चतुर्भुज प्रिज्म: सूत्र और मात्रा, विशेषताएँ - गणित - 2025

एक चतुर्भुज प्रिज्म वह है जिसकी सतह दो समान आधारों द्वारा बनाई गई है जो चतुर्भुज हैं और चार पार्श्व चेहरे हैं जो समांतर चतुर्भुज हैं। उन्हें उनके झुकाव के कोण के साथ-साथ उनके आधार के आकार के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है।

प्रिज्म एक अनियमित ज्यामितीय निकाय है जिसमें समतल चेहरे होते हैं और ये एक परिमित मात्रा को संलग्न करते हैं, जो दो बहुभुज और पार्श्व चेहरों पर आधारित होते हैं जो समांतर चतुर्भुज होते हैं। आधारों के बहुभुजों के पक्षों की संख्या के अनुसार, प्रिज्म हो सकते हैं: त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, पंचकोणीय, अन्य।

लक्षण इसमें कितने चेहरे, कोने और किनारे हैं?

एक चतुर्भुज आधार वाला एक प्रिज़्म एक पॉलीहेड्रल आकृति है जिसमें दो समान और समानांतर आधार होते हैं, और चार आयताकार होते हैं जो पार्श्व चेहरे होते हैं जो दो आधारों के संगत पक्षों से जुड़ते हैं।

चतुर्भुज प्रिज्म को अन्य प्रकार के प्रिज़्म से अलग किया जा सकता है, क्योंकि इसमें निम्नलिखित तत्व हैं:

मामले (बी)

वे चार पक्षों (चतुर्भुज) द्वारा निर्मित दो बहुभुज हैं, जो समान और समानांतर हैं।

चेहरे (सी)

कुल मिलाकर, इस प्रकार के प्रिज़्म में छह चेहरे होते हैं:

• आयतों द्वारा गठित चार पक्ष चेहरे।
• दो चेहरे जो कि चतुर्भुज हैं जो आधार बनाते हैं।

कार्यक्षेत्र (V)

वे उन बिंदु हैं जहां प्रिज्म के तीन चेहरे मेल खाते हैं, इस मामले में कुल 8 कोने हैं।

किनारों: (ए)

वे ऐसे खंड हैं जहां प्रिज्म के दो चेहरे मिलते हैं और ये हैं:

• आधार किनारों: यह पार्श्व चेहरे और आधार के बीच की संघ रेखा है, कुल 8 हैं।
• साइड किनारों: यह दो चेहरों के बीच की पार्श्व संघ रेखा है, कुल 4 हैं।

पॉलीहेड्रोन के किनारों की संख्या की गणना यूलर के प्रमेय का उपयोग करके भी की जा सकती है, यदि कोने और चेहरे की संख्या ज्ञात हो; इस प्रकार चतुर्भुज प्रिज्म के लिए इसकी गणना निम्न प्रकार से की जाती है:

किनारों की संख्या = चेहरे की संख्या + कोने की संख्या - 2।

किनारों की संख्या = 6 + 8 - 2।

किनारों की संख्या = 12।

ऊंचाई (एच)

चतुर्भुज प्रिज्म की ऊंचाई को इसके दो आधारों के बीच की दूरी के रूप में मापा जाता है।

वर्गीकरण

चतुष्कोणीय प्राणियों को उनके झुकाव के कोण के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है, जो सीधे या तिरछा हो सकता है:

सही चतुर्भुज प्रिज्म

उनके दो समान और समानांतर चेहरे हैं, जो प्रिज़्म के आधार हैं, उनके पार्श्व चेहरे चौकों या आयतों द्वारा बनाए जाते हैं, इस तरह उनके पार्श्व किनारे सभी समान हैं और उनकी लंबाई प्रिज़्म की ऊंचाई के बराबर होगी।

कुल क्षेत्रफल प्रिज्म की ऊंचाई से, उसके आधार के क्षेत्रफल और परिधि द्वारा निर्धारित किया जाता है:

At = A _lateral + 2A _बेस।

ऑब्लिक चतुर्भुज प्रिज्म

इस चश्मे प्रकार की विशेषता है में है कि अपने पक्ष चेहरे फार्म अड्डों, अर्थात् के साथ कोण परोक्ष डिहेड्रल, कि इसके पक्ष आधार करने के लिए खड़ा नहीं कर रहे हैं, क्योंकि इन झुकाव की एक डिग्री हो सकता है और अधिक 90 से कम या ज्यादा ^या ।

उनके पार्श्व चेहरे आम तौर पर एक समभुज या rhomboid आकार के साथ समांतर चतुर्भुज होते हैं, और उनमें एक या एक से अधिक आयताकार चेहरे हो सकते हैं। इन प्रिज्मों की एक और विशेषता यह है कि इनकी ऊँचाई उनके पार्श्व किनारों की माप से भिन्न होती है।

तिरछे चतुष्कोणीय प्रिज्म के क्षेत्र की गणना लगभग पिछले वाले के समान होती है, जो बाद के क्षेत्र के साथ ठिकानों के क्षेत्र को जोड़ते हैं; एकमात्र अंतर इसके पार्श्व क्षेत्र की गणना करने का तरीका है।

पक्ष के क्षेत्र की गणना पार्श्व किनारे और प्रिज्म के क्रॉस सेक्शन की परिधि के साथ की जाती है, जो कि सिर्फ 90 के कोण ^या प्रत्येक पक्ष के साथ मिलकर कोण है ।

एक _कुल = 2 _{* बेस} क्षेत्र + परिधि _{sr * साइड} बढ़त

सभी प्रकार के प्रिज़्म की मात्रा को आधार के क्षेत्रफल को ऊँचाई से गुणा करके परिकलित किया जाता है:

