COPLANAR अंक: समीकरण, उदाहरण और हल किए गए अभ्यास - गणित - 2025

समतलीय कहते हैं सभी एक ही विमान के हैं। दो बिंदु हमेशा कॉपलनार होते हैं, क्योंकि ये बिंदु एक रेखा को परिभाषित करते हैं जिसके माध्यम से अनंत विमान गुजरते हैं। फिर, दोनों बिंदु प्रत्येक विमान से संबंधित हैं जो लाइन से गुजरते हैं और इसलिए, वे हमेशा कॉपलानर रहेंगे।

दूसरी ओर, तीन बिंदु एक एकल विमान को परिभाषित करते हैं, जिसमें से यह निम्नानुसार है कि तीन बिंदु हमेशा उस विमान के लिए कोपलानर होंगे जो वे निर्धारित करते हैं।

चित्र 1. A, B, C और D विमान (plane) के समतल हैं। E, F और G, (but) के लिए कॉपलनार नहीं हैं, लेकिन वे जिस विमान को परिभाषित करते हैं, वे कॉपलनार हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

तीन से अधिक अंक कोप्लानर हो सकते हैं या नहीं। उदाहरण के लिए आकृति 1 में, बिंदु A, B, C और D विमान (Ω) के लिए सहसंयोजक हैं। लेकिन ई, एफ और जी (,) के लिए कॉपलनार नहीं हैं, हालांकि वे जिस विमान को परिभाषित करते हैं, वह कॉपलनार है।

एक विमान के समीकरण को तीन बिंदु दिए गए

तीन ज्ञात बिंदुओं A, B, C द्वारा निर्धारित समतल का समीकरण एक गणितीय संबंध है जो इस बात की गारंटी देता है कि जेनेरिक निर्देशांक (x, y, z) के साथ किसी भी बिंदु P जो समीकरण को पूरा करता है, उक्त समतल है।

पिछला कथन यह कहने के बराबर है कि यदि P का निर्देशांक (x, y, z) समतल के समीकरण को पूरा करता है, तो कहा गया कि बिंदु तीन बिंदुओं A, B, C के साथ समतल होगा, जिसने विमान को निर्धारित किया।

इस विमान के समीकरण को खोजने के लिए, चलो शुरू करते हैं वैक्टर एबी और एसी का पता लगाकर:

एबी =

एसी =

सदिश उत्पाद AB X AC के परिणाम में A, B, C द्वारा निर्धारित सदिश लंबवत या सामान्य होता है।

निर्देशांक (x, y, z) के साथ कोई बिंदु P समतल होता है यदि वेक्टर AP वेक्टर AB X AC के लंबवत है, जिसकी गारंटी है:

एपी • (एबी एक्स एसी) = 0

यह कहने के बराबर है कि एपी, एबी और एसी का ट्रिपल उत्पाद शून्य है। उपरोक्त समीकरण को मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है:

उदाहरण

अंक ए (0, 1, 2) को दें; बी (1, 2, 3); सी (7, 2, 1) और डी (ए, 0, 1)। कोपलानार होने के लिए चार अंकों के लिए क्या मूल्य होना चाहिए?

उपाय

A का मान ज्ञात करने के लिए, बिंदु D को A, B और C द्वारा निर्धारित विमान का हिस्सा होना चाहिए, जिसकी गारंटी है कि यदि यह विमान के समीकरण को संतुष्ट करता है।

हमारे पास निर्धारक का विकास करना:

पिछला समीकरण हमें बताता है कि समानता को पूरा करने के लिए एक = -1। दूसरे शब्दों में, एक ही रास्ता जो बिंदु D (a, 0,1) है, वह A, B और C के अंक का है। अन्यथा यह कोपलान नहीं होगा।

हल किया अभ्यास

- अभ्यास 1

एक विमान कार्टेशियन कुल्हाड़ियों एक्स, वाई, जेड क्रमशः 1, 2, और 3 को प्रतिच्छेद करता है। कुल्हाड़ियों के साथ इस विमान का चौराहा अंक A, B और C. निर्धारित करता है बिंदु D के घटक Dz को खोजें, जिसके कार्टेशियन घटक हैं:

