- कार्य सीमा
- क्या अधिक जटिल सीमाएं हैं?
- सरल त्रिकोणमितीय सीमाओं के उदाहरण
- त्रिकोणमितीय सीमा पहचान
- हल किया हुआ व्यायाम
- अवलोकन
- संदर्भ
त्रिकोणमितीय सीमा कार्यों ऐसा है कि इन कार्यों त्रिकोणमितीय क्रियाओं द्वारा गठित कर रहे हैं की सीमा नहीं है।
त्रिकोणमितीय सीमा की गणना करने के तरीके को समझने के लिए दो परिभाषाएँ होनी चाहिए।
ये परिभाषाएँ हैं:
- एक फ़ंक्शन की सीमा «एफ» जब «एक्स» को जाता है «बी»: इसमें मूल्य की गणना करना शामिल है जो एफ (एक्स) के रूप में «एक्स» दृष्टिकोण «बी», «बी» तक पहुंचने के बिना होता है। »।
- त्रिकोणमितीय कार्य: त्रिकोणमितीय कार्य क्रमशः पाप (x), कॉस (x) और टैन (x) द्वारा निरूपित साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कार्य हैं।
अन्य त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन उपरोक्त उल्लिखित तीन कार्यों से प्राप्त किए जाते हैं।
कार्य सीमा
एक फ़ंक्शन सीमा की अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए, हम सरल कार्यों के साथ कुछ उदाहरणों को दिखाने के लिए आगे बढ़ेंगे।
- f (x) = 3 की सीमा जब "x" "8" के बराबर हो जाती है, तो फ़ंक्शन हमेशा स्थिर रहता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि कितना "x" मूल्य है, च (x) का मान हमेशा "3" होगा।
- «x» जब «x» की ओर f (x) = x-2 की सीमा «4» है। जब से "x" "6" के पास जाता है तब "x-2" "6-2 = 4" तक पहुंचता है।
- g (x) = x² की सीमा जब "x" से "3" हो जाती है, तो 9 के बराबर होती है, जब से "x" "3" के पास जाता है, तब "x²" "3² = 9" के पास पहुंचता है ।
जैसा कि पिछले उदाहरणों में देखा जा सकता है, एक सीमा की गणना में मूल्य का मूल्यांकन करना होता है, जो "x" फ़ंक्शन में जाता है, और परिणाम सीमा का मूल्य होगा, हालांकि यह केवल निरंतर कार्यों के लिए सच है।
क्या अधिक जटिल सीमाएं हैं?
इसका जवाब है हाँ। उपरोक्त उदाहरण सीमा के सबसे सरल उदाहरण हैं। कैलकुलस पुस्तकों में, मुख्य सीमा अभ्यास वे हैं जो कि 0/0, the / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 और (∞) प्रकार की अनिश्चितता उत्पन्न करते हैं। ^ 0।
इन अभिव्यक्तियों को अनिश्चितता कहा जाता है क्योंकि वे ऐसे भाव हैं जो गणितीय रूप से समझ में नहीं आते हैं।
इसके अलावा, मूल सीमा में शामिल कार्यों के आधार पर, प्रत्येक मामले में अनिश्चितताओं को हल करते समय प्राप्त परिणाम भिन्न हो सकता है।
सरल त्रिकोणमितीय सीमाओं के उदाहरण
सीमाओं को हल करने के लिए, शामिल कार्यों के ग्राफ़ को जानना हमेशा बहुत उपयोगी होता है। साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कार्यों के रेखांकन नीचे दिखाए गए हैं।
सरल त्रिकोणमितीय सीमा के कुछ उदाहरण हैं:
- पाप की सीमा की गणना करें (x) जब «x» की ओर «0» जाता है।
जब ग्राफ को देखते हैं तो यह देखा जा सकता है कि अगर "x" "0" (बाएं और दाएं दोनों से) के करीब हो जाता है, तो साइन ग्राफ भी "0" के करीब हो जाता है। इसलिए, पाप की सीमा (x) जब "x" "0" से "0" हो जाती है।
- कॉस (x) की सीमा की गणना तब करें जब «x» की ओर «0» जाता है।
