हेक्सागोनल पिरामिड: परिभाषा, विशेषताओं और उदाहरण - गणित - 2025

एक हेक्सागोनल पिरामिड एक षट्भुज द्वारा गठित एक पॉलीहेड्रॉन है, जो आधार है, और छह त्रिकोण जो षट्भुज के कोने से शुरू होते हैं और विमान के बाहर एक बिंदु पर मिलते हैं जिसमें आधार होता है। समवर्ती के इस बिंदु को पिरामिड के शीर्ष या शीर्ष के रूप में जाना जाता है।

एक पॉलीहेड्रोन एक बंद तीन-आयामी ज्यामितीय निकाय है जिसके चेहरे विमान के आंकड़े हैं। षट्भुज एक बंद विमान आकृति (बहुभुज) है जो छह भुजाओं से बना होता है। यदि सभी छह भुजाएँ समान लंबाई और समान कोण हैं, तो इसे नियमित कहा जाता है; अन्यथा यह अनियमित है।

परिभाषा

एक हेक्सागोनल पिरामिड में सात चेहरे, आधार और छह पार्श्व त्रिकोण होते हैं, जिनमें से आधार एकमात्र है जो शीर्ष को नहीं छूता है।

पिरामिड को सीधे कहा जाता है यदि सभी पार्श्व त्रिकोण समद्विबाहु हैं। इस मामले में, पिरामिड की ऊंचाई खंड है जो शीर्ष से हेक्सागोन के केंद्र तक जाती है।

सामान्य तौर पर, एक पिरामिड की ऊंचाई आधार और विमान के आधार के बीच की दूरी है। पिरामिड को तिरछा कहा जाता है यदि सभी पार्श्व त्रिकोण समद्विबाहु नहीं हैं।

यदि षट्भुज नियमित है और पिरामिड भी सीधा है, तो इसे नियमित षट्भुज पिरामिड कहा जाता है। इसी तरह, यदि षट्भुज अनियमित है या पिरामिड तिरछा है, तो इसे अनियमित हेक्सागोनल पिरामिड कहा जाता है।

विशेषताएँ

अवतल या उत्तल

एक बहुभुज उत्तल है यदि सभी आंतरिक कोणों का माप 180 डिग्री से कम है। ज्यामितीय रूप से, यह कहने के बराबर है कि, बहुभुज के भीतर कुछ बिंदु दिए गए हैं, जो रेखा खंड उनके साथ जुड़ता है वह बहुभुज में निहित है। अन्यथा बहुभुज को अवतल कहा जाता है।

यदि हेक्सागोन उत्तल है, तो पिरामिड को उत्तल हेक्सागोनल पिरामिड कहा जाता है। अन्यथा, इसे एक अवतल हेक्सागोनल पिरामिड कहा जाएगा।

किनारों

एक पिरामिड के किनारे छह त्रिकोणों के किनारे हैं जो इसे बनाते हैं।

Apothem

पिरामिड का एपोटेम, शिखर और पिरामिड के आधार के पक्षों के बीच की दूरी है। यह परिभाषा केवल तभी समझ में आती है जब पिरामिड नियमित होता है, क्योंकि यदि यह अनियमित है, तो यह दूरी उस त्रिकोण के आधार पर भिन्न होती है जिसे माना जाता है।

दूसरी ओर, नियमित पिरामिड में एपोटेम प्रत्येक त्रिभुज की ऊंचाई के अनुरूप होगा (चूंकि प्रत्येक एक समद्विबाहु है) और यह सभी त्रिभुजों में समान होगा।

आधार का अपोटेम आधार के एक पक्ष और उसके केंद्र के बीच की दूरी है। जिस तरह से इसे परिभाषित किया गया है, उससे आधार का एपोटेम केवल नियमित पिरामिड में भी समझ में आता है।

Denotations

एक हेक्सागोनल पिरामिड की ऊंचाई को एच द्वारा आधार के एपोटेम (नियमित मामले में) और एपी द्वारा पिरामिड (नियमित मामले में भी) के एपोटेम के आधार पर अंकित किया जाएगा ।

नियमित हेक्सागोनल पिरामिड की एक विशेषता यह है कि एच, एपीबी और एपी कर्ण एपी और पैर एच और एपीबी के साथ एक सही त्रिकोण बनाते हैं । पाइथागोरस प्रमेय द्वारा हमारे पास वह एपी = h (एच ^ 2 + एपीबी ^ 2) है।

