उल्लेखनीय उत्पाद: स्पष्टीकरण और अभ्यास हल - गणित - 2025

उल्लेखनीय उत्पादों बीजीय संचालन, जहां बहुपद के गुणा व्यक्त कर रहे हैं, जो परंपरागत रूप से हल किया जा करने की जरूरत नहीं है, लेकिन कुछ नियमों की मदद से एक ही के परिणाम पाया जा सकता है।

बहुपद को हां से गुणा किया जाता है, इसलिए यह संभव है कि उनके पास बड़ी संख्या में शब्द और चर हों। इस प्रक्रिया को कम करने के लिए, उल्लेखनीय उत्पादों के नियमों का उपयोग किया जाता है, जो कि अवधि के बिना शब्द को गुणा करने की अनुमति देते हैं।

उल्लेखनीय उत्पाद और उदाहरण

प्रत्येक उल्लेखनीय उत्पाद एक सूत्र है जो एक कारक से उत्पन्न होता है, जो कई शब्दों के बहुपदों से बना होता है, जैसे कि बिनोमिअल्स या ट्रिनोमिअल्स, जिसे कारक कहा जाता है।

कारक एक शक्ति का आधार हैं और एक प्रतिपादक हैं। जब कारकों को गुणा किया जाता है, तो घातांक जोड़ना होगा।

कई उल्लेखनीय उत्पाद सूत्र हैं, कुछ अन्य की तुलना में अधिक उपयोग किए जाते हैं, जो बहुपद के आधार पर होते हैं, और वे निम्नलिखित हैं:

द्विपद वर्ग

यह अपने आप में एक द्विपद का गुणन है, जिसे एक शक्ति के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां शब्द जोड़े या घटाए जाते हैं:

सेवा। वर्ग योग द्विपद: यह पहले पद के वर्ग के बराबर है, और दो बार शब्दों के गुणनफल के साथ-साथ दूसरे पद के वर्ग के बराबर है। इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

(a + b) ² = (a + b) _* (a + b)।

निम्नलिखित आकृति में आप देख सकते हैं कि उपरोक्त नियम के अनुसार उत्पाद कैसे विकसित होता है। परिणाम को एक पूर्ण वर्ग का त्रिनोमियल कहा जाता है।

उदाहरण 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25

उदाहरण 2

(4 ए + 2 बी) = (4 ए) ² + 2 (4 ए _* 2 बी) + (2 बी) ²

(4 ए + 2 बी) = 8 ए ² + 2 (8ab) + 4 बी ²

(४ ए + २ बी) = 2 ए ^२ + १६ एबी + ४ बी ^२ ।

ख। एक वर्गीय घटाव का द्विपद: एक राशि के द्विपद का एक ही नियम लागू होता है, केवल इस मामले में दूसरा शब्द नकारात्मक है। इसका सूत्र निम्नलिखित है:

(a - b) ² = ²

(a - b) ² = a ² + 2a _* (-b) + (-b) ²

(a - b) ² = a ² - 2ab + b ² ।

उदाहरण 1

(2x - 6) ² = (2x) ² - 2 (2x _* 6) + 6 ²

(2x - 6) ² = 4x ² - 2 (12x) + 36

(2x - 6) ² = 4x ² - 24x + 36।

संयुग्मित द्विपद का उत्पाद

दो द्विपद को संयुग्मित किया जाता है जब प्रत्येक के दूसरे शब्दों में अलग-अलग संकेत होते हैं, अर्थात् पहला सकारात्मक होता है और दूसरा नकारात्मक या इसके विपरीत। इसे प्रत्येक मोनोमियल और घटाकर स्क्वर करके हल किया जाता है। इसका सूत्र निम्नलिखित है:

(a + b) _* (a - b)

निम्नलिखित आकृति में दो संयुग्मित द्विपद का उत्पाद विकसित किया जाता है, जहां यह देखा जाता है कि परिणाम वर्गों का अंतर है।

उदाहरण 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b ²)

(2 ए + 3 बी) (2 ए - 3 बी) = 4 ए ² - 9 बी ² ।

एक सामान्य शब्द के साथ दो द्विपद का उत्पाद

यह सबसे अधिक जटिल और कम उपयोग किए जाने वाले उल्लेखनीय उत्पादों में से एक है क्योंकि यह दो द्विपद का गुणन है जिसमें एक सामान्य शब्द है। नियम निम्नलिखित बताता है:

• सामान्य शब्द का वर्ग।
• साथ ही ऐसे शब्द जो सामान्य नहीं हैं और फिर उन्हें सामान्य शब्द से गुणा करते हैं।
• प्लस उन शब्दों के गुणन का योग है जो सामान्य नहीं हैं।

यह सूत्र में दर्शाया गया है: (x + a) _* (x + b) और छवि में दिखाया गया है। परिणाम एक गैर-पूर्ण वर्ग ट्रिनोमियल है।

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + 15x + 54

एक संभावना है कि दूसरा शब्द (अलग-अलग शब्द) नकारात्मक है और इसका सूत्र निम्नानुसार है: (x + a) _* (x - -)।

उदाहरण 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2) _* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + (2) _* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + 14x - 8

यह भी मामला हो सकता है कि दोनों अलग-अलग शब्द नकारात्मक हों। इसका सूत्र होगा: (x - a) _* (x - b)।

उदाहरण 3

(3 बी - 6) _* (3 बी - 5) = (3 बी _* 3 बी) + (-6 - 5) _* (3 बी) + (-6 _* -5)

