है; बी (1, 1, 5/9); सी (-2, 1, 32/9) और डी (2, -1, 32/9)।

उपाय

इसके गुणों के अनुसार, तीन आयामी अंतरिक्ष में चार बिंदु एक एकल हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड का निर्धारण करते हैं। सामान्य समीकरण है:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

हम दिए गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं:

बिंदु A के लिए हमारे पास 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ^{2 है}, एक समीकरण जो मापदंडों a और b के मानों को संतुष्ट करता है।

स्थानापन्न बिंदु B, हम प्राप्त करते हैं:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

जबकि बिंदु C के लिए यह बना हुआ है:

32/9 = 4 / एक ² - 1 / बी ²

अंत में, बिंदु D के लिए हम प्राप्त करते हैं:

32/9 = 4 / एक ² - 1 / बी ²

जो पिछले समीकरण के समान है। अंततः, समीकरणों की प्रणाली को हल किया जाना चाहिए:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / एक ² - 1 / बी ²

पहले से दूसरे समीकरण को घटाना:

27/9 = 3 / a ² जिसका अर्थ है कि एक ² = 1।

इसी तरह से, दूसरे समीकरण को पहले के चतुर्भुज से घटाया जाता है, प्राप्त करना:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

जिसे सरल बनाया गया है:

12/9 = 3 / बी ² ⇒ बी ² = 9/4।

संक्षेप में, दिए गए बिंदु A, B, C और D से गुजरने वाले हाइपरबोलिक पैराबॉइड में दिए गए कार्टेशियन समीकरण हैं:

z = x ² - (4/9) y ²

- उदाहरण 3

हाइपरबोलिक पैराबोलाइड के गुणों के अनुसार, प्रत्येक बिंदु से दो लाइनें गुजरती हैं जो पूरी तरह से इसमें निहित हैं। मामले के लिए z = x ^ 2 - y ^ 2 उन बिंदुओं का समीकरण ज्ञात करते हैं जो बिंदु P (0, 1, -1) से होकर गुजरती हैं, जो स्पष्ट रूप से हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड से संबंधित हैं, जैसे कि इन रेखाओं के सभी बिंदु भी हैं। वही।

उपाय

वर्गों के अंतर के उल्लेखनीय उत्पाद का उपयोग करते हुए हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड के समीकरण को इस तरह लिखा जा सकता है:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

जहाँ c एक नॉनज़रो स्थिरांक है।

समीकरण x + y = cz, और समीकरण x - y = 1 / c सामान्य वैक्टर n = <1,1, -c> और m = <1, -1,0> के साथ दो विमानों के अनुरूप है । वेक्टर उत्पाद mxn = <- c, -c, -2> हमें दो विमानों के प्रतिच्छेदन लाइन की दिशा देता है। तब बिंदु P से गुजरने वाली और हाइपरबोलिक पैराबोलाइड से संबंधित लाइनों में से एक पैरामीट्रिक समीकरण है:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

सी निर्धारित करने के लिए हम समीकरण x + y = cz में बिंदु P को प्राप्त करते हैं, प्राप्त करते हैं:

सी = -1

इसी तरह से, लेकिन समीकरणों (x - y = kz) और (x + y = 1 / k) को देखते हुए हमारे पास पंक्ति का पैरामीट्रिक समीकरण है:

= <0, 1, -1> + s के = 1 के साथ।

सारांश में, दो पंक्तियाँ:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> और = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

वे पूरी तरह से हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड z = x ² - y ² में बिंदु (0, 1, -1) से गुजर रहे हैं।

एक जांच के रूप में, मान लीजिए कि t = 1 जो हमें पहली पंक्ति में बिंदु (1,2, -3) देता है। आपको यह देखना होगा कि क्या यह paraboloid z = x ² - y ^{2 पर भी है}:

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

जो इस बात की पुष्टि करता है कि यह वास्तव में हाइपरबोलिक पैराबोलाइड की सतह से संबंधित है।

वास्तुकला में हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड

चित्र 6. वेलेंसिया (स्पेन) का ओशनोग्राफिक। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

हाइपरबोलिक पैराबॉइड को वास्तुकला में महान एवांट-गार्डे आर्किटेक्ट द्वारा इस्तेमाल किया गया है, जिनमें से स्पेनिश वास्तुकार एंटोनी गौडी (1852-1926) और विशेष रूप से स्पेनिश फ़ेलिक्स कैंडेला (1910-19997) के नाम बाहर खड़े हैं।

नीचे कुछ काम हाइपरबोलिक परवलय पर आधारित हैं:

-क्लेर्नका (मेक्सिको) के आर्किटेक्ट फेलिक्स कैंडेला के शहर के -चपल।

-एलेसिक्स कैंडेला द्वारा वेलेंसिया (स्पेन) का ओशनोग्राफिक।

संदर्भ

1. गणित का विश्वकोश। शासित धरातल। से पुनर्प्राप्त: encyclopediaofmath.org
2. ललेरा रूबन। हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड। से पुनर्प्राप्त: rubenllera.wordpress.com
3. वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू। "हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड।" मैथवर्ल्ड से - एक वुल्फ्राम वेब संसाधन। से पुनर्प्राप्त: mathworld.wolfram.com
4. विकिपीडिया। ठोस अनुवृत्त। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.com
5. विकिपीडिया। ठोस अनुवृत्त। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com
6. विकिपीडिया। सतह पर शासन किया। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.com