वी = _बेस क्षेत्र _* ऊंचाई = ए _{बी *} एच।

उसी तरह, चतुष्कोणीय प्राणियों को चतुर्भुज के प्रकार के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है जो कि आधार बनाते हैं (नियमित और अनियमित):

नियमित चतुर्भुज प्रिज्म

यह एक है जिसमें आधार के रूप में दो वर्ग हैं, और इसके पार्श्व चेहरे समान आयताकार हैं। इसकी धुरी एक आदर्श रेखा है जो इसे अपने चेहरे के समानांतर पार करती है और इसके दो आधारों के केंद्र में समाप्त होती है।

एक चतुर्भुज प्रिज्म के कुल क्षेत्रफल को निर्धारित करने के लिए, इसके आधार और पार्श्व क्षेत्र के क्षेत्र की गणना इस तरह से की जानी चाहिए:

At = A _lateral + 2A _बेस।

कहाँ पे:

पार्श्व क्षेत्र एक आयत के क्षेत्र से मेल खाता है; यानी:

_साइड ए = बेस _* हाइट = बी _* एच।

आधार का क्षेत्र एक वर्ग के क्षेत्र से मेल खाता है:

एक _बेस = 2 (साइड _* साइड) = 2 एल ²

मात्रा निर्धारित करने के लिए, आधार के क्षेत्रफल को ऊंचाई से गुणा करें:

वी = एक _{आधार *} ऊंचाई = एल ² _* एच

अनियमित चतुर्भुज प्रिज्म

इस प्रकार के प्रिज़्म की विशेषता है क्योंकि इसके आधार चौकोर नहीं हैं; उनके पास असमान भुजाओं से युक्त कुर्सियां ​​हो सकती हैं, और पांच मामलों को प्रस्तुत किया जाता है:

सेवा। आधार आयताकार हैं

इसकी सतह दो आयताकार ठिकानों और चार पार्श्व चेहरों से बनी है जो आयताकार भी हैं, सभी समान और समानांतर।

इसका कुल क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए, छह आयतों का प्रत्येक क्षेत्र जो इसे बनाता है, दो आधार, दो छोटे पार्श्व चेहरे और दो बड़े पार्श्व चेहरे की गणना की जाती है:

क्षेत्र = 2 (ए _* बी + ए _* एच + बी _* एच)

ख। ठिकाने rhombuses हैं:

इसकी सतह दो rhombus- आकार के ठिकानों और चार आयतों द्वारा बनाई गई है जो पार्श्व चेहरे हैं, इसकी कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, इसे निर्धारित किया जाना चाहिए:

• आधार क्षेत्र (रोम्बस) = (प्रमुख विकर्ण _* लघु विकर्ण) r 2।
• पार्श्व क्षेत्र = आधार की परिधि _* ऊंचाई = 4 (आधार के किनारे) * एच

इस प्रकार, कुल क्षेत्रफल है: A _T = A _{पार्श्व} + 2A _{आधार।}

सी। ठिकाने rhomboid हैं

इसकी सतह दो rhomboid- आकार के ठिकानों द्वारा बनाई गई है, और चार आयताकार हैं जो पार्श्व चेहरे हैं, इसका कुल क्षेत्रफल इसके द्वारा दिया गया है:

• आधार क्षेत्र (rhomboid) = आधार _* सापेक्ष ऊंचाई = B * h।
• पार्श्व क्षेत्र = आधार की परिधि _* ऊंचाई = 2 (साइड ए + साइड बी) _* एच
• इस प्रकार कुल क्षेत्रफल है: A _T = A _{पार्श्व} + 2A _{आधार।}

घ। आधार ट्रेपोज़िड्स हैं

इसकी सतह ट्रेपेज़ोइड के आकार में दो आधारों से बनती है, और चार आयताकार हैं जो पार्श्व चेहरे हैं, इसका कुल क्षेत्रफल इसके द्वारा दिया गया है:

• बेस क्षेत्र (ट्रेपेज़ॉइड) = एच _* ।
• पार्श्व क्षेत्र = आधार की परिधि _* ऊंचाई = (ए + बी + सी + डी) * एच
• इस प्रकार कुल क्षेत्रफल है: A _T = A _{पार्श्व} + 2A _{आधार।}

तथा। आधार ट्रेपोज़िड्स हैं

इसकी सतह दो ट्रेपेज़ॉइड-आकार के ठिकानों द्वारा बनाई गई है, और चार आयताकार हैं जो पार्श्व चेहरे हैं, इसका कुल क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया गया है:

• आधार क्षेत्र (ट्रेपेज़ॉइड) = = (विकर्ण _{1 *} विकर्ण ₂)। 2।
• पार्श्व क्षेत्र = आधार की परिधि _* ऊँचाई = 2 (साइड ए _* साइड बी * एच।
• इस प्रकार कुल क्षेत्रफल है: A _T = A _{पार्श्व} + 2A _{आधार।}

सारांश में, किसी भी नियमित चतुर्भुज प्रिज्म के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, केवल चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है जो आधार है, इसकी परिधि और ऊंचाई जो कि प्रिज्म के पास होगी, सामान्य रूप से, इसका सूत्र होगा:

_कुल क्षेत्रफल = 2 _{* आधार} क्षेत्र + _आधार परिधि _* ऊँचाई = A = 2A _b + P _{b *} h।

इन प्रकार के प्रिज़्म के लिए आयतन की गणना करने के लिए, एक ही सूत्र का उपयोग किया जाता है जो है:

वॉल्यूम = _बेस क्षेत्र _* ऊंचाई = ए _{बी *} एच।

संदर्भ

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