(3 बी - 6) _* (3 बी - 5) = 9 बी ² + (-11) _* (3 बी) + (30)

(3 बी - 6) _* (3 बी - 5) = 9 बी ² - 33 बी + 30।

वर्ग बहुपद

इस मामले में दो से अधिक शब्द हैं और इसे विकसित करने के लिए, प्रत्येक को चुकता किया जाता है और एक साथ एक शब्द के दो बार गुणा के साथ जोड़ा जाता है; इसका सूत्र है: (a + b + c) ² और ऑपरेशन का परिणाम एक चुकता ट्रिनोमियल है।

उदाहरण 1

(3x + 2y + 4z) ² = (3x) ² + (2y) ² + (4z) ² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z) ² = 9x ² + 4y ² + 16z ² + 12xy + 24xz + 16zz।

द्विपद घन

यह एक उल्लेखनीय जटिल उत्पाद है। इसे विकसित करने के लिए, द्विपद को इसके वर्ग से गुणा किया जाता है, इस प्रकार है:

सेवा। एक राशि के द्विपद के लिए:

• पहले पद का घन, दूसरे के काल के वर्ग को तीन गुना।
• इसके अलावा पहले कार्यकाल का तिगुना, दूसरे वर्ग का गुणा।
• साथ ही दूसरे कार्यकाल का घन।

(a + b) ³ = (a + b) _* (a + b) ²

(a + b) ³ = (a + b) _* (एक ² + 2ab + b ²)

(a + b) ³ = a ³ + 2a ² b + ab ² + ba ² + 2ab ² + b ³

(ए + बी) ³ एक = ³ + 3 ए ² बी + 3AB ² + b ³ ।

उदाहरण 1

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (3) ² + (3) ³

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (9) + 27

(a + 3) ³ = a ³ + 9 a ² + 27a + 27

ख। एक घटाव के द्विपद शावक के लिए:

• पहले पद का घन, तीन बार के दुसरे पद के वर्ग का शून्य से दुसरा गुणा।
• इसके अलावा पहले कार्यकाल का तिगुना, दूसरे वर्ग का गुणा।
• दूसरे कार्यकाल के घन को घटाएं।

(a - b) ³ = (a - b) _* (a - b) ²

(a - b) ³ = (a - b) _* (a ² - 2ab + b ²)

(a - b) ³ = a ³ - 2a ² b + ab ² - ba ² + 2ab ² - b ³

(a - b) ³ = एक ³ - 3 ए ² बी + 3AB ² - बी ³ ।

उदाहरण 2

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (-5) ² + (-5) ³

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (25) -125

(b - 5) ³ = b ³ - 15b ² + 75b - 125

एक ट्रिनोमियल का घन

इसका विकास इसके वर्ग से गुणा करके किया जाता है। यह एक बहुत ही व्यापक उल्लेखनीय उत्पाद है क्योंकि आपके पास 3 पद हैं, साथ ही प्रत्येक पद के तीन गुणा, शब्द के प्रत्येक गुणनफल के तीन गुना, साथ ही छह बार तीन शब्दों के गुणनफल हैं। बेहतर तरीके से देखा गया:

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a + b + c) ²

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a ² + b ² + c ² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c) ³ = a ³ + b ³ + c ³ + 3a ² b + 3ab ² + 3a ² c + 3ac ² + 3b ² c + 3bc ² + 6abc।

उदाहरण 1

उल्लेखनीय उत्पादों के हल किए गए व्यायाम

अभ्यास 1

निम्नलिखित द्विपद क्यूब का विस्तार करें: (4x - 6) ³ ।

उपाय

यह याद रखना कि एक द्विपद शावक पहले शब्‍द के बराबर है, माइनस तीन बार पहले पद के वर्ग का दूसरा; इसके अलावा पहले कार्यकाल के तीन गुना, दूसरे वर्ग का गुणा, दूसरे कार्यकाल के घन को घटाएं।

(4x - 6) ³ = (4x) ³ - 3 (4x) ² (6) + 3 (4x) _* (6) ² - (6) ²

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 3 (16x ²) (6) + 3 (4x) _* (36) - 36

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 288x ² + 432x - 36

व्यायाम २

निम्नलिखित द्विपद विकसित करें: (x + 3) (x + 8)।

उपाय

एक द्विपद है जहां एक सामान्य शब्द है, जो x है और दूसरा पद सकारात्मक है। इसे विकसित करने के लिए, आपको केवल सामान्य शब्द को वर्गबद्ध करना होगा, साथ ही उन शब्दों का योग जो सामान्य नहीं हैं (3 और 8) और फिर उन्हें सामान्य शब्द से गुणा करें, और उन शब्दों के गुणन का योग भी लिखें जो सामान्य नहीं हैं।

(x + 3) (x + 8) = x ² + (3 + 8) x + (3 _* 8)

(x + 3) (x + 8) = x ² + 11x + 24

संदर्भ

1. एंजल, एआर (2007)। प्राथमिक बीजगणित। पियर्सन शिक्षा,
2. आर्थर गुडमैन, एलएच (1996)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ बीजगणित और त्रिकोणमिति। पियर्सन शिक्षा।
3. दास, एस। (Nd)। मैथ्स प्लस 8. यूनाइटेड किंगडम: रत्न सागर।
4. जेरोम ई। कॉफमैन, केएल (2011)। प्राथमिक और मध्यवर्ती बीजगणित: एक संयुक्त दृष्टिकोण। फ्लोरिडा: सेंगेज लर्निंग।
5. पेरेज़, सीडी (2010)। पियर्सन शिक्षा।