कोसाइन के ग्राफ को देखने पर यह देखा जा सकता है कि जब "x" "0" के करीब होता है तो कोसाइन का ग्राफ "1" के करीब होता है। इसका तात्पर्य यह है कि जब "x" "0" के बराबर होता है तो cos (x) की सीमा "1" के बराबर होती है।
एक सीमा मौजूद हो सकती है (एक संख्या हो सकती है), जैसा कि पिछले उदाहरणों में है, लेकिन यह भी हो सकता है कि यह मौजूद नहीं है जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में दिखाया गया है।
- टैन (एक्स) की सीमा जब «एक्स» बाईं ओर से «2/2» के बराबर होती है, जैसा कि ग्राफ में देखा जा सकता है। दूसरी ओर, टैन (x) की सीमा जब "x" दाईं ओर से "-Π / 2" हो जाती है, तो "-is" के बराबर होती है।
त्रिकोणमितीय सीमा पहचान
त्रिकोणमितीय सीमा की गणना करते समय दो बहुत ही उपयोगी पहचान हैं:
- «पाप (x) / x» की सीमा जब «x» की ओर «0» के बराबर है «1»।
- «(1-कोस (x)) / x» की सीमा जब «एक्स» के «0» के बराबर हो जाती है।
इन पहचानों का उपयोग बहुत बार किया जाता है जब आपके पास किसी प्रकार की अनिश्चितता होती है।
हल किया हुआ व्यायाम
ऊपर वर्णित पहचानों का उपयोग करके निम्नलिखित सीमाओं के लिए हल करें।
- «एफ» (x) = पाप (3x) / x »की सीमा की गणना तब करें जब« एक्स »« 0 »में जाता है।
यदि फ़ंक्शन "एफ" का मूल्यांकन "0" पर किया जाता है, तो टाइप 0/0 की एक अनिश्चितता प्राप्त की जाएगी। इसलिए, हमें वर्णित पहचान का उपयोग करके इस अनिश्चितता को हल करने का प्रयास करना चाहिए।
इस सीमा और पहचान के बीच एकमात्र अंतर 3 नंबर है जो साइन फ़ंक्शन के भीतर दिखाई देता है। पहचान को लागू करने के लिए, समारोह «एफ (एक्स)» को निम्नलिखित तरीके से लिखा जाना चाहिए «3 * (पाप (3x) / 3x)»। अब साइन तर्क और भाजक दोनों समान हैं।
इसलिए जब "x" "0" पर जाता है, तो पहचान का उपयोग करके "3 * 1 = 3" देता है। इसलिए, f (x) की सीमा जब "x" "0" से "3" के बराबर हो जाती है।
- «जी» की सीमा की गणना «जी (x) = 1 / x - cos (x) / x» से करें।
जब "x = 0" को g (x) में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो ∞-। प्रकार की एक अनिश्चितता प्राप्त होती है। इसे हल करने के लिए, अंशों को पहले घटाया जाता है, जो "(1-कोस (x)) / x" प्राप्त करता है।
अब, दूसरे त्रिकोणमितीय पहचान को लागू करने पर हमारे पास g (x) की सीमा है जब «x» का झुकाव «0» के बराबर होता है।
- «h» (x) = 4tan (5x) / 5x »की सीमा की गणना तब करें जब« x »का झुकाव« 0 »से हो।
फिर से, यदि h (x) का मूल्यांकन "0" पर किया जाता है, तो टाइप 0/0 की एक अनिश्चितता प्राप्त की जाएगी।
(5x) पाप (5x) / cos (5x) के रूप में पुन: प्राप्त करने से h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)) परिणाम मिलता है।
4 / cos (x) की सीमा का उपयोग करते हुए जब "x" "0" के बराबर होता है, तो "4/1 = 4" के बराबर होता है और पहली त्रिकोणमितीय पहचान यह प्राप्त की जाती है कि h (x) की सीमा जब "x" झुकती है एक "0" "1 * 4 = 4" के बराबर है।
अवलोकन
त्रिकोणमितीय सीमा हमेशा हल करना आसान नहीं होता है। इस लेख में केवल मूल उदाहरण दिखाए गए थे।
संदर्भ
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