उत्तल बहुभुज: परिभाषा, तत्व, गुण, उदाहरण - गणित - 2025

एक उत्तल बहुभुज एक ज्यामितीय आकृति है जो एक विमान में सम्‍मिलित होती है, जिसकी विशेषता यह है कि इसके सभी विकर्ण अंदर होते हैं और इसके कोण 180º से कम मापते हैं। इसके गुणों में निम्नलिखित हैं:

1) इसमें n लगातार खंड होते हैं जहां खंडों में से अंतिम भाग पहले से जुड़ता है। 2) कोई भी खंड इस तरह से प्रतिच्छेद नहीं करता है जैसे कि किसी आंतरिक क्षेत्र और बाहरी क्षेत्र में विमान का परिसीमन करना। 3) आंतरिक क्षेत्र में प्रत्येक और प्रत्येक कोण विमान कोण से कड़ाई से कम है।

चित्रा 1. बहुभुज 1, 2 और 6 उत्तल हैं। (रिकार्डो पेरेज़ द्वारा तैयार)।

यह निर्धारित करने का एक सरल तरीका है कि क्या एक बहुभुज उत्तल है या नहीं, उस पंक्ति पर विचार करना है जो उसके किसी एक पक्ष से गुजरती है, जो दो आधे विमानों का निर्धारण करती है। यदि प्रत्येक पंक्ति में जो एक तरफ से गुजरती है, तो बहुभुज के दूसरे पक्ष एक ही आधे विमान में होते हैं, तो यह एक उत्तल बहुभुज है।

एक बहुभुज के तत्व

प्रत्येक बहुभुज में निम्नलिखित तत्व होते हैं:

- पक्ष करता है

- चक्कर

पक्ष लगातार खंडों में से प्रत्येक हैं जो बहुभुज बनाते हैं। बहुभुज में कोई भी ऐसा खंड जो इसे नहीं बनाता है, उसका एक खुला अंत हो सकता है, उस स्थिति में एक बहुभुज रेखा होगी लेकिन बहुभुज नहीं।

कार्यक्षेत्र दो लगातार खंडों के जंक्शन बिंदु हैं। एक बहुभुज में, कोने की संख्या हमेशा पक्षों की संख्या के बराबर होती है।

यदि दो पक्ष या एक बहुभुज अंतर खंड, तो आपके पास एक पार बहुभुज है। क्रॉसिंग पॉइंट को एक शीर्ष नहीं माना जाता है। एक क्रॉस बहुभुज एक गैर-उत्तल बहुभुज है। स्टार बहुभुज पार बहुभुज हैं और इसलिए उत्तल नहीं हैं।

जब एक बहुभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं, तो हमारे पास एक नियमित बहुभुज होता है। सभी नियमित बहुभुज उत्तल हैं।

उत्तल और गैर-उत्तल बहुभुज

चित्रा 1 कई बहुभुज दिखाता है, उनमें से कुछ उत्तल हैं और उनमें से कुछ नहीं हैं। आइए उनका विश्लेषण करें:

संख्या 1 एक तीन-पक्षीय बहुभुज (त्रिकोण) है और सभी आंतरिक कोण 180º से कम हैं, इसलिए यह एक उत्तल बहुभुज है। सभी त्रिकोण उत्तल बहुभुज हैं।

संख्या 2 एक चार-पक्षीय बहुभुज (चतुर्भुज) है जहां कोई भी पक्ष प्रतिच्छेद नहीं करता है और प्रत्येक और प्रत्येक आंतरिक कोण 180 four से कम है। इसके बाद चार भुजाओं वाला उत्तल बहुभुज (उत्तल चतुर्भुज) है।

दूसरी ओर, संख्या 3 चार भुजाओं वाला बहुभुज है लेकिन इसका एक आंतरिक कोण 180º से अधिक है, इसलिए यह उत्तल स्थिति को पूरा नहीं करता है। यही है, यह एक गैर-उत्तल चार-तरफा बहुभुज है जिसे अवतल चतुर्भुज कहा जाता है।

संख्या 4 एक बहुभुज है जिसमें चार खंड (भुजाएँ) हैं, जिनमें से दो प्रतिच्छेद करते हैं। चार आंतरिक कोण 180º से कम हैं, लेकिन दो पक्षों के प्रतिच्छेद के बाद यह एक गैर-उत्तल पार बहुभुज (चतुर्भुज को पार कर) है।

एक और मामला संख्या 5 है। यह पांच-तरफा बहुभुज है, लेकिन चूंकि इसका एक आंतरिक कोण 180 have से अधिक है, तो हमारे पास अवतल बहुभुज है।

