किसी भी जोड़े के पूर्णांक के अलावा कोई भी सामान्य विभाजक नहीं होता है, इसे अपेक्षाकृत प्रमुख (कॉप्रेम या एक दूसरे से अपेक्षाकृत प्रमुख) कहा जाता है ।
दूसरे शब्दों में, दो पूर्णांक सापेक्ष अपराध हैं यदि उनकी संख्या में विघटित होने पर, उनके पास कोई कारक नहीं है।
उदाहरण के लिए, यदि 4 और 25 को चुना जाता है, तो प्रत्येक का अभाज्य गुणन क्रमशः 2² और 5। है। जैसा कि देखा जा सकता है, इनमें कोई भी सामान्य कारक नहीं है, इसलिए 4 और 25 सापेक्ष अपराध हैं।
दूसरी ओर, यदि 6 और 24 को चुना जाता है, तो प्रमुख कारकों में उनके विघटन का प्रदर्शन करते हुए, हम उस 6 = 2 * 3 और 24 = 2³ * 3 प्राप्त करते हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, इन अंतिम दो अभिव्यक्तियों में कम से कम एक कारक है, इसलिए, वे सापेक्ष नहीं हैं।
रिश्तेदार चचेरे भाई
इसके साथ सावधान रहने की एक बात यह है कि यह कहना कि पूर्णांकों की एक जोड़ी सापेक्ष अपराध है इसका मतलब यह नहीं है कि उनमें से कोई भी एक प्रमुख संख्या है।
दूसरी ओर, उपरोक्त परिभाषा को इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: दो पूर्णांक "a" और "b" सापेक्ष अपराध हैं यदि, और केवल यदि, इनमें से सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है, अर्थात, LCD (ए, बी) = 1।
इस परिभाषा से दो तात्कालिक निष्कर्ष ये हैं:
-यदि «एक» (या «बी») एक प्रमुख संख्या है, तो जीसीडी (ए, बी) = 1।
-अगर «a» और «b» प्राइम नंबर हैं, तो gcd (a, b) = 1 है।
यही है, यदि कम से कम चुने गए संख्याओं में से एक प्रमुख संख्या है, तो सीधे संख्याओं की जोड़ी सापेक्ष अपराध हैं।
अन्य सुविधाओं
अन्य परिणाम जो यह निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं कि क्या दो संख्याएँ सापेक्ष हैं:
-अगर दो पूर्णांक लगातार हैं तो वे सापेक्ष प्राइम हैं।
-दो प्राकृतिक संख्याएँ "a" और "b" हैं, और यदि केवल, तो संख्याएँ "" हैं (2 ^ a) -1 "और" (2 ^ b) -1 "सापेक्ष अपराध।
-Two पूर्णांक «एक» और «बी» सापेक्ष अपराध हैं यदि, और केवल तभी, जब कार्टेशियन विमान में बिंदु (ए, बी) को रेखांकन और मूल (0,0) और (से गुजरने वाली रेखा का निर्माण) a, b), इसमें पूर्णांक निर्देशांक के साथ कोई बिंदु नहीं है।
उदाहरण
1.- पूर्णांक 5 और 12 पर विचार करें। दोनों संख्याओं के मुख्य कारकों में विघटन क्रमशः हैं: 5 और 2gers * 3। निष्कर्ष में, जीडीसी (5,12) = 1 इसलिए, 5 और 12 सापेक्ष अपराध हैं।
2.- संख्या -4 और 6. फिर -4 = -2 6 और 6 = 2 * 3, ताकि LCD (-4,6) = 2 -4 1 हो। निष्कर्ष में -4 और 6 सापेक्ष अपराध नहीं हैं।
यदि हम ऑर्डर की गई जोड़ियों (-4.6) और (0,0) से गुजरने वाली रेखा को रेखांकन करने के लिए और उक्त लाइन के समीकरण को निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ते हैं, तो यह सत्यापित किया जा सकता है कि यह बिंदु (-2,3) से होकर गुजरती है।
फिर से यह निष्कर्ष निकाला गया है कि -4 और 6 सापेक्ष अपराध नहीं हैं।
3.- संख्या 7 और 44 सापेक्ष अपराध हैं और यह जल्दी से निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि ऊपर कहा गया है, क्योंकि 7 एक प्रमुख संख्या है।
4.- संख्या 345 और 346 पर विचार करें। दो लगातार संख्याओं के होने के कारण यह सत्यापित होता है कि gcd (345,346) = 1, इसलिए 345 और 346 सापेक्ष प्राइम हैं।
5.- यदि संख्या 147 और 74 पर विचार किया जाता है, तो ये सापेक्ष अपराध हैं, चूंकि 147 = 3 * 7² और 74 = 2 * 37 हैं, इसलिए LCD (147,74) = 1।
6.- संख्या 4 और 9 सापेक्ष प्राइम हैं। इसे प्रदर्शित करने के लिए, ऊपर वर्णित दूसरे लक्षण वर्णन का उपयोग किया जा सकता है। दरअसल, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 और 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511।
प्राप्त संख्याएँ 15 और 511 हैं। इन संख्याओं का मुख्य गुणनखंड क्रमशः 3 * 5 और 7 * 73 है, ताकि LCD (15,511) = 1 हो।
जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी विशेषता का उपयोग करना सीधे सत्यापित करने की तुलना में अधिक लंबा और अधिक श्रमसाध्य काम है।
7.- संख्या -22 और -27 पर विचार करें। फिर इन नंबरों को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: -22 = -2 * 11 और -27 = -3 can। इसलिए, जीडीसी (-22, -27) = 1, इसलिए -22 और -27 सापेक्ष अपराध हैं।
संदर्भ
- बैरेंटेस, एच।, डिआज़, पी।, मुरिलो, एम।, और सोटो, ए। (1998)। संख्या सिद्धांत का परिचय। EUNED।
- बोरडॉन, पीएल (1843)। अंकगणित तत्व। कैलेजा की विधवाओं और बच्चों की लाइब्रेरी।
- Castañeda, एस (2016)। संख्या सिद्धांत का मूल पाठ्यक्रम। उत्तरी विश्वविद्यालय।
- ग्वेरा, एमएच (एनडी)। पूरे नंबर का सेट। EUNED।
- हायर इंस्टीट्यूट ऑफ टीचर ट्रेनिंग (स्पेन), जेएल (2004)। बच्चे के वातावरण में संख्या, आकार और मात्रा। शिक्षा मंत्रालय।
- पामर, सीआई और बिब, एसएफ (1979)। व्यावहारिक गणित: अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति, त्रिकोणमिति और स्लाइड नियम (पुनर्मुद्रण एड।)। Reverte।
- रॉक, एनएम (2006)। बीजगणित मैं आसान है! इतना आसान। टीम रॉक प्रेस।
- स्मिथ, एसए (2000)। बीजगणित। पियर्सन शिक्षा।
- एससेसी, डी। (2006)। मूल गणित और पूर्व-बीजगणित (सचित्र संस्करण)। कैरियर प्रेस।
- तोरल, सी।, और प्रीसीडो, एम। (1985)। दूसरा गणित पाठ्यक्रम। संपादकीय प्रोग्रेसो।
- वैगनर, जी।, कैइडो, ए।, और कोलोराडो, एच। (2010)। अंकगणित के मूल सिद्धांत। ELIZCOM SAS