बशर्ते कि डी अंक, बी और सी के साथ कॉपलनार है।

उपाय

जब कार्टेशियन कुल्हाड़ियों के साथ एक प्लेन के इंटरसेप्ट्स को जाना जाता है, तो प्लेन के समीकरण के सेगमेंटल फॉर्म का इस्तेमाल किया जा सकता है:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

चूंकि बिंदु D पिछले विमान से संबंधित होना चाहिए, इसलिए उसे यह करना होगा:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

यानी:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ⅙

Dz = -3

ऊपर से यह निम्नानुसार है कि बिंदु डी (3, -2, -3) अंक ए (1, 0, 0) के साथ कॉपलनार है; बी (0, 2, 0) और सी (0, 0, 3)।

- व्यायाम २

निर्धारित करें कि अंक A (0, 5, 3); बी (0, 6, 4); सी (2, 4, 2) और डी (2, 3, 1) कोप्लानर हैं।

उपाय

हम मैट्रिक्स बनाते हैं जिनकी पंक्तियाँ DA, BA और CA के निर्देशांक हैं। फिर निर्धारक की गणना की जाती है और यह सत्यापित किया जाता है कि यह शून्य है या नहीं।

सभी गणनाओं को करने के बाद, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि वे कोपलानर हैं।

- व्यायाम 3

अंतरिक्ष में दो रेखाएँ होती हैं। उनमें से एक पंक्ति (R) है जिसका पैरामीट्रिक समीकरण है:

और दूसरी पंक्ति (एस) है जिसका समीकरण है:

दिखाएँ कि (आर) और (एस) कोप्लानर लाइनें हैं, अर्थात, वे एक ही विमान में झूठ बोलते हैं।

उपाय

आइए मनमाने ढंग से लाइन (R) पर दो और लाइन (S) पर दो बिंदुओं से शुरू करें:

पंक्ति (R): λ = 0; ए (1, 1, 1) और λ = 1; बी (3, 0, 1)

लाइन पर x = 0 दें (S) => y = the; सी (0, (, -1)। और दूसरी ओर, यदि हम y = 0 => x = 1 बनाते हैं; डी (1, 0, -1)।

यही है, हमने अंक ए और बी को लिया है जो लाइन (आर) और अंक सी और डी के हैं जो लाइन (एस) के हैं। यदि वे बिंदु कॉपलनर हैं, तो दो रेखाएँ भी होंगी।

अब हम बिंदु A को धुरी के रूप में चुनते हैं और फिर हम वैक्टर AB, AC और AD के निर्देशांक ढूंढते हैं। इस तरह आप प्राप्त करते हैं:

बी - ए: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => एबी = (2, -1, 0)

सी - ए: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => एसी = (-1, -1/2, -2)

डी - ए: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => एडी = (0, -1, -2)

अगला चरण निर्धारक का निर्माण और गणना करना है जिसकी पहली पंक्ति वेक्टर AB के गुणांक हैं, दूसरी पंक्ति AC की है और तीसरी पंक्ति वेक्टर AD की है:

चूंकि निर्धारक शून्य हो जाता है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि चार बिंदु कॉपलनार हैं। इसके अतिरिक्त, यह कहा जा सकता है कि रेखाएँ (R) और (S) भी प्रतिरूप हैं।

- व्यायाम 4

रेखाएँ (R) और (S) कॉपलनार हैं, जैसा कि एक्सरसाइज 3 में दर्शाया गया है। उनमें समतल जगह का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उपाय

पॉइंट ए, बी, सी पूरी तरह से उस प्लेन को परिभाषित करते हैं, लेकिन हम चाहते हैं कि निर्देशांक का कोई भी बिंदु X (x, y, z) से संबंधित हो।

X के लिए A, B, C द्वारा परिभाषित विमान से संबंधित है और जिसमें रेखाएँ (R) और (S) समाहित हैं, यह आवश्यक है कि निर्धारक अपनी पहली पंक्ति में AX के घटकों द्वारा दूसरी पंक्ति में बने। एबी के द्वारा और तीसरे में एसी वालों द्वारा:

इस परिणाम के बाद, हम इस तरह से समूह बनाते हैं:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

और तुरंत आप देखते हैं कि इसे इस तरह से फिर से लिखा जा सकता है:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

इसलिए x + 2y - z = 2 समतल का समीकरण है जिसमें रेखाएं (R) और (S) होती हैं।

संदर्भ

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