अंत में, संख्या 6, जिसमें पांच पक्ष भी हैं, इसके सभी आंतरिक कोण 180 so से कम हैं, इसलिए यह पांच पक्षों (उत्तल पंचभुज) के साथ उत्तल बहुभुज है।

उत्तल बहुभुज के गुण

1- एक गैर-पार किया गया बहुभुज या साधारण बहुभुज उस विमान को विभाजित करता है जिसमें इसे दो क्षेत्रों में रखा जाता है। आंतरिक क्षेत्र और बाहरी क्षेत्र, बहुभुज दो क्षेत्रों के बीच की सीमा है।

लेकिन यदि बहुभुज अतिरिक्त रूप से उत्तल है, तो हमारे पास एक आंतरिक क्षेत्र है जो बस जुड़ा हुआ है, जिसका अर्थ है कि आंतरिक क्षेत्र से किसी भी दो बिंदुओं को लेना, यह हमेशा एक सेगमेंट में शामिल हो सकता है जो पूरी तरह से आंतरिक क्षेत्र से संबंधित है।

चित्रा 2. एक उत्तल बहुभुज बस जुड़ा हुआ है, जबकि एक अवतल एक नहीं है। (रिकार्डो पेरेज़ द्वारा तैयार)।

2- उत्तल बहुभुज का प्रत्येक आंतरिक कोण समतल कोण (180।) से कम होता है।

3- उत्तल बहुभुज के सभी आंतरिक बिंदु हमेशा उस रेखा द्वारा परिभाषित अर्ध-विमानों में से एक होते हैं जो लगातार दो चक्करों से गुजरते हैं।

4- एक उत्तल बहुभुज में सभी विकर्ण पूरी तरह से आंतरिक बहुभुज क्षेत्र में निहित होते हैं।

5- उत्तल बहुभुज के आंतरिक बिंदु पूरी तरह से प्रत्येक आंतरिक कोण द्वारा परिभाषित उत्तल कोणीय क्षेत्र से संबंधित हैं।

6- प्रत्येक बहुभुज जिसमें एक चक्कर पर सभी लंबवत होते हैं, एक उत्तल बहुभुज होता है जिसे चक्रीय बहुभुज कहा जाता है।

7- प्रत्येक चक्रीय बहुभुज उत्तल होता है, लेकिन प्रत्येक उत्तल बहुभुज चक्रीय नहीं होता है।

8- कोई भी गैर-पार किया गया बहुभुज (साधारण बहुभुज) जिसमें समान लंबाई के सभी भाग होते हैं, उत्तल होता है और इसे नियमित बहुभुज के रूप में जाना जाता है।

उत्तल बहुभुज में विकर्ण और कोण

9- एक उत्तल बहुभुज के विकर्णों की कुल संख्या N को पक्षों के साथ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

एन = (एन (एन - 3)

प्रमाण: प्रत्येक शीर्ष के n पक्षों के साथ उत्तल बहुभुज में, n - 3 विकर्ण खींचे जाते हैं, क्योंकि शीर्ष स्वयं और दो आसन्न लोगों को बाहर रखा गया है। चूँकि n शीर्ष रेखाएँ हैं, कुल n (n - 2) विकर्ण खींचे जाते हैं, लेकिन प्रत्येक विकर्ण दो बार खींचा गया था, इसलिए विकर्णों की संख्या (पुनरावृत्ति के बिना) n (n-2) / 2 है।

10- n पक्षों के साथ उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग निम्नलिखित संबंधों द्वारा दिया गया है:

एस = (एन - 2) 180º

उदाहरण

उदाहरण 1

चक्रीय षट्भुज एक बहुभुज है जिसमें छह भुजाएँ और छह कोने हैं, लेकिन सभी कोने एक ही परिधि पर हैं। प्रत्येक चक्रीय बहुभुज उत्तल है।

चक्रीय षट्भुज।

उदाहरण 2

एक नियमित एनगॉन के आंतरिक कोणों के मूल्य का निर्धारण करें।

समाधान: एगॉन 9-पक्षीय बहुभुज है, लेकिन अगर यह नियमित भी है, तो इसके सभी पक्ष और कोण समान हैं।

9-पक्षीय बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग है:

एस = (९ - २) १º०º = (* १ 12० 12 = १२६० 2

लेकिन समान माप α के 9 आंतरिक कोण हैं, इसलिए निम्नलिखित समानता को पूरा किया जाना चाहिए:

एस = 9 α = 1260º

जिसमें से यह निम्नानुसार है कि नियमित एगॉन के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप α है:

α = 1260α / 9 = 140º