गुणक सिद्धांत: गिनती तकनीक और उदाहरण - गणित - 2024

गुणक सिद्धांत गिनती की समस्याओं को हल करने के लिए अपने तत्वों की सूची के बिना समाधान खोजने के लिए इस्तेमाल किया एक तकनीक है। इसे कॉम्बिनेटरियल विश्लेषण के मूल सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है; यह क्रमिक गुणा पर आधारित होता है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि कोई घटना कैसे घट सकती है।

इस सिद्धांत में कहा गया है कि, यदि कोई निर्णय (d ₁) n तरीकों से किया जा सकता है और एक और निर्णय (d ₂) m तरीकों से किया जा सकता है, तो d ₁ और d ₂ निर्णय करने के तरीकों की कुल संख्या बराबर होगी n _* m से गुणा करना है । सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक निर्णय एक के बाद एक किया जाता है: तरीकों की संख्या = एन _{1 *} एन ₂ … _* एन _एक्स तरीके।

उदाहरण

उदाहरण 1

पाउला ने अपने दोस्तों के साथ फिल्मों में जाने की योजना बनाई है, और वह जो कपड़े पहनेंगी, उन्हें चुनने के लिए मैं 3 ब्लाउज और 2 स्कर्ट अलग करती हूं। पौला पोशाक कितने तरीके से हो सकती है?

उपाय

इस मामले में, पाउला को दो निर्णय लेने चाहिए:

d ₁ = 3 ब्लाउज = n के बीच चुनें

d ₂ = 2 स्कर्ट = m के बीच चुनें

इस तरह पाउला n है _* मीटर बनाने के लिए या निर्णय ड्रेसिंग के विभिन्न तरीकों।

n _* m = 3 _* 2 = 6 निर्णय।

गुणक सिद्धांत ट्री आरेख की तकनीक से पैदा हुआ है, जो एक आरेख है जो सभी संभावित परिणामों से संबंधित है, ताकि प्रत्येक एक परिमित संख्या में हो सके।

उदाहरण 2

मारियो बहुत प्यासा था, इसलिए वह जूस खरीदने के लिए बेकरी गया था। लुइस उसकी देखभाल करता है और उसे बताता है कि यह दो आकारों में आता है: बड़े और छोटे; और चार स्वाद: सेब, नारंगी, नींबू और अंगूर। मारियो रस का चयन कितने तरीकों से कर सकता है?

उपाय

आरेख में यह देखा जा सकता है कि रस को चुनने के लिए मारियो के 8 अलग-अलग तरीके हैं और, जैसे कि गुणक सिद्धांत में, यह परिणाम n _* m को गुणा करके प्राप्त किया जाता है । अंतर केवल इतना है कि इस आरेख के माध्यम से आप देख सकते हैं कि मारियो ने रस को चुनने के तरीके क्या हैं।

दूसरी ओर, जब संभावित परिणामों की संख्या बहुत बड़ी होती है, तो गुणक सिद्धांत का उपयोग करना अधिक व्यावहारिक होता है।

गिनती की तकनीक

काउंटिंग तकनीक एक सीधी गिनती बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियाँ हैं, और इस प्रकार उन संभावित व्यवस्थाओं की संख्या को जानती हैं जो किसी दिए गए सेट के तत्व हो सकते हैं। ये तकनीक कई सिद्धांतों पर आधारित हैं:

जोड़ सिद्धांत

यह सिद्धांत बताता है कि, यदि दो घटनाएँ m और n एक ही समय में नहीं हो सकती हैं, तो पहली या दूसरी घटना के तरीकों की संख्या m + n का योग हो सकती है:

आकृतियों की संख्या = m + n… + x विभिन्न आकृतियाँ।

उदाहरण

एंटोनियो एक यात्रा करना चाहता है, लेकिन यह तय नहीं करता है कि कौन सा गंतव्य है; दक्षिणी पर्यटन एजेंसी में वे आपको न्यूयॉर्क या लास वेगास की यात्रा करने के लिए एक पदोन्नति प्रदान करते हैं, जबकि पूर्वी पर्यटन एजेंसी फ्रांस, इटली या स्पेन की यात्रा करने की सलाह देती है। एंटोनियो आपको कितने अलग-अलग यात्रा विकल्प देता है?

उपाय

दक्षिणी पर्यटन एजेंसी एंटोनियो के पास 2 विकल्प (न्यूयॉर्क या लास वेगास) हैं, जबकि पूर्वी पर्यटन एजेंसी के साथ उसके पास 3 विकल्प हैं (फ्रांस, इटली या स्पेन)। विभिन्न विकल्पों की संख्या है:

विकल्पों की संख्या = m + n = 2 + 3 = 5 विकल्प।

क्रमपरिवर्तन सिद्धांत

यह विशेष रूप से सभी या कुछ तत्वों को आदेश देने के बारे में है जो तत्वों के साथ किए जा सकने वाले सभी संभावित व्यवस्थाओं की गिनती को सुविधाजनक बनाने के लिए सेट करते हैं।

N विभिन्न तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या, एक ही बार में ली गई है:

_n P _n = n!

उदाहरण

चार दोस्त एक तस्वीर लेना चाहते हैं और जानना चाहते हैं कि उन्हें कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

उपाय

आप उन सभी संभावित तरीकों के सेट को जानना चाहते हैं जिनमें 4 लोगों को तस्वीर लेने के लिए तैनात किया जा सकता है। इस प्रकार, आपको निम्न करना होगा:

₄ पी ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 विभिन्न आकार।

यदि n उपलब्ध तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या को r तत्वों से बने सेट के कुछ हिस्सों द्वारा लिया जाता है, तो इसे निम्न रूप में दर्शाया जाता है:

_n P _{r =} n! R (n - r)!