ऊपर दी गई छवि एक नियमित पिरामिड का प्रतिनिधित्व करती है।

क्षेत्र की गणना कैसे करें? सूत्र

एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड पर विचार करें। आज्ञा देना एक हेक्सागोन के प्रत्येक पक्ष का माप है। तब ए पिरामिड के प्रत्येक त्रिकोण के आधार के माप से मेल खाता है और, इसलिए, आधार के किनारों पर।

एक बहुभुज का क्षेत्र परिधि (पक्षों का योग) और आधार के एपोटेम, दो से विभाजित है। हेक्सागोन के मामले में यह 3 * ए * एपीबी होगा।

यह देखा जा सकता है कि एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड का क्षेत्रफल पिरामिड के प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर और आधार के क्षेत्रफल के बराबर होता है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, प्रत्येक त्रिकोण की ऊंचाई पिरामिड, एपी के एपोटेम से मेल खाती है।

इसलिए, पिरामिड में प्रत्येक त्रिकोण का क्षेत्र ए * एपी / 2 द्वारा दिया गया है। इस प्रकार, एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड का क्षेत्र 3 * ए * (एपीबी + एपी) है, जहां ए आधार का एक छोर है, एपीबी आधार का एपोटेम है और एपी पिरामिड का एपोटेम है।

अनियमित हेक्सागोनल पिरामिड में गणना

अनियमित हेक्सागोनल पिरामिड के मामले में पिछले मामले की तरह क्षेत्र की गणना करने के लिए कोई प्रत्यक्ष सूत्र नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि पिरामिड में प्रत्येक त्रिकोण का एक अलग क्षेत्र है।

इस मामले में, प्रत्येक त्रिकोण के क्षेत्र को अलग से और आधार के क्षेत्र की गणना की जानी चाहिए। फिर पिरामिड का क्षेत्र पहले से गणना किए गए सभी क्षेत्रों का योग होगा।

वॉल्यूम की गणना कैसे करें? सूत्र

नियमित हेक्सागोनल आकार के एक पिरामिड की मात्रा पिरामिड की ऊंचाई और तीन से विभाजित आधार के क्षेत्र का उत्पाद है। इस प्रकार, एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड की मात्रा ए * एपीबी * एच द्वारा दी गई है, जहां ए आधार का एक छोर है, एपीबी आधार का एपोटेम है और एच पिरामिड की ऊंचाई है।

अनियमित हेक्सागोनल पिरामिड में गणना

क्षेत्र के अनुरूप, अनियमित हेक्सागोनल पिरामिड के मामले में वॉल्यूम की गणना करने के लिए कोई सीधा सूत्र नहीं है क्योंकि आधार के किनारों में एक ही माप नहीं है क्योंकि यह एक अनियमित बहुभुज है।

इस स्थिति में, आधार के क्षेत्र की गणना अलग से की जानी चाहिए और वॉल्यूम (आधार का क्षेत्रफल * *) / 3 होगा।

उदाहरण

3 सेमी की ऊंचाई के साथ एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड के क्षेत्र और मात्रा का पता लगाएं, जिसका आधार प्रत्येक तरफ 2 सेमी का एक नियमित षट्भुज है और आधार का एपोटेम 4 सेमी है।

उपाय

सबसे पहले, पिरामिड (एपी) के एपोटेम की गणना की जानी चाहिए, जो केवल लापता डेटा है। ऊपर की छवि को देखते हुए, यह देखा जा सकता है कि पिरामिड की ऊंचाई (3 सेमी) और आधार के एपोटेम (4 सेमी) एक सही त्रिकोण बनाते हैं; इसलिए, पिरामिड के एपोटेम की गणना करने के लिए, पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग किया जाता है:

एपी =) (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = 25 (25) = 5।

इस प्रकार, इसके ऊपर लिखे सूत्र का उपयोग करते हुए, यह क्षेत्र 3 * 2 * (4 + 5) = 54cm ^ 2 के बराबर है।

दूसरी ओर, वॉल्यूम सूत्र का उपयोग करके यह प्राप्त किया जाता है कि दिए गए पिरामिड की मात्रा 2 * 4 * 3 = 24 सेमी ^ 3 है।

संदर्भ

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