उदाहरण

एक कक्षा में 10 सीटें होती हैं। यदि 4 छात्र कक्षा में आते हैं, तो छात्र कितने अलग-अलग तरीकों से पदों को भर सकते हैं?

उपाय

हमारे पास है कि कुर्सियों के सेट की कुल संख्या 10 है, और इनमें से केवल 4 का उपयोग किया जाएगा। दिए गए सूत्र को क्रमपरिवर्तन की संख्या निर्धारित करने के लिए लागू किया जाता है:

_n P _r = n! R (n - r)!

₁₀ पी ₄ = 10! 4 (10 - 4)!

₁₀ पी ₄ = 10! ÷ ६!

पदों को भरने के ₁₀ पी ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 तरीके।

ऐसे मामले हैं जिनमें सेट के कुछ उपलब्ध तत्व दोहराए जाते हैं (वे समान हैं)। एक ही समय में सभी तत्वों को लेने वाले सरणियों की संख्या की गणना करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

_n P _r = n! ÷ एन _१ ! _* n ₂ !… n _r !

उदाहरण

शब्द "भेड़िया" से कितने अलग चार अक्षर बन सकते हैं?

उपाय

इस मामले में 4 तत्व (अक्षर) हैं, जिनमें से दो बिल्कुल समान हैं। दिए गए सूत्र को लागू करने पर, यह पता चलता है कि कितने अलग-अलग शब्द हैं:

_n P _r = n! ÷ एन _१ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ पी _{2, 1,1} = 4! ÷ २! _* 1! _* 1!

₄ पी _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) 2 (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ पी _{2, 1, 1} = 24 2 2 = 12 विभिन्न शब्द।

संयोजन सिद्धांत

यह सभी या कुछ तत्वों को व्यवस्थित करने के बारे में है जो एक विशिष्ट आदेश के बिना एक सेट बनाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास एक XYZ व्यवस्था है, तो यह ZXY, YZX, ZYX व्यवस्था के समान होगा; इसका कारण यह है कि एक ही क्रम में नहीं होने के बावजूद, प्रत्येक व्यवस्था के तत्व समान हैं।

जब कुछ तत्वों (r) को सेट (n) से लिया जाता है, तो संयोजन का सिद्धांत निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

_n सी _{आर =} एन! R (एन - आर)! आर!

उदाहरण

एक स्टोर में वे 5 अलग-अलग प्रकार की चॉकलेट बेचते हैं। 4 चॉकलेट को कितने अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है?

उपाय

इस मामले में, 4 चॉकलेट को उन 5 प्रकारों में से चुना जाना चाहिए जो वे स्टोर में बेचते हैं। जिस क्रम में उन्हें चुना जाता है वह कोई मायने नहीं रखता है और इसके अलावा, एक प्रकार की चॉकलेट को दो बार से अधिक चुना जा सकता है। सूत्र को लागू करना, आपको निम्न करना होगा:

_n सी _आर = एन! R (एन - आर)! आर!

_५ सी _४ = ५! 4 (५ - ४)! 4!

_५ सी _४ = ५! ! (१)! ४!

₅ सी ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 3 4 _* 3 _* 2 _* 1

4 चॉकलेट चुनने के लिए ₅ सी ₄ = 120। 24 = 5 अलग-अलग तरीके।

जब सेट (n) के सभी तत्वों (r) को लिया जाता है, तो संयोजन सिद्धांत निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

_n सी _{n =} एन!

हल किया अभ्यास

अभ्यास 1

14 सदस्यों वाली एक बेसबॉल टीम है। एक खेल के लिए कितने तरीके से 5 पद सौंपे जा सकते हैं?

उपाय

सेट 14 तत्वों से बना है और आप 5 विशिष्ट पदों को निर्दिष्ट करना चाहते हैं; वह है, आदेश मायने रखता है। क्रमपरिवर्तन फार्मूला लागू किया जाता है जहां n उपलब्ध तत्व आर के द्वारा गठित सेट के कुछ हिस्सों द्वारा लिए जाते हैं।

_n P _{r =} n! R (n - r)!

जहाँ n = 14 और r = 5. इसे सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है:

_१४ पी _५ = १४! 5 (14 - 5)!

_१४ पी _५ = १४!) (9)!

₁₄ पी ₅ = 240 240 9 गेम पदों को असाइन करने के तरीके।

व्यायाम २

यदि 9 का परिवार यात्रा पर जाता है और लगातार सीटों के साथ अपने टिकट खरीदता है, तो वे कितने अलग तरीके से बैठ सकते हैं?

उपाय

यह लगभग 9 तत्व हैं जो लगातार 9 सीटों पर कब्जा कर लेंगे।

पी ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 बैठने के विभिन्न तरीके।

संदर्भ

1. हॉपकिंस, बी (2009)। शिक्षण असतत गणित के लिए संसाधन: कक्षा परियोजनाओं, इतिहास मॉड्यूल और लेख।
2. जॉनसनबो, आर। (2005)। गणित पृथक करें। पियर्सन शिक्षा,
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4. पैडरो, एफसी (2001)। गणित पृथक करें। Politec। कैटालुन